【导与练2014-2015学年】北师大版数学必修五《第二章 解三角形》章末质量评估

章末质量评估
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2A. B.
C. D.
解析　因为a是最大的边，所以A>.
又a20，
可知A<，故答案　C
2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cos B等于 (　　)．
A. B. C. D.
解析　∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.又c＝2a，∴b2＝2a2.
∴cos B＝＝＝.
答案　B
3．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是 (　　)．
A．1C.解析　若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，
即a2>3，∴a>，故答案　C
4．满足A＝45°，c＝，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为 (　　)．
A．4 B．2 C．1 D．不确定
解析　由正弦定理＝得sin C＝＝＝.∵c>a，∴C>A＝45°，∴C
＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.
答案　A
5．在△ABC中，lg a－lg b＝lg sin B＝－lg，B为锐角，则A的值是 (　　)．
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析　∵lg sin B＝－lg，∴sin B＝，又B为锐角，∴B＝45°，∵lg a－lg b＝－lg，
∴a＝b，sin A＝sin B＝，∴A＝30°.
答案　A
6．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)．
A．1 km B．2sin 10° km
C．2cos 10° km D．cos 20° km
解析　如图所示，∠ABC＝20°，
AB＝1 km，∠ADC＝10°，
∴∠ABD＝160°.
在△ABD中，由正弦定理
＝，∴AD＝AB·＝＝
2cos 10°(km)．
答案　C
7．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是 (　　)．
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析　∵lg sin A－lg cos B－lg sin C＝2，∴lg＝lg 2.∴sin A＝2cos B sin C，∵A
＋B＋C＝180°，∴sin(B＋C)＝2cos Bsin C，∴sin(B－C)＝0.∴B＝C，∴△ABC为等腰三
角形．
答案　B
8．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么角A，B，C的大小关系为 (　　)．
A．A>B>C B．B>A>C
C．C>B>A D．C>A>B
解析　由正弦定理得＝，∴sin B＝，又∵B为锐角，∴B＝60°，∴C＝90°，
即C>B>A.
答案　C
9．若△ABC中，sin B·sin C＝cos2，则△ABC的形状为 (　　)．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析　由sin B·sin C＝cos2可得2sin B·sin C＝2cos2＝1＋cos A，即2sin B·sin C＝1－
cos(B＋C)＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，∴sin B·sin C＋cos Bcos C＝1，即cos(B－C)＝1，
又－π答案　C
10．在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是 (　　)．
A．有一内角为30°的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形
D．等边三角形
解析　由＝＝和正弦定理，知＝＝＝，
∴∴A＝B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.
答案　B
二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)
11．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝________.
解析　由S＝bcsin A＝×1×c×＝，∴c＝4.
∴a＝＝＝.
∴＝＝.
答案　
12．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝______.
解析　由S△ABC＝acsin B得sin B＝，
∴B＝60°或120°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a－c)2＋2ac－2accos B
∴b2＝22＋2×48－2×48cos B，
∴b2＝52或148.即b＝2或2.
答案　2或2
13．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A＝________.
解析　由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝.∴A＝.
答案　
14．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为________．
解析　S△ABC＝ac·sin B＝·c·sin 45°＝c，
又因为S△ABC＝2，所以c＝4，
由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B＝
1＋32－2×1×4×＝25，
∴b＝5，所以△ABC外接圆的直径2R＝＝5.
答案　5
15．三角形三边长为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________．
解析　>a，>b
设最大角为θ，则cos θ＝＝－，∴θ＝120°.
答案　120°
16．在△ABC中，已知A·A＝9，AB＝3，AC＝5，那么△ABC是________三角形．
解析　∵A·A＝|A|·|A|cos A＝15cos A＝9
∴cos A＝，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝
32＋52－2×3×5×＝16，∴BC＝4，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC为直角三角形．
答案　直角
三、解答题(共40分)
17．(10分)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
解　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端，依题意，∠BAD
＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°
－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，据正弦定理，
＝，
∴BD＝＝≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.
18．(10分)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．
(1)若△ABC的面积S△ABC＝，c＝2，A＝60°，求a、b的值；
(2)若a＝ccos B，且b＝csin A，试判断△ABC的形状．
解　(1)∵S△ABC＝bcsin A＝，
∴b·2sin 60°＝.得b＝1.由余弦定理得：
a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋22－2×1×2·cos 60°＝3，
所以a＝.
(2)因为a＝c·?a2＋b2＝c2，
所以C＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝，
所以b＝c·＝a，所以△ABC是等腰直角三角形．
19．(10分)在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其中c＝10，且＝＝.
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧上，∠PAB＝60°.求四边形ABCP的面积．
(1)证明　根据正弦定理得＝.
∴sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＝π－2B，又∵＝，∴b≠a，A≠B，
∴2A＝π－2B，∴A＋B＝，∴C＝，
∴△ABC是直角三角形．
(2)解　由(1)可得a∶b∶c＝3∶4∶5，
又∵c＝10，∴a＝6，b＝8.
在Rt△ACB中，
sin ∠CAB＝＝，cos ∠CAB＝.
∴sin ∠PAC＝sin(60°－∠CAB)
＝sin 60°·cos ∠CAB－cos 60°·sin ∠CAB
＝×－×＝(4－3)．
如图，连接PB，在Rt△APB中，
AP＝AB·cos ∠PAB＝5，
∴四边形ABCP的面积
S四边形ABCP＝S△ACB＋S△PAC＝
ab＋AP·AC·sin∠PAC
＝24＋×5×8×(4－3)＝18＋8.
20．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝b，判断△ABC的形状．
解　(1)因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，
所以在△ABC中，由余弦定理可得，
cos B＝＝
＝＝＝＝，
所以sin A＝sin 2B，故A＝2B.
(2)因为a＝b，所以＝，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，
cos B＝＝＝，
所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．