【导与练2014-2015学年】北师大版数学必修五《第三章 不等式》章末质量评估

章末质量评估
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设m∈R，则下列式子正确的是 (　　)．
A．3－2m＞1－2m B．m3＞m2
C. ＜m D．－2m＞－3m
解析　对于A，可算得为3＞1，显然成立．
答案　A
2．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠?，则m等于 (　　)．
A．1 B．2
C．1或 D．1或2
解析　∵Q＝{x|0＜x＜，x∈Z}＝{1,2}∴m＝1或2.
答案　D
3．不等式≥2的解集为 (　　)．
A．[－1,0) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
解析　由≥2得≤0，∴其解集为{x|－1≤x＜0}．
答案　A
4．已知ab＞0，且＋≥m恒成立，则m的取值范围是 (　　)．
A．{2} B．[2，＋∞)
C．(－∞，2] D．[－2，＋∞)
解析　∵ab＞0，∴＋≥2 ＝2，∴m≤2.
答案　C
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0的解集为R，则实数a的取值范围是 (　　)．
A．{a|－2＜a＜2} B．{a|－2≤a＜2}
C．{a|－2＜a≤2} D．{a|a≥2}
解析　当a＝2时，原不等式即为－4＜0恒成立．
当a≠2时，由题意
解得－2＜a＜2，∴－2＜a≤2.
答案　C
6．二次函数f(x)的图像如图所示，则f(x－1)＞0的解集为 (　　)．
A．(－2,1)
B．(0,3)
C．(－1,2]
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析　∵－1＜x－1＜2，∴0＜x＜3.
答案　B
7．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为 (　　)．
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
解析　画出图形，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标
(－2,2)，(a，－a)，(a，a＋4)．
∴S△＝|a＋2|·|2a＋4|＝9，∴a＝1，(a＝－5舍去)．故选D项．
答案　D
8．不等式组所表示的平面区域的面积等于 (　　)．
A. B. C. D.
解析　不等式组表示的平面区域如图所示．
A，B，C.
∴S△ABC＝|AC|·h＝××1＝.故选C.
答案　C
9．在R上定义运算?：x?y＝，若关于x的不等式x?(x＋1－a)＞0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是 (　　)．
A．[－1,3] B．[－3,1]
C．[－3，－1)∪(－1,1] D．[－1,1)∪(1,3]
解析　x?(x＋1－a)＝＝－＞0?＜0，
(1)?－1＜a≤1
(2)?－3≤a＜－1
(3)a＝－1时，不等式为<0，x∈?显然成立，故选B.
答案　B
10．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大？ (　　)．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析　求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，
则营运的年平均利润
＝＝12－≤12－2＝2，
此时x＝，解得x＝5.
答案　C
二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)
11．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
答案　①③⑤
12．已知0＜x＜6 ，则(6－x)·x的最大值是________．
解析　∵0＜x＜6，∴6－x＞0.
∴(6－x)·x≤2＝9.
当用仅当6－x＝x，即x＝3时，取等号．
答案　9
13．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
解析　由题意，k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
又k≠0，∴k的取值范围是k≥4或k≤2且k≠0.
答案　(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
14．已知函数f(x)＝若使不等式f(x)＜成立，则x的取值范围为________．
解析　当x≥2时，解x－＜得x＜－或0＜x＜3，
∴2≤x＜3.当x＜2时，x＜，∴x＜2，∴x＜3.
答案　{x|x＜3}
15．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析　2x2＋2ax－a－1≥0?x2＋2ax－a≥0，对x∈R恒成立，∴Δ≤0，∴－1≤a≤0.
答案　[－1,0]
16．关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为，则关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为________．
解析　由题设知a＜0且－＝－，＝1，
从而ax2－bx＋c＞0可以变形为x2－x＋＜0即x2－x＋1＜0，∴＜x＜2.所以不等式
ax2－bx＋c＞0的解集为.
答案　
三、解答题(本大题共4小题，共40分．)
17．(10分)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥36.
证明　∵(x＋y＋z)
＝14＋＋＋＋＋＋
≥14＋4＋6＋12＝36，
∴＋＋≥36，当且仅当x2＝y2＝z2，
即x＝，y＝，z＝时，等号成立．
18．(10分)已知函数f(x)在定义域(－∞，1]上是减函数，是否存在实数k，使得f(k－sin x)≥f(k2－sin2 x)对一切x∈R恒成立？并说明理由．
解　∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sin x≤k2－sin2 x≤1.假设存在实数k符合题意，
∵k2－sin2 x≤1，即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒成立，
且sin2 x≥0，∴k2－1≤0，
∴－1≤k≤1①
由k－sin x≤k2－sin2x得2≤k2－k＋，
∵2的最大值为，
∴k2－k＋≥，解得k≤－1或k≥2②
由①②知k＝－1为符合题意的实数．
19．(10分)设m为实数，若?{(x，y)|x2＋y2≤25}，求实数m的取值范围．
解　根据题意可知，直线mx＋y＝0不能与直线x－2y＋5＝0，3－x＝0平行，∴m≠.不等式组所确定的区域如下图所示．
因此只需要满足
?0≤m≤.
20．(10分)玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的关系为P＝1 000＋5x＋x2，而每套售出的价格为Q元，其中Q(x)＝a＋(a，b∈R)，
(1)问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？
(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值．(利润＝销售收入－成本)
解　(1)每套玩具所需成本费用为
＝＝x＋＋5≥2＋5＝25，
当x＝，即x＝100时等号成立，
故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少．
(2)利润为x·Q(x)－P＝x－＝
x2＋(a－5)x－1 000，
由题意解得a＝25，b＝30.