专题7.10 正态分布（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·全国·高二专题练习）下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤
【解题思路】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项.
【解答过程】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确；
只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确；
正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确；
曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确；
故①④⑤说法正确.
故选：A.
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小
【解答过程】因为，，两曲线分别关于对称，
所以由图可知，，所以A错误，
因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”，
所以 ，所以B错误，
所以，，
所以C错误，D正确，
故选：D.
3．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
【解题思路】根据题意可得，从而可求出结果.
【解答过程】因为曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，
所以根据正态分布的性质，，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值为
，
故选：C.
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度落在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
【解题思路】利用原则，分别求出的值，再利用对称性求出.
【解答过程】正态分布中，，
所以，
，
所以.
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（ ）附：.
A．26 B．52 C．456 D．13
【解题思路】由题意可得正态分布中的，根据正态分布的对称性结合题中数据求，即可求出答案．
【解答过程】考试成绩（满分150分）服从正态分布，所以，则，
，
所以可进入决赛的人数大约为人.
故选：A．
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，， ，且，又，则实数（ ）
A．0 B． C． D．
【解题思路】利用二项分布的方差计算公式得出，即的值，根据正态分布的对称性，可得实数．
【解答过程】由题意，，则，
又，则，解得
故选：A.
7．（3分）（2022春·江西宜春·高二期末）随机变量服从正态分布，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用正态密度曲线的对称性得出，再将代数式与相乘，展开后可利用基本不等式求出的最小值．
【解答过程】由于，由正态密度曲线的对称性可知，，
所以，，即，，
由基本不等式可得
，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选D.
8．（3分）（2022春·安徽芜湖·高二期中）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布，则．
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.8413
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
【解题思路】利用正态分布曲线的性质即可逐项判断求解.A：根据即可求解；B：根据红玫瑰日销售量的方差为，白玫瑰的日销售量的方差为即可比较判断；C：根据对称性可知 ；D：根据对称性可知 ．
【解答过程】对于A，若随机变量X服从正态分布，则，
∴对于红玫瑰的销量，若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，
则，故红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A正确；
对于B，∵红玫瑰日销量的方差为900，小于白玫瑰日销量的方差1600，∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B正确；
对于C，设白玫瑰日销售量为X，，，，
则
，故C正确；
对于D，白玫瑰日销售量范围在，即的概率为，故D错误．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·重庆九龙坡·高二阶段练习）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）
参考数据：若，则，
A． B．
C． D．
【解题思路】由图可知，由此可判断A；
由图可知Y分布更集中，有，由此可判断B；
由计算可判断C；
由可知，，可判断D．
【解答过程】对A，由图可知，所以A错误；
对B，由图可知Y分布更集中，所以，则，所以B错误；
对C，由正态分布， ，
则 ，故C正确；
对D，由图可知，，所以，故D正确．
故选：CD.
10．（4分）（2023·江苏徐州·徐州市一模）已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．若，则
C． D．随机变量满足，则
【解题思路】根据正态分布的定义求数学期望和方差求解A，再根据正态分布密度曲线的对称性可求解相应的概率求解B,C，再根据变量关系的期望公式可求解D.
【解答过程】因为,所以，，A正确；
因为，所以，B正确；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
所以,D错误，
故选:ABC.
11．（4分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人
D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为
【解题思路】根据正态分布中的意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90分的概率判断D.
【解答过程】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，故A错误；
对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确；
对于C，时，，
故这次考试分数高于120分的约有人，故C错误；
对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，
由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确.
故选：BD.
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：min）服从正态分布，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到公司要5min．从统计的角度，下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若，则，，．
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
【解题思路】利用正态分布的性质以及正态分布在特殊区间的概率进行计算求解.
【解答过程】对于A，若8：00出门，赵先生乘坐公交的时间不大于43min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，且，
所以，
所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，A不正确；
对于B，若8：02出门，若乘坐地铁，则乘坐时间不大于48min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，
所以赵先生乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9772，
若8：02出门，若乘坐公交，则乘坐时间不大于41min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，故二者的可能性一样，B不正确；
对于C，若8：06出门，若乘坐公交，则乘坐时间不大于37min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，
若8：06出门，若乘坐地铁，则乘坐时间不大于44min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，C正确；
对于D，若8：12出门，赵先生乘坐地铁的时间不大于38min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，
所以乘坐地铁上班不迟到的可能性非常小，D正确．
故选：CD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高三课时练习）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 273 ．
【解题思路】由图知：，利用原则可求出 成绩X位于区间的概率，进而可得出大约人数.
【解答过程】由题意可知：，由图象可得：，
∵，即，
∴成绩X位于区间的人数大约是.
故答案为：273.
14．（4分）（2023·北京·高三统考阶段练习）设随机变量，，，则 .
【解题思路】根据随机变量，由正态分布的性质可得概率分布关于对称，又根据，且，可得，结合对称性即可求得的值.
【解答过程】解：由于随机变量，所以概率分布关于对称，
且，
所以，解得.
故答案为：.
15．（4分）（2022春·山东威海·高二期中）已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）=3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P(Y>0)=p，则P(0【解题思路】根据，及求得p，从而根据，求得，从而有.
【解答过程】由知，，则，
则，，
故，
因此，
故答案为：0.25.
16．（4分）（2022·高二单元测试）某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程（千米）服从正态分布.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在（千米）到（千米）之间的概率为 .（参考公式:随机变量服从正态分布，则，，.）
【解题思路】由题意知X～N（2000，102），计算P（1970＜X＜2020）的值即可．
【解答过程】由X～N（2000，102）知，则μ＝2000，σ＝10；
所以P（1970＜X＜2020）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）
＝P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）[P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）]
＝0.9974[0.9974﹣0.9544]
＝0.9759．
故答案为：0.9759．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·全国·高二专题练习）如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差.
【解题思路】由正态曲线得到正态曲线关直线对称，最大值为，由此求出，，从而求出概率密度函数的解析式，即可得到均值和方差．
【解答过程】解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关直线对称，最大值为，
所以，
由，解得，
所以概率密度函数的解析式为，
则总体随机变量的均值为20，方差为．
18．（6分）（2022·高二课时练习）设服从，试求下面的概率：
(1)
(2)
(3)
(4)
【解题思路】正态分布区间上的概率，关于对称,根据正态分布各区间概率的对称性，以及概率和为求解即可逐一求解.
【解答过程】（1）
因为 所以，
（2）
（3）
.
（4）
19．（8分）（2023·全国·高二专题练习）在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．
(1)求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率；
(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．
注：，，．
【解题思路】（1）根据题意，结合，即可求解；
（2）求得，进而求得考试成绩在之间的考生数．
【解答过程】（1）解：因为），可得，
所以，
即考试成绩位于区间内的概率约为．
（2）解：因为，
所以，
所以考试成绩在之间的考生大约有13654人．
20．（8分）（2023·高二课时练习）已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．
(1)求参数、的值；
(2)求．（结果精确到0.01%）
【解题思路】(1)由题意可得正态曲线关于直线对称，又根据结合条件即可求解；
(2)由可得出，再求出，由即可求出结果.
【解答过程】（1）由题意得，正态曲线关于直线对称，即参数．
又，结合，可知．
（2）．
因为，所以，可得．
又因为，所以．
所以．
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
(1)求与．
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字）
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
【解题思路】（1）结合已知数据，利用平均数公式和标准差公式求解即可，
（2）①由Z服从正态分布，可得，然后利用二项分布的性质可求得的值，②由Z服从正态分布，可求出5个零件的内径中恰有一个不在内的概率，然后比较判断即可
【解答过程】（1）
，
，
则．
（2）
①∵Z服从正态分布，
∴，则，
∴，
∴．
②∵Z服从正态分布，
∴，
∴5个零件的内径中恰有一个不在内的概率为．
∵，
∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在内，出现的频率是0.01287的15倍多，
∴根据原则，需要进一步调试．
22．（8分）（2023·全国·高三阶段练习）某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下：
7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09
6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14
根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，.
(1)估计优果的个数；
(2)为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小.
（ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需耍检验的果实的总个数.
附：若，则；，，.
【解题思路】（1）根据样本估计总体的思想求解即可；（2）根据正态分布和独立重复试验的二项分布规律即可求解.
【解答过程】（1）根据题意，20棵样本果树中果实平均直径大于7.2cm的有3棵，
所以该农村地区2000棵果树中果实平均直径大于7.2cm的有棵，
平均每棵果树结果50个，
所以估计优果的个数为（个）；
（2）（ⅰ）
因为，
所以，
所以，
个测量果实直径，出现果实小于的果实的概率为：
，
当越来越大时，越来越小，越来越大，
所以试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅰⅰ）得，
，
因为为整数，
所以，
估计该地所有果树中需耍检验的果实的总个数为个.专题7.10 正态分布（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·全国·高二专题练习）下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度落在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（ ）附：.
A．26 B．52 C．456 D．13
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，， ，且，又，则实数（ ）
A．0 B． C． D．
7．（3分）（2022春·江西宜春·高二期末）随机变量服从正态分布，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022春·安徽芜湖·高二期中）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布，则．
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.8413
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·重庆九龙坡·高二阶段练习）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）
参考数据：若，则，
A． B．
C． D．
10．（4分）（2023·江苏徐州·徐州市一模）已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．若，则
C． D．随机变量满足，则
11．（4分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人
D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：min）服从正态分布，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到公司要5min．从统计的角度，下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若，则，，．
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高三课时练习）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 ．
14．（4分）（2023·北京·高三统考阶段练习）设随机变量，，，则 .
15．（4分）（2022春·山东威海·高二期中）已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）=3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P(Y>0)=p，则P(016．（4分）（2022·高二单元测试）某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程（千米）服从正态分布.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在（千米）到（千米）之间的概率为 .（参考公式:随机变量服从正态分布，则，，.）
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·全国·高二专题练习）如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差.
18．（6分）（2022·高二课时练习）设服从，试求下面的概率：
(1)
(2)
(3)
(4)
19．（8分）（2023·全国·高二专题练习）在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．
(1)求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率；
(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．
注：，，．
20．（8分）（2023·高二课时练习）已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．
(1)求参数、的值；
(2)求．（结果精确到0.01%）
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
(1)求与．
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字）
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
22．（8分）（2023·全国·高三阶段练习）某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下：
7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09
6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14
根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，.
(1)估计优果的个数；
(2)为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小.
（ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需耍检验的果实的总个数.
附：若，则；，，.
