第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·河北唐山·高二期中）给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
2．（5分）（2023春·河南焦作·高二开学考试）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09
3．（5分）（2022·浙江·模拟预测）若离散型随机变量，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）（2023春·河南焦作·高二开学考试）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022春·河南三门峡·高二阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022·高二课时练习）已知事件A，B，且则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2023·高三课时练习）已知随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，则（ ）A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知三个正态密度函数的图像如图，则下列结论错误的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
10．（5分）（2022春·浙江宁波·高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量服从二项分布，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量的方差，则
11．（5分）（2023春·河北邯郸·高三开学考试）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）（2022春·吉林·高二期中）袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ）
A．抽取次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数的期望为
D．取球次数的方差为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
14．（5分）（2022春·山西吕梁·高二期中）设随机变量服从二项分布，若，，则实数的值为 .
15．（5分）（2023秋·上海·高二考期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则 .
16．（5分）（2022春·浙江绍兴·高二期中）学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则= ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·高二课时练习）已知，求：
(1)；
(2)．
18．（12分）（2023·高二课时练习）设随机变量的概率分布，．
(1)求常数的值；
(2)求和的值．
19．（12分）（2022·全国·高三专题练习）某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布.
(1)求；
(2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数.
参考数据：，，.
20．（12分）（2022秋·西藏林芝·高三阶段练习）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
(1)求X的分布列；
(2)求．
21．（12分）（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
22．（12分）（2023秋·江苏南京·高二期末）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中两次的概率；
(2)求该射手的总得分的分布列及数学期望．第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·河北唐山·高二期中）给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
【解题思路】由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.
【解答过程】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，
⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.
故选：A.
2．（5分）（2023春·河南焦作·高二开学考试）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09
【解题思路】先计算，再结合计算即可.
【解答过程】∵，∴，
∴．
故选：D.
3．（5分）（2022·浙江·模拟预测）若离散型随机变量，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二项分布的期望公式及二项分布的概率公式即得.
【解答过程】因为，
所以，得，
所以
.
故选：C.
4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由数学期望与方差的性质求解
【解答过程】，得，
，得，
故选：B.
5．（5分）（2023春·河南焦作·高二开学考试）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可.
【解答过程】由题意知，，
所以
.
故选:B.
6．（5分）（2022春·河南三门峡·高二阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．
【解答过程】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
．
故选：D．
7．（5分）（2022·高二课时练习）已知事件A，B，且则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求出答案.
【解答过程】由题意，，易知,
所以，
所以.
故选：B.
8．（5分）（2023·高三课时练习）已知随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，则（ ）A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
【解题思路】通过计算期望和方差来求得正确答案.
【解答过程】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知三个正态密度函数的图像如图，则下列结论错误的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据正态幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解答过程】由正态密度函数和的图像关于同一条直线对称，所以；
又由的图像的对称轴在的图像的对称轴的右边，故有；
因为越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”，
由图象知知正态密度函数和的图像一样“瘦高”，的图像明显“矮胖”，
从而可知．所以A，B，C都是错误的，D正确．
故选：ABC.
10．（5分）（2022春·浙江宁波·高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量服从二项分布，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量的方差，则
【解题思路】根据两点分布，二项分布的方差公式判断A，B，根据方差的性质判断D，根据二项分布的性质判断C.
【解答过程】若随机变量服从两点分布，，则，A错，
若随机变量服从二项分布，则，B对，
若随机变量服从二项分布，则，C对，
若随机变量的方差，则，D错，
故选：BC.
11．（5分）（2023春·河北邯郸·高三开学考试）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据B发生时A必定发生，得到，故，从而得到，AD错误；结合条件概率判断出B错误，C正确.
【解答过程】由题意，，所以，所以，则A，D错误；
，则B错误；
，则C正确.
故选：ABD.
12．（5分）（2022春·吉林·高二期中）袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ）
A．抽取次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数的期望为
D．取球次数的方差为
【解题思路】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.
【解答过程】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，
则，，.
对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；
对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；
对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；
对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知随机变量服从正态分布，若，则 0.15 .
【解题思路】根据正态分布的对称性求出.
【解答过程】由题意得：，
根据对称性可知：.
故答案为：0.15.
14．（5分）（2022春·山西吕梁·高二期中）设随机变量服从二项分布，若，，则实数的值为 6 .
【解题思路】结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
【解答过程】由题意可得，，解得．
故答案为：6．
15．（5分）（2023秋·上海·高二考期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则 .
【解题思路】设事件表示小明第二关闯关成功，由条件概率计算公式可得答案.，
【解答过程】设事件表示小明第二关闯关成功，
由题意 ，，
所以.
故答案为：.
16．（5分）（2022春·浙江绍兴·高二期中）学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则= ．
【解题思路】求出的可能取值及相应的概率，求出期望值，进而求出方差.
【解答过程】的可能取值为5,4,3,2
，，，
，
则，
则
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·高二课时练习）已知，求：
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）根据条件概率公式计算即可得出答案.
（2）根据条件概率公式计算即可得出答案.
【解答过程】(1)
解：因为，
所以；
(2)
解：因为，
所以.
18．（12分）（2023·高二课时练习）设随机变量的概率分布，．
(1)求常数的值；
(2)求和的值．
【解题思路】（1）（2）由分布列的性质求解即可；
【解答过程】（1）解：由，得．
（2）解：由题知：．
．
19．（12分）（2022·全国·高三专题练习）某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布.
(1)求；
(2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数.
参考数据：，，.
【解题思路】（1）利用原则可求得的值；
（2）利用原则计算出，乘以可得结果.
【解答过程】（1）解：由已知，，则，，
所以，
.
（2）解：，，
所以，
，
，
所以，该地区名高三学生中，总分落在区间的人数约为.
20．（12分）（2022秋·西藏林芝·高三阶段练习）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
(1)求X的分布列；
(2)求．
【解题思路】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.
【解答过程】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，
所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故
即 , , ,
, ；
X的分布列如下:
0 1 2 3 4
（2）,
.
21．（12分）（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
【解题思路】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可；
（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.
【解答过程】（1）
设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
．
（2）
．
22．（12分）（2023秋·江苏南京·高二期末）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中两次的概率；
(2)求该射手的总得分的分布列及数学期望．
【解题思路】(1)由题意可得恰好命中两次包含甲靶击中两次且乙靶不中和甲靶击中一次和乙靶击中即可求得答案；
(2) 依据题意可知的所有可能取值为，求出对应的概率，再根据期望公式计算即可.
【解答过程】（1）设“该射手恰好命中两次”为事件，
．
（2）由题意可得：
；
；
；
；
，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
所以．
