【导与练2014-2015学年】北师大版数学必修三《第一章 统计》章末质量评估

章末质量评估
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．为了抽查某城市自行车年检情况，在该城市主干道上采取抽车牌个位数为6的自行车检查，这种抽样方法是 (　　)．
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．系统抽样 D．分层抽样
答案　C
2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 (　　).
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B.
C．3 D.
解析　由标准差公式计算可得选B.
答案　B
3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 (　　)．
A．3.5 B．3 C．0.5 D．－3
答案　D
4．某人从湖中打了一网鱼，共有m条，做上记号再放入湖中，数日后在此湖中又打了一网鱼，共有n条，其中k条有记号，则估计湖中有鱼 (　　)．
A.条 B．m·条
C．m·k·条 D．无法估计
答案　B
5．下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线y＝bx＋a及回归系数b，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是 (　　)．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案　D
6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 (　　).
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A.24 B．48 C．16 D．12
解析　依题意知二年级的女生有380名，那么三年级学生的人数应该是2 000
－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比例为3∶3∶2，故
在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×＝16.
答案　C
7．有一学校高中部有学生2 000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人．现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 (　　)．
A．15，10，25 B．20，15，15
C．10，10，30 D．10，20，20
解析　抽取比例为＝，故高一抽取800×＝20(人)，高二和高三都
为600×＝15(人)．
答案　B
8．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，已知该组的频率为m，该组上的直方图的高为h，|a－b|等于 (　　)．
A．mh B. C. D．m＋h
解析　因为h＝.所以|a－b|＝.
答案　C
9．已知x、y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归直线＝bx＋a必过点 (　　)．
A．(2，2) B．(1.5，0)
C．(1，2) D．(1.5，4)
解析　＝1.5，＝4，∴回归直线必过点(1.5，4)．
答案　D
10．某人对一个地区人均工资x与该地区人均消费y进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程为y＝0.66x＋1.562 (单位：百元)．若该地区人均消费水平为7.675百元，估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为 (　　)．
A．66% B．72.3% C．67.3% D．83%
解析　令y＝7.675，解得x＝9.262.
∴百分比约为≈83%.
答案　D
二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)
11．在所给的一组数据中，有m个x1，n个x2，p个x3，则此组数据的平均数________．
解析　该组数据共有m＋n＋p个，它们的和为mx1＋nx2＋px3，
∴＝.
答案　
12．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．
解析　甲的平均分为＝＝70(分)，
乙的平均分为＝68(分)；
甲的方差为s＝

＝2(分2)．
乙的方差为s＝7.2(分2)，
故甲的平均分高于乙，甲的成绩比乙稳定．
答案　甲　甲
13．在某路段路测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90 km/h的汽车约有________辆．
解析　频率＝×组距＝(0.02＋0.01)×10＝0.3，频数＝频率×样本总体＝
0.3×200＝60(辆)．
答案　60
14．某学校有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了解教师健康状况，从中抽取40人进行体检．用分层抽样方法抽取高级、中级、初级教师人数分别为________．
解析　抽取比例为＝，故分别抽取人数为90×＝12，150×＝20，
60×＝8.
答案　12，20，8
15．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：
分组
[90，100)
[100，110)
[110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150)
频数
1
2
3
10
1
这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
解析　样本容量为20，由20－1－2－3－10－1＝3知，频数对应[130，140)
应为3，则样本中质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的＝
70 %.
故这堆苹果中(即总体)质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的70 %.
答案　70
16．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程y＝bx＋a表示的直线一定过定点
________．
解析　回归直线一定过点(，)．
∵＝＝4(年)，
＝＝5(万元)，
∴回归直线方程y＝bx＋a一定过定点(4，5)．
答案　(4，5)
三、解答题(每小题10分，共40分)
17．某中学对高一年级学生进行身高统计，测量随机抽取的40名学生的身高，如下表(单位：cm)：
分组
频数
频率
[140，145)
1
[145，150)
2
[150，155)
5
[155，160)
9
[160，165)
13
[165，170)
6
[170，175)
3
[175，180)
1
合计
40
(1)完成上面的频率分布表；
(2)根据上表，画出频率分布直方图；
(3)根据图和表，估计数据落在[150，170)范围内的可能性是多少？
解　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[140，145)
1
0.025
[145，150)
2
0.05
[150，155)
5
0.125
[155，160)
9
0.225
[160，165)
13
0.325
[165，170)
6
0.15
[170，175)
3
0.075
[175，180)
1
0.025
合计
40
1
(2)频率分布直方图如下图所示：
(3)由(1)知：0.125＋0.225＋0.325＋0.15＝0.825，即落在[150，170)范围内的
可能性为0.825.
18．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞寒，A、B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示．(单位：mm)
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些；
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你
认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
解　(1)因为A、B两位同学成绩的平均数相同，同学B加工的零件中完全符
合要求的个数较多，由此认为B的成绩好些．
(2)∵s＝[5×(20－20)2＋3(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，
且s＝0.026，
∴ s>s.
在平均数相同的情况下，B的波动性小，
∴B的成绩好些．
(3)从图中折线图走势可知，尽管B的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，
误差小，可选派B去参赛．
19．设x′i＝axi＋b(a、b是常数)(i＝1，2，3，…，n)，
′＝(x′1＋x′2＋…＋x′n)，
＝(x1＋x2＋…＋xn)，
s＝[(x′1－′)2＋(x′2－′)2＋…＋(x′n－′)2]，
s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
试证：(1)′＝a＋b；(2)s＝a2s.
证明　(1)∵x′i＝axi＋b(i＝1，2，…，n)，
∴x′1＋x′2＋…＋x′n＝a(x1＋x2＋…＋xn)＋nb.
∴(x′1＋x′2＋…＋x′n)＝a·(x1＋x2＋…＋xn)＋b.
∴′＝a＋b.
(2)s＝[(x′1－′)2＋(x′2－′)2＋…＋(x′n－′)2]
＝{[ax1＋b－(a＋b)]2＋[ax2＋b－(a＋b)]2＋…＋[axn＋b－(a＋b)2]}
＝[a2(x1－)2＋a2(x2－)2＋…＋a2(xn－)2]
＝a2·[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
＝a2s.
20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝a
＋bx；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出
的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标
准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解　(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．
(2)对照数据，计算得＝86，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
已知iyi＝66.5，
所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为
a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能
耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．