第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·江苏南通·高二阶段练习）若，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（5分）（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）
A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
3．（5分）（2022秋·浙江宁波·高二期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
4．（5分）（2022·高二课时练习）某旅行社共有名专业导游，其中人会英语，人会日语，若在同一天要接待个不同的外国旅游团，其中有个旅游团要安排会英语的导游，个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022·贵州贵阳·模拟预测）2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240 B．150 C．690 D．180
6．（5分）（2022·高二课时练习）已知，下列命题中，不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．
7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
8．（5分）（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（ ）
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第条斜线上，共有个数
D．在第11条斜线上，最大的数是
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·广东江门·高二期中）已知，下列结论正确的有（ ）
A．各项二项式系数和为128 B．式子的值为2
C．式子的值为－1094 D．式子的值为1093
10．（5分）（2022春·江苏连云港·高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．
B．多项式展开式中的系数为40
C．若，则展开式中各项的二项式系数的和为1
D．被5除所得的余数是1
11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲 乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164
12．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022秋·上海浦东新·高三阶段练习）的二项展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项等于 .
14．（5分）（2022春·福建泉州·高二期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
15．（5分）（2022·高二课时练习）某篮球队有名队员，其中有名队员打前锋，有名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为名前锋，名后卫，则不同的出场阵容共有 种．
16．（5分）（2022春·全国·高二专题练习）课本中，在形如……的展开式中，我们把）叫做二项式系数，类似地在…的展开式中，我们把叫做三项式系数，则……的值为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春·山东菏泽·高二统考期中）（1）计算：．
（2）已知，求的值．
18．（10分）（2023·全国·高二专题练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
19．（12分）（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
20．（12分）（2022春·山东菏泽·高二阶段练习）名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者
(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？
(3)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
21．（12分）（2022秋·上海杨浦·高二期末）已知（为正整数）的二项展开式中.
(1)若，求所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的有理项的个数；
(3)若，求系数最大的项.
22．（12分）（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（，），用三项式的次系数表示，，；
（3）用二项式系数表示．第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·江苏南通·高二阶段练习）若，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解题思路】根据组合数、排列数公式得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为，所以，且，
解得或（舍去）；
故选：D.
2．（5分）（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）
A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
【解题思路】依次给区域涂色，求出每一步的种数，由乘法分步原理即得解.
【解答过程】解：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C有4种颜色可选，E有4种颜色可选，故共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法．
故选：D．
3．（5分）（2022秋·浙江宁波·高二期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
【解题思路】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.
【解答过程】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
4．（5分）（2022·高二课时练习）某旅行社共有名专业导游，其中人会英语，人会日语，若在同一天要接待个不同的外国旅游团，其中有个旅游团要安排会英语的导游，个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知有名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类，先确定甲所安排的旅行团，再确定其他团的人员，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.
【解答过程】由题意知有名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：
第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，从会英语的另外人中选出人，有种选法，将选出的人和甲安排到个需要会英语的旅游团，有种安排方法，所以有种安排方法；
第二步，从会日语的另外人中选出人安排到需要会日语的旅游团，共种选法.
故此时共有种安排方法；
第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，将会英语的另外人安排到需要会英语的旅游团，有种安排方法；
第二步，从会日语的人（包括甲）中选出人安排到需要会日语的旅游团，有种选法.
故此时共有种选法．
综上，不同的安排方法种数为．
故选：C．
5．（5分）（2022·贵州贵阳·模拟预测）2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240 B．150 C．690 D．180
【解题思路】利用分类计数原理及排列组合的意义，对高三志愿者人数进行分类讨论即可.
【解答过程】第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有种；
第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有种；
第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有种，
所以不同的分配方法有：种，
故选：A.
6．（5分）（2022·高二课时练习）已知，下列命题中，不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．
【解题思路】根据给定条件，利用二项式定理及性质，结合赋值法逐项分析、计算判断作答.
【解答过程】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确；
对于B，令，则，
，
所以展开式中所有奇次项系数的和为，B不正确；
对于C，由选项B知，展开式中所有偶次项系数的和为，C正确；
对于D，由选项B知，，，D正确.
故选：B.
7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【解题思路】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【解答过程】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，
故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，
即选项D正确，
故选：D．
8．（5分）（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（ ）
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第条斜线上，共有个数
D．在第11条斜线上，最大的数是
【解题思路】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为判断A选项，再根据杨辉三角得到第n条斜线上的数为：，进而判断BCD.
【解答过程】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，
其规律是，
所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A错误；
第1条斜线上的数：，
第2条斜线上的数：；
第3条斜线上的数：，
第4条斜线上的数：，
第5条斜线上的数：，
第6条斜线的数：，
……，
依此规律，第n条斜线上的数为：，
在第11条斜线上的数为，最大的数是，
由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有个数；
n为偶数时，第n条斜线上共有共有个数，
所以第n条斜线上共，故C正确；
由上述每条斜线的变化规律可知：在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·广东江门·高二期中）已知，下列结论正确的有（ ）
A．各项二项式系数和为128 B．式子的值为2
C．式子的值为－1094 D．式子的值为1093
【解题思路】由二项式系数的性质可判断A；用赋值法令，，可判断BCD
【解答过程】对于A：二项式的各项二项式系数和为，故A正确；
对于BCD：令，则，
即，
令，则，
即，
令，则，
所以，故B错误；
由，
解得，，故C正确，D正确；
故选：ACD.
10．（5分）（2022春·江苏连云港·高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．
B．多项式展开式中的系数为40
C．若，则展开式中各项的二项式系数的和为1
D．被5除所得的余数是1
【解题思路】利用二项式定理及二项式展开式各项系数和，依次判断各项正误.
【解答过程】解：因为，故A项正确;
多项式的展开式通项为：，要求的系数，则，
当时，有，的系数为,
当时，有，不存在，
当时，有，的系数为,
当时，有，不存在，
故展开式中的系数为,故B项正确；
,其展开式中各项的二项式系数之和为，故C项错误；
因为，其展开式的通项公式为：，只有当时，即，不能被5整除，且256被5整除的余数为1，故D项正确.
故选：ABD.
11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲 乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164
【解题思路】根据题意分析出甲从到达处， 需要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从到达处的走法种数为，从而可得出A错误；
若甲从M必须经过到达N处，可分两步，甲从到达，从到达，从而可判断选项B正确；
若甲，乙两人能在处相遇，先计算甲经过的走法种数，再计算乙经过的走法种数，从而可求出甲，乙两人能在处相遇的走法种数；
根据题意可得出只能在，，，处相遇，然后分别计算走法种数即可.
【解答过程】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误.
对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确.
对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误.
对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.
故选：BD.
12．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法
【解题思路】对于A，从6个中选3个，则有种；对于B，利用插空法求解；对于C，分两类求解，一是若“数”排在第一节，二是若“数”不排在第一节，也不排在最后一节；对于D，分三类，利用捆绑法，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，然后利用分类加法原理求解
【解答过程】解：对于A，某学生从中选3门学习，共有种选法，
故选项A正确；
对于B，“礼”和“射”不相邻，则有种，
故选项B错误；
对于C，①若“数”排在第一节，则排法有种；
②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种，
所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有120+384＝504种选法，
故选项C正确；
对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种；
②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种；
③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种.
所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48+36+36＝120种选法，
故选项D错误；
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022秋·上海浦东新·高三阶段练习）的二项展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项等于 15 .
【解题思路】根据二项式系数和得，进而求出二项式展开式的通式公式，令，解出，即可得出答案.
【解答过程】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以，得，
所以题中二项式为，二项式展开式的通式公式为：，
令，得：，则展开式中的常数项等于.
故答案为：15.
14．（5分）（2022春·福建泉州·高二期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 48 种．
【解题思路】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.
【解答过程】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48.
15．（5分）（2022·高二课时练习）某篮球队有名队员，其中有名队员打前锋，有名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为名前锋，名后卫，则不同的出场阵容共有 种．
【解题思路】分三种情况讨论：①甲、乙都不出场；②甲、乙只有一人出场；③甲、乙都出场.分别计算出每种情况下出场的阵容种数，利用分类加法计数原理即可得出结果.
【解答过程】分以下三种情况讨论：
①甲、乙都不出场，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人，此时，出场阵容种数为；
②甲、乙只有一人出场，若出场的这名队员打前锋，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人；若出场的这名队员打后卫，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人.
此时，出场阵容种数为；
③甲、乙都出场，若这两名队员都打前锋，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人；若这两名队员都打后卫，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中不用挑选；若这两名队员一人打前锋、一人打后卫，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人，此时，出场阵容种数为.
综上所述，由分类加法计数原理可知，共有种不同的出场阵容.
故答案为：.
16．（5分）（2022春·全国·高二专题练习）课本中，在形如……的展开式中，我们把）叫做二项式系数，类似地在…的展开式中，我们把叫做三项式系数，则……的值为 0 .
【解题思路】根据的等式两边的项的系数相同，从而求得要求式子的值.
【解答过程】 ，
其中系数为
……，
，
而二项式的通项公式，
因为2015不是3的倍数，所以的展开式中没有项，由代数式恒成立可得
……，
故答案为0.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春·山东菏泽·高二统考期中）（1）计算：．
（2）已知，求的值．
【解题思路】（1）根据排列数的计算公式即可得解；
（2）根据组合数的计算公式即可得解.
【解答过程】（1）
．
（2）由可得
即，
可得，整理可得：，
解得或，因为，可得，
所以．
18．（10分）（2023·全国·高二专题练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
【解题思路】（1）根据分步乘法原理计算所有的四位数，进而可得这24个数的数字之和，
（2）确定24个数中，每个数位上2，3，5，7出现的次数，进而可求这些数的和,
【解答过程】（1）共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为．
（2）这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．
同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．
所以所有数之和为
19．（12分）（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
【解题思路】（1）分种3、4、5种颜色的花，应用分步计数及组合排列数求种植方法数；
（2）分、两种分组，结合不平均分组、全排列求不同的放法.
【解答过程】（1）
当种5种颜色的花，作全排列，则有种；
当种4种颜色的花，5种颜色选4种，中选一组种同颜色的花，余下3种颜色作全排列，则有种；
当种3种颜色的花，5种颜色选3种，位置任选一种，余下2种颜色在分别种相同颜色，则有种；
所以共有种不同种植方法.
（2）
将7个盆栽有、两种分组方式，
以分组，则种；
以分组，则种；
所以共有种不同的放法.
20．（12分）（2022春·山东菏泽·高二阶段练习）名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者
(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？
(3)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
【解题思路】（1）先让每位同学拿一个口罩，余下10个用隔板法求解作答.
（2）利用分步计数乘法原理从6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三个场馆列式计算作答.
（3）按给定条件将6人分成3组，再分到三个场馆列式计算作答.
【解答过程】(1)
个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种.
(2)
求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，
所以不同的安排方法有 种.
(3)
把视为一人，相当于把个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：
第一类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，
第二类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，
所以不同的安排方法有种方法.
21．（12分）（2022秋·上海杨浦·高二期末）已知（为正整数）的二项展开式中.
(1)若，求所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的有理项的个数；
(3)若，求系数最大的项.
【解题思路】（1）由题意求出，令中，即可得出答案.
（2）求出，写出的通项，要使展开式为有理项，则，求解即可；
（3）设二项式展开式第项的系数最大，求出的通项，则，解不等式即可得出答案.
【解答过程】（1）因为，
而，
所以.
所以令中，则所有项的系数之和为：.
（2）若，则，
，解得：.
则的通项为：，
其中，要使展开式为有理项，
则，则，
故展开式中的有理项的个数为.
（3）若，则的通项为：，
则设二项式展开式第项的系数最大，
则，得，
化简得：，解得：.
因为，则，所以系数最大的项为.
22．（12分）（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（，），用三项式的次系数表示，，；
（3）用二项式系数表示．
【解题思路】（1）先求出三项式的展开式，即可求出；
（2）列出杨辉三角形类似的表，即可得出结果；
（3）根据三项式的次系数列定义展开求解即可得出.
【解答过程】（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列：
∵，
∴，，，，，
∵
，
∴，，，，，，．
（2）列出杨辉三角形类似的表（，），
用三项式的次系数表示，，，
，，，
（3）用二项式系数表示，
，，，
，…，，
∵，
∴，
∵，，…，，
∴
，
∴．
