山东省乐陵市第三中学2014-2015学年九年级上学期人教版数学《21.2 二次函数与一元二次方程》学案

21.2.1 配方法（第1课时）
一、学习目标
1、理解一元二次方程“降次”的转化思想。
2、根据平方根的意义解形如的一元二次方程，然后迁移到解型的一元二次方程．
二、学习重点、难点
重点：运用直接开平方法解形如的一元二次方程。
难点：通过根据平方根的意义解形如的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如
的方程．
三、学习过程
（一）复习回顾：
1. 如果有 ，则x叫a的平方根，也可以表示为x＝ ．
2. 将下列各数的平方根写在旁边的括号里
A：9（ ）； 5（ ）； （ ）；
B：8（ ）； 24（ ）； （ ）； C：( ) ； 1.2（ ）．
3. 如果，则x＝________．
（二）探索新知：
1、问题:一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。
（1） （2）
解：移向，得： 解：化简,得：
∵ x是1的平方根 ∴x＝______ ∵x是4的平方根 ∴x＝______
即原方程的根为： 即原方程的根为：
______，=______ ______，=______
2、对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4
分析：（1）方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__________，即将方程变为和______两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=______________，x2=______________。
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。
（2）方程x2+6x+9=2的左边是完全平方式，这个方程可以化成(____________)2=2，进行“降次”，
得到___________，方程的根为x1= ____________，x2= ____________。
【归纳】1、形如或的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做_______________。
2、如果方程能化成或的形式，那么可得，或。
3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程。
（三）自我尝试：解下列方程。
⑴2x2-8=0; ⑵ ⑶3(x-1)2-6=0; ⑷9x2+6x+1=4.
四、达标过关测试
1．判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并说明理由．
（1）x2＝2 ( ) （2）p2－49＝0 ( ) （3）6x2＝3 ( )
（4）(5x＋9)2＋16＝0 ( ) （5）121－(y＋3) 2＝0 ( )
2．方程的解为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、以上均不对
3．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A、n＝0 B、n＝0或m，n异号 C、n是m的整数倍 D、m，n同号
4．方程（1—x）2＝2的根是（ ）
（A）.—1、3 （B）.1、—3 （C）.1—、1＋ （D）.—1、＋1
5．下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A)x2＝—2,解方程，得x＝± (C) 4(x—1)2＝9,解方程，得4(x—1)＝ ±3, x1＝;x2＝
(B)(x—2)2＝4,解方程，得x—2＝2,x＝4 (D) (2x＋3)2＝25,解方程，得2x＋3＝±5, x1＝ 1;x2＝—4
6．用直接开平方法解下列方程：
(1) (x－1)2＝8； (2)9x2-5=0; (2)
21.2.1 配方法（第2课时）
学习目标
1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为形式的过程，进一步理解配方法的意义；2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，体会转化的思想方法。
学习重点、难点
重点：掌握配方法解一元二次方程。难点：把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
学习过程
一、复习回顾：1、填空：
（1）x2+8x+_ _=（x+_ ( http: / / www.21cnjy.com )）2； （2）x2-4x+_ __=（x-_ _）2； （3）x2-6x+ =（x- ）2．
由上面等式的左边可知，完全平方式中常数项和一次项系数的关系是： 。
2、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2
二、新课学习：
1.自学教材P7——8，回答以下问题。
（1）通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
（2）配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个 方程来解。
（3）方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项 二次项系数，将方程的二次项系数化为1。
（4）用配方法解二次项系数 ( http: / / www.21cnjy.com )是1的一元二次方程的一般步骤是：① ：把常数项移到方程右边；② ：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；③利用直接开平方法解之。
2、自学课本P7例1思考下列问题：
（1）看例题中的配方是不是两边加上一次项系数一半的平方？
（2）方程（2）、（3）的二次项系数与方程（1）的二次项系数有什么区别？为了便于配方应怎样处理？
（3）方程（3）为什么没有实数解？
三．尝试应用：
1、用配方法解方程2x2—4x＋3＝0，配方正确的是（ ）
A.2x2—4x＋4＝3＋4 B. 2x2—4x＋4＝—3＋4 C.x2—2x＋1＝＋1 D. x2—2x＋1＝—＋1
2、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）
A.x2＋2x—99＝0化为(x＋1)2＝100 B.t2—7t—4＝0化为(t—)2＝
C.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 D.3x2—4x—2＝0化为(x—)2＝
3、用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）3x2-6x+4=0
4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时
由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度
都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
四．自主总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤
（1）把方程化为一般形式 ； （2）把方程的 项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上 的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式， ( http: / / www.21cnjy.com )然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．（6）如果方程右边是 数，两边直接开平方求解，如果方程右边是 ，则原方程无解。
五.达标测试
1、将二次三项式进行配方，正确的结果应为（ ）
（A） (B) (C) (D)
3、把一元二次方程化成的形式是 。4、用配方法解下列方程：(1) (2)3y2—y—2＝0；
(3)3x2—4x＋1＝0； (4) 2x2＋1＝3x；
5、求证：不论a取何值，a2-a+1的值总是一个正数。
21.2.2 公式法（第1课时）
一、学习目标
1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
二、学习重点、难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用。
难点：一元二次方程求根公式法的推导。
三、学习过程
一、复习巩固
用配方法解方程4x2 -6x -3=0
二、新知探究
1.用配方法解方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）
解：移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方 ，
方程左边写成平方式 ，
∵a≠0,∴4a2 0,有以下三种情况：
（1）当b2-4ac>0时， ； 。
（2）当b2-4ac=0时， 。
（3）b2-4ac<0时，方程根的情况为 。
2.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）式子叫做方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 实数根；
当△ 0时， 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 实数根；
当△ 0时， 方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根。
（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c = 0，当≥0时，将a、b、c代入式子 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
【注意】①公式法是解一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )一般方法.② 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。③用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；式子b2-4ac≥0是公式的一部分。
3.公式法解一元二次方程(仔细阅读课本P36页例2解答过程，讨论如何用公式法解一元二次方程？)
解一元二次方程的步骤：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） 。
三.巩固练习
解下列方程：
（1）x2+x-6=0; (2)x2-x-=0; (3)3x2-6x-2=0;
(4)4x2-6x=0 ; (5) x(2x-4)=5-8x.; (6)（x-2）（x+5）＝8；
21.2.2 公式法（第2课时）
一元二次方程的根的判别式
学习目标：1.了解掌握根的判别式；
2.不解方程能判定一元二次方程根的情况；
3. 会用根的判别式解决实际问题。
学习重点：用根的判别式解决实际问题；
学习难点：根的判别式的发现；
学前准备
请同学们用公式法求解下列方程：
2.把______ 叫做一元二次方程 的根的判别式，常用符号_____来表示。
3.一般地，方程
当_____ 时，有两个不相等的实数根；
当_______ 时，有两个相等的实数根；
当_______ 时，没有实数根。
4.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A. B. C. D.
二．探究活动
探究一元二次方程的根的判别式的性质逆用
再次阅读教材35-37页思考并交流：
1.当方程有两个不相等的实数根时，能得到b2-4ac>0吗？
2.当方程有两个相等的实数根时，能得到b2-4ac=0吗？
3.当方程没有实数根时，能得到b2-4ac<0吗？
归纳总结：
△= >0 ←→ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有 的实根；
△=b2-4ac 0 ←→ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有 的实根；
△=b2-4ac 0 ←→ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 实数根。
提示：一元二次方程的根的判别式的应用
1.不解方程判断方程根的情况；
2.根据方程根的情况求方程中未知系数字母的取值。
巩固练习
1. 已知一元二次方程 x2 ＋x－1＝0，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定
2． 关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 .
3.如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 。
4.如果关于x的方程ax 2+x–1= 0有实数根，则a的取值范围是 。
5.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，求m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根？
⑵方程有两个相等的实数根？
⑶方程没有实数根？
6.已知：关于的方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求另一个根及值
22.2.3 因式分解法
一、学习目标
1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
二、学习重点、难点
重点：用因式分解法一元二次方程。
难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。
三、学习过程
（一）复习回顾：
1．把下列各式因式分解.
（1）x2－4x=______ （2）x＋3－x（x＋3）=______ （3）（2x－1）2－x2 =______________
2．（1）用配方法解一元二次方程10x-4.9x2=0； （2）用公式法解10x-4.9x2=0。
（二）新课学习：
问题：根据物理学规律， ( http: / / www.21cnjy.com )如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度为 10x-4.9x2, 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
自学教材，回答以以下问题：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为___________________________________的形式，
再使____________________________，从而实现__________，这种解法叫做__________________。
（2）如果，那么_____________________，这是因式分解法的根据。如：如果
，那么或______________，即或_______________。
（3）仔细阅读教材例33．归纳总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①通过___________把一元二次方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的______;
③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程;
④解 ，它们的解就是原方程的解。
注意点：
（1）因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边能进行因式分解而右边是0的一元二次方程。
（2）因式分解法的根据是：如果，那么或。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。
（3）用因式分解法解一元二次方程时，要 ( http: / / www.21cnjy.com )根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
（三）达标测试：
1.一元二次方程的解是（　 　）
（A） （B） （C）或 （D）或
2.一元二次方程x2=2x的根是（ ）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0, x2=2 D．x1=0, x2=－2
3. 一元二次方程的解是 .
4.用因式分解法解下列方程：
（1）x2+x=0； (2)x2-2x=0； （3）3x2-6x=-3；
（4）4x2-121=0； （5）3x(2x+1)=4x+2； (6)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据；
2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；
3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
学习重点：根与系数的关系及推导
学习难点：正确理解根与系数的关系
学前准备
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中 ( http: / / www.21cnjy.com )，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
探究活动
（一）尝试探索，发现规律：
1．若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与a、b、c有何关系？请你写出关系式
2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？
小结：
1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．如果方程x2+px+q=0（ ( http: / / www.21cnjy.com )p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．
注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________
（二）巩固练习
１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：
①　x2 + 3x -1= 0　②　x2 + 6x +2= 0 ③　3x2 －4x+1= 0 (4)4x2 -2x -7= 0
2.已知关于x的方程x2 + mx －3= 0的一个根是-1，求m的值及另一个根.
三.达标测试
1．如果一元二次方程的两个根为的值为 。
2.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是 。
3．一元二次方程的两根为，则=______。
4.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为 .
5．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则（x1－x2）2＝
6．已知一元二次方程的一个根 2，则另一个根是 .
7.若实数a、b满足a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,则式子的值是 .
8．方程，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。
9.下列一元二次方程中，两根分别为的是（ ）
A、 B、 C、 D、
10．关于x的方程有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
11.已知关于的方程为，且.
求证：（1）此方程总有实数根；（2）当方程有两个实数根，且两实数根的平方和等于4时，求的值.
一元二次方程的解法小结
学习目标：1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；
2.体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法；
3.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最
优方法，在学习活动中获得成功的体验。
学习重点：能根据一元二次方程的结构特点，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法及因
式分解法解一元二次方程
学习难点：理解一元二次方程解法的基本思想
学前准备
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为______，即______
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称 理论根据 适用方程的形式
直接开平方法 平方根的定义
配方法 完全平方公式
公式法 配方法
因式分解法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0
3、一般考虑选择方法的顺序是：
________法、________法、______法或______法
探究活动
独立思考·解决问题
解下列方程：
（1）(x+3)2-2=0； (2) x2+2x=0; (3) 3x(x-2)=2(x-2)
合作探究·解决问题
通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？
三.巩固练习：
选择适当的方法解下列方程:
（1）x2-3x=0; (2) x2＋2x－8＝0； （3）3x2＝4x－1；
（4）(x-2)(x-3)=6; （5）(2x-1)2=4x-2； （6）(3x-1)2=(x+5)2.