第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·河南驻马店·高二期末）下列正确命题的个数是（ ）
①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；
④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】对①：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对②：根据方差公式可知方差恒不变；对③：根据正态分布的对称性即可求解；对④：根据二项分布概率的性质求解即可判断．
【解答过程】解：对于①：因为随机变量服从二项分布，，，
所以，，解得，故①错误；
对于②：根据方差公式（，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故②正确；
对于③：因为随机变量服从正态分布，由，
则，则成绩不在的概率，
则，故③正确；
对于④：因为在次射击中，击中目标的次数，
所以对应的概率，
当，时，令，
即，即，
解得，因为时，
所以当时，概率最大，故④错误．
故选：B．
2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（ ）
A．300 B．400 C．600 D．800
【解题思路】由题意可知正态分布曲线的对称轴为，即可求得，从而得的值，由此可求答案.
【解答过程】由题意，随机变量，即，即正态分布曲线的对称轴为，因为，所以，
所以 ，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为，
故选:C．
3．（5分）（2022春·河南焦作·高二阶段练习）若离散型随机变量的分布列为，则的值为
A． B． C． D．
【解题思路】由题 则由可求的值，进而求得.
【解答过程】由题 ，
则由离散型随机变量分布列的性质可得
故
故选A.
4．（5分）（2022春·全国·高二期末）下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量X服从二项分布，则
②已知随机变量X服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
【解题思路】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.
【解答过程】解：命题①：设随机变量X服从二项分布，
则，正确；
命题②：∵服从正态分布，
∴正态曲线的对称轴是，
，
，正确；
命题③：设事件“4个人去的景点不相同”，
事件“小赵独自去一个景点”，
则，
所以，正确；
命题④：正确，错误，应该为，故不正确.
故选：A.
5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.
【解答过程】随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
2 3
故
因为，故，而，故A、B错误.
而，
令，因为，
故，此时，
必成立，故C错误，D正确.
故选：D.
6．（5分）（2023·高二课时练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量，且向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布公式求概率，根据、即可判断各选项的正误；
【解答过程】由题意知：设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，
∴爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有；故，则：
1、，，故A、B正确；
2、，，即，有，故C错误；
3、，即，有，故D正确；
故选：C.
7．（5分）（2022春·黑龙江佳木斯·高二期末）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设Y=X-1，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案.
【解答过程】设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且，
设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以，
于是（）.
所以，A错误；
，
，
所以，B错误；
，C错误，D正确；
故选：D.
8．（5分）（2022秋·陕西咸阳·高三阶段练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【解答过程】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，
所以最短路径条数为条，错误；
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；
对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，
所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；
对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，
所以，错误.
故说法正确的个数是2.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·山东滨州·高三期末）已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）
参考数据: 若 , 则
，
A．
B．对于任意的正数，有
C．
D．
【解题思路】根据正态分布密度曲线关于对称，且越小图像越靠轴，越小图像越瘦长，以及原则即可逐一分析四个选项得出结论.
【解答过程】对于 A, ，故A选项正确;
对于 B, 对于任意的正数 , 由图象知 表示正态密度曲线与轴围成的面积始终大于 表示正态密度曲线与轴围成的面积, 所以 ; 故B选项正确;
对于 C, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 , 故C选项错误;
对于 D, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 ,选项D正确.
故选：ABD.
10．（5分）（2022春·重庆万州·高二阶段练习）在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1 2 3 4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于
B．1选项是正确选项的概率高于
C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为
D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为
【解题思路】先分别计算出任意一组2个选项、3个选项、4个选项为正确答案的概率，再依次判断4个选项即可.
【解答过程】若正确选项的个数为2个，则有共6种组合，每种组合为正确答案的概率为，
若正确选项的个数为3个，则有共4种组合，每种组合为正确答案的概率为，
若正确选项的个数为4个，则有共1种组合，这种组合为正确答案的概率为，
对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；
对于B，1选项是正确选项的概率为，正确；
对于C，1选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；
对于D，1选项为错误选项为事件C， ，正确选项有2个为事件D，则，错误.
故选：BC.
11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【解题思路】利用随机变量概率的性质证明选项A判断正确；利用二项分布数学期望的性质证明选项B判断正确；举反例否定选项C；利用单调性证明选项D判断正确.
【解答过程】对于A，，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，当时，，所以C错误；
对于D，因为，所以当时，最大，所以D正确；
证明如下：若，则，
若，则，解得，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
即当为整数时，或时，取得最大值，
当不为整数，k为的整数部分时，取得最大值．
故选：ABD．
12．（5分）（2022·全国·高二学业考试）将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（ ）
A．当n=1时，方差
B．当n=2时，
C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立
D．当n确定时，期望
【解题思路】对于A：当n=1时，，，，，根据，可判断；
对于B：当n=2时，由，可判断；
对于C：由，可判断；
对于D：由可判断.
【解答过程】当n=1时，，，，，
则，A正确；
当n=2时，，B错误；
由已知得，，k≤n-2，
，又有，所以P(X=n-l)>P(X=n)，C正确；
又
，D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·全国·高三专题练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ．
【解题思路】设，由题意得，求出时的概率，由此能求出落入号格的小球粒数．
【解答过程】解：设 “向右下落”，则 “向左下落”，且，
设，小球下落过程中共碰撞次，，
，，1，2，3，4，，
，
故投入粒小球，则落入号格的小球大约有粒．
故答案为：．
14．（5分）（2023·全国·高二专题练习）某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为 5 ．
【解题思路】求出取出的零件为合格品的概率，再利用二项分布的概率公式列出不等式，借助单调性求解作答.
【解答过程】因X服从正态分布，且，则，即每个零件合格的概率为，
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为，
依题意，，即，
令，则有，即单调递减，
而，，因此不等式的解集为，
所以n的最小值为5．
故答案为：5.
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则 > ．（填>，<，=）
【解题思路】根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.
【解答过程】，故
.
，
.
要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得
①，
由于为互不相等的正实数，故，也即
，也即.
故答案为：.
16．（5分）（2023秋·天津南开·高三阶段练习）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是 （2） ．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．
【解题思路】由古典概型，独立事件的乘法公式，条件概率公式对结论逐一判断
【解答过程】对于（1），，所以两次点数之和应大于6，
即直接挑战第2关并过关的概率为，故（1）正确；
对于（2），，所以挑战第1关通过的概率，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故（2）错误；
对于（3），由题意可知，抛掷3次的基本事件有，
抛掷3次至少出现一个5点的事件共有种，
故，而事件包括：含5，5，5的1种，含4，5，6的有6种，共7种，
故，所以，故（3）正确；
对于（4），当时，，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，
含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，
含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，
含3，6，6，6的有4种，
所以，故（4）正确．
故答案为：（2）.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022秋·重庆渝中·高三阶段练习）由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，同学们组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
【解题思路】（1）设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，则，再根据二项分布的概率公式求解即可；
（2）设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故，进而结合全概率公式和条件概率公式求解即可.
【解答过程】（1）解：因为该市2021年男女驾驶员的比例为，
所以，在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为，
设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，
所以，
所以，恰有1位女驾驶员的概率是.
（2）解：设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故.
所以，，，
所以，根据全概率公式，，
所以，
所以，该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少.
18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.
维修次数 2 3 4 5 6
甲设备 5 10 30 5 0
乙设备 0 5 15 15 15
（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；
（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.
【解题思路】（1）的可能取值为10000，11000，12000，的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；
（2）计算期望，得到，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，，计算分布列，计算数学期望得到答案.
【解答过程】（1）的可能取值为10000，11000，12000，
，，，
因此的分布如下
10000 11000 12000
的可能取值为9000，10000，11000，12000，
，，，，
因此的分布列为如下
9000 10000 11000 12000
（2），
，
设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，，
的可能取值为2，3，4，5，
，，，，
则的分布列为
2 3 4 5
，
的可能取值为3，4，5，6，
，，，，
则的分布列为
3 4 5 6
，
由于，，因此需购买甲设备.
19．（12分）（2023·全国·高三专题练习）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
【解题思路】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；
（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.
【解答过程】（1）平均每组人，
设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，
所以，
所以该组试验只需第一轮注射的概率为．
（2）由（1）得，
，
所以
，
设，则，
又，
所以
，因为，所以，
又
，因为，所以，
所以．
20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【解题思路】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【解答过程】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
0 1 2
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
21．（12分）（2022·高二课时练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
【解题思路】（1）分析出且与的奇偶性一致，右由此可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论.
【解答过程】（1）首先有，
去绝对值不影响数的奇偶性，故
与的奇偶性一致，而
为偶数，故的可能取值都为非负偶数；
（2）①由（1）知当时，的可能取值为、、、、，
，，，
，，
所以的分布列为
从而的数学期望；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”
为事件，则，
又各轮测试相互独立，，
因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.
22．（12分）（2022·全国·高三专题练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【解题思路】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出的值，进而估计出概率；
（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子进行判断.
【解答过程】（1）
由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）
由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
（3）
，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·河南驻马店·高二期末）下列正确命题的个数是（ ）
①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；
④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（ ）
A．300 B．400 C．600 D．800
3．（5分）（2022春·河南焦作·高二阶段练习）若离散型随机变量的分布列为，则的值为
A． B． C． D．
4．（5分）（2022春·全国·高二期末）下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量X服从二项分布，则
②已知随机变量X服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2023·高二课时练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2022春·黑龙江佳木斯·高二期末）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2022秋·陕西咸阳·高三阶段练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·山东滨州·高三期末）已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）
参考数据: 若 , 则
，
A．
B．对于任意的正数，有
C．
D．
10．（5分）（2022春·重庆万州·高二阶段练习）在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1 2 3 4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于
B．1选项是正确选项的概率高于
C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为
D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为
11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
12．（5分）（2022·全国·高二学业考试）将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（ ）
A．当n=1时，方差
B．当n=2时，
C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立
D．当n确定时，期望
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·全国·高三专题练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ．
14．（5分）（2023·全国·高二专题练习）某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为 ．
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则 ．（填>，<，=）
16．（5分）（2023秋·天津南开·高三阶段练习）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是 ．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022秋·重庆渝中·高三阶段练习）由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，同学们组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.
维修次数 2 3 4 5 6
甲设备 5 10 30 5 0
乙设备 0 5 15 15 15
（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；
（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.
19．（12分）（2023·全国·高三专题练习）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
21．（12分）（2022·高二课时练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
22．（12分）（2022·全国·高三专题练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
