专题7.1 条件概率与全概率公式（重难点题型精讲）
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设P(A)>0，为样本空间，则
①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；
③设 和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA).
3．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，
n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一
个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原
因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求
解.
4．贝叶斯公式
设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对
任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下：
(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知;
(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
(4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P().
【题型1 条件概率的计算】
【方法点拨】
用定义法求条件概率P(B|A))的步骤：
(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式P(B|A)=求解.
【例1】某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出，，再利用条件概率求解即可．
【解答过程】由题意可知，，
所以．
故选：A．
【变式1-1】（2023秋·湖南长沙·高三阶段练习）为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用条件概率公式计算即可
【解答过程】记“代表队中既有男生又有女生”为事件，“男生甲被选中”为事件，
则，所以，所以
故选：D.
【变式1-2】（2023秋·全国·高三阶段练习）已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，结合条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设该电视“使用寿命超过15000小时”为事件，该电视“使用寿命超过30000小时”为事件，依题意得，，由条件概率的计算公式可得：.
故选:B.
【变式1-3】（2023·河南信阳·高三期末）某车间加工同一型号零件，第一 二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（ ）
① ② ③ ④
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④
【解题思路】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；
【解答过程】依题意，，，，故③正确；
所以，
所以，故①错误；
因为，所以，故②正确；
所以，故④正确；
故选：B.
【题型2 概率的乘法公式】
【方法点拨】
根据题目条件，利用概率的乘法公式，进行求解即可.
【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
【解题思路】根据条件概率公式求解即可．
【解答过程】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，
则由题意得，，
所以她两次均击中9环的概率为．
故选：C．
【变式2-1】（2023秋·全国·高三阶段练习）某精密仪器易因电压不稳损坏，自初装起，第一次电压不稳仪器损坏的概率为.若在第一次电压不稳仪器未损坏的条件下，第二次电压不稳仪器损坏的概率为，则连续两次电压不稳仪器未损坏的概率为（ ）
A．0.72 B．0.7 C．0.2 D．0.18
【解题思路】利用条件概率的计算公式求解即可.
【解答过程】设第次电压不稳仪器损坏为事件，
则，，
，，
故连续两次电压不稳仪器未损坏的概率为，
故选：A.
【变式2-2】（2022春·上海普陀·高二期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用条件概率的计算公式求解即可
【解答过程】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，
则，
所以.
故选：C.
【变式2-3】（2022春·广西河池·高二期末）已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.75，在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.64，则感染该病毒且确诊的概率是（ ）
A．0.40 B．0.45 C．0.48 D．0.50
【解题思路】根据条件概率公式即可求出感染该病毒且确诊的概率.
【解答过程】记“感染该病毒”为事件，“确诊“为事件，则，，所以.即感染该病毒且确诊的概率是0.48.
故选：C.
【题型3 全概率公式及其应用】
【方法点拨】
当所求事件的概率比较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件，求出这些简单事件的
概率，运用全概率公式来进行求解.
【例3】（2022春·福建厦门·高二期中）某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64
【解题思路】由全概率公式计算可得．
【解答过程】记事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”．由题意知，，，，，，，由全概率公式得，．即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62．
故选：C．
【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用全概率公式求解即可.
【解答过程】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”.
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
故选：C.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64
【解题思路】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”，利用全概率公式计算出，然后可得答案.
【解答过程】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则 ，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为．
故选：C．
【变式3-3】（2022春·山东聊城·高二期末）某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为，则小张第2天去乙餐厅的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意结合全概率公式可直接求得.
【解答过程】设 “第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
因此，小张第天去乙餐厅用餐的概率为.
故选：D.
【题型4 贝叶斯公式及其应用】
【方法点拨】
利用贝叶斯公式，进行转化求解即可.
【例4】（2023秋·江西上饶·高二期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
【解题思路】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【解答过程】此人是癌症患者的概率为.
故选：A.
【变式4-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可.
【解答过程】[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，
由全概率公式：
．
又由贝叶斯公式： ．
故选：B.
【变式4-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7
【解题思路】分别记表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，即求，由贝叶斯公式，即得解
【解答过程】设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则，，，，
由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为
.
故选：B.
【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（ ）
A． B． C．1% D．10%
【解题思路】在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常人为阴性与感染者为阴性的和.
【解答过程】由题意知，某小区感染了该病的人有，未感染的人有
该试剂将感染者判为阳性的概率是，则试剂将感染者判为阴性的概率是
将正常者判为阳性的概率是，则将正常者判为阴性的概率是
则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为
故选：A.专题7.1 条件概率与全概率公式（重难点题型精讲）
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设P(A)>0，为样本空间，则
①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；
③设 和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA).
3．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，
n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一
个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原
因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求
解.
4．贝叶斯公式
设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对
任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下：
(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知;
(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
(4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P().
【题型1 条件概率的计算】
【方法点拨】
用定义法求条件概率P(B|A))的步骤：
(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式P(B|A)=求解.
【例1】某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023秋·湖南长沙·高三阶段练习）为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋·全国·高三阶段练习）已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·河南信阳·高三期末）某车间加工同一型号零件，第一 二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（ ）
① ② ③ ④
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④
【题型2 概率的乘法公式】
【方法点拨】
根据题目条件，利用概率的乘法公式，进行求解即可.
【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
【变式2-1】（2023秋·全国·高三阶段练习）某精密仪器易因电压不稳损坏，自初装起，第一次电压不稳仪器损坏的概率为.若在第一次电压不稳仪器未损坏的条件下，第二次电压不稳仪器损坏的概率为，则连续两次电压不稳仪器未损坏的概率为（ ）
A．0.72 B．0.7 C．0.2 D．0.18
【变式2-2】（2022春·上海普陀·高二期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022春·广西河池·高二期末）已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.75，在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.64，则感染该病毒且确诊的概率是（ ）
A．0.40 B．0.45 C．0.48 D．0.50
【题型3 全概率公式及其应用】
【方法点拨】
当所求事件的概率比较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件，求出这些简单事件的
概率，运用全概率公式来进行求解.
【例3】（2022春·福建厦门·高二期中）某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64
【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64
【变式3-3】（2022春·山东聊城·高二期末）某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为，则小张第2天去乙餐厅的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 贝叶斯公式及其应用】
【方法点拨】
利用贝叶斯公式，进行转化求解即可.
【例4】（2023秋·江西上饶·高二期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
【变式4-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7
【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（ ）
A． B． C．1% D．10%
