【导与练2014-2015学年】北师大版数学必修五《第一章 数列》章末质量评估

章末质量评估
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于 (　　)．
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
解析　∵an＋1－an＋1＝0，∴an＋1－an＝－1.∴数列{an}是以－1为公差的等差数列，又
a1＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)(－1)＝3－n.
答案　D
2．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为 (　　)．
A．81 B．120 C．168 D．192
解析　由a5＝a2q3得q＝3，∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.
答案　B
3．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是 (　　)．
A．15 B．30 C．31 D．64
解析　在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.
答案　A
4．设{an}是等比数列，若a1A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．不确定
解析　设数列{an}的公比为q，则有a1是递增数列．
答案　A
5．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则 (　　)．
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析　T5＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a35＝1.∴a3＝1.
答案　B
6．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于 (　　)．
A．18 B．24 C．60 D．90
解析　由a42＝a3·a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32
得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60，故选C.
答案　C
7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 (　　)．
A．21 B．20 C．19 D．18
解析　∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d，∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5
＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当n＝
20时，Sn有最大值．
答案　B
8．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|等于 (　　)．
A．1 B. C. D.
解析　易知这四个根依次为：，1,2,4.不妨设，4为x2－mx＋2＝0的根，1,2为x2－nx
＋2＝0的根．∴m＝＋4＝，n＝1＋2＝3，∴|m－n|＝＝.
答案　B
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于 (　　)．
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
解析　显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝＝1＋q5＝?q5＝－，故＝
＝＝＝.
答案　A
10．济南市决定从2009年到2013年五年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆比前一年递增10%，则2009年底更新现有总车辆的(参考数据：1.14＝1.46,1.15＝1.61)(　　)．
A．10% B．16.4% C．16.8% D．20%
解析　设2009年底更新现有总车辆的比例为x，则x＋1.1x＋1.12x＋1.13x＋1.14x＝1，得
x＝1，解得x≈16.4%.
答案　B
二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)
11．若a2，a3，a4，a5成等比数列，其公比为2，则＝______.
解析　由已知：a3＝2a2，a4＝4a2，a5＝8a2，∴＝＝＝.
答案　
12．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为________．
解析　由解得－≤d＜－，∵d∈Z，∴d＝－4.
答案　－4
13．已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2时，an2－(n＋2)an－1·an＋2nan－12＝0，则an＝________.(写出你认为正确的一个答案即可)
解析　an2－(n＋2)an－1·an＋2nan－12＝0，有(an－2an－1)·(an－nan－1)＝0，∴＝2，由a1
＝1知an＝2n－1.
答案　2n－1
14．已知数列{an}满足：a1＝m，(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________．
解析　由a6＝1得a5＝2，a4＝4，a3＝1或8，a2＝2或16，a1＝4或5或32.
答案　4,5,32
15．在数列{an}中，对任意自然数n∈N＋，恒有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a1＋a22＋a33＋…＋ann＝________.
解析　由Sn＝2n－1(n∈N＋)，得a1＝1，Sn－1＝2n－3(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2(n≥2)．a1
＋a22＋a33＋…＋ann＝1＋22＋23＋…＋2n＝－1＋＝2n＋1－3.
答案　2n＋1－3
16．在等差数列{an} 中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为________．
解析　∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，∴a8＋a9>0.∵S17＝＝17a9<0.∴a9<0，
∴a8>0.故当n＝8时，Sn最大．
答案　8
三、解答题(共40分)
17．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3＝－6，a6＝0，所以
解得a1＝－10，d＝2.
所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，q＝3.
所以数列{bn}的前n项和公式为
Sn＝＝4(1－3n)．
18．(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解　由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，
两边乘以2得：
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，　
两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝
2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
19．(10分)下面是某中学生在电脑中前4次按某一程序打出的若干实心圆，第n次打出的实心圆的个数记为an.
·　···　······　··········
(1)请写出该生为打印实心圆所编制的程序(即数列{an}的递推公式)；
(2)若按上述程序在每次若干实心圆生成后插入一个空心圆，问第n次生成的实心圆为
1 953个时，空心圆有多少个？
(3)若按(2)的条件，当空心圆达到5个时，进行第一次复制，然后再将复制后所得圆进行第二次复制，依次下去．试问至少复制几次可使空心圆不少于2 007个？
解　(1)递推公式是a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)．
(2)a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，相加得：
an＝＝1 953?n2＋n－3 906＝0，∴n＝62.
即此时空心圆有62个．
(3)第一次复制前有空心圆5个，
第一次复制后有空心圆10个，
第二次复制后有空心圆20个，
…
第n次复制后有空心圆10×2n－1个．
依题意：10×2n－1≥2 007，得n≥9.
∴至少复制9次才符合条件．
20．(10分)在等比数列{an}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且a1＝64，公比q≠1.
(1)求an；
(2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn.
解　(1)依题意，得a2＝a4＋3(a3－a4)，
即2a4－3a3＋a2＝0，
∴2a1q3－3a1q2＋a1q＝0，∴2q2－3q＋1＝0，
解得q＝1或q＝，
又∵q≠1，∴q＝，故an＝64×n－1.
(2)bn＝log2＝log227－n＝7－n，
∴|bn|＝
∴当n≤7时，|b1|＝6，Tn＝＝；
当n>7时，|b8|＝1，Tn＝T7＋＝
21＋.
∴Tn＝