专题7.8 二项分布与超几何分布（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【解题思路】根据超几何分布的定义可判断得选项.
【解答过程】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
2．（3分）（2022春·山西·高二期末）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解.
【解答过程】由，得，解得
所以.
故选：D.
3．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【解题思路】由，，求出值，利用二项分布的方差公式求出，再利用方差的线性性质，即可得到答案．
【解答过程】由于随机变量满足： ，，
，
解得：，即，
，
又随机变量，满足：，
，
故选：C.
4．（3分）（2023·全国·高二专题练习）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
【解题思路】求使取最大值的的值可通过比较和的大小得到．可利用做商法比较大小，从而可得出答案.
【解答过程】解：，
则，得，
所以当时，，
当时，，
从而时，取得最大值．
故选：B．
5．（3分）（2022春·广东广州·高二期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从几何分布 D．
【解题思路】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【解答过程】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故A，D错误．
故选：C．
6．（3分）（2023·山西·统考一模）已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
其中，2，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】由题知，进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得答案.
【解答过程】解：由表中数据可知，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，.
故选：B.
7．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案.
【解答过程】由题意得该产品能销售的概率为，
易知的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，
所以，
，
，
故.
故选：C.
8．（3分）（2023·全国·高二专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【解题思路】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
【解题思路】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.
【解答过程】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则， ，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
10．（4分）（2023春·河北石家庄·高三开学考试）某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数，其中ai，若在A的各数位上出现0和1的概率均为，记，则当程序运行一次时（ ）
A． B．
C．X的数学期望 D．X的方差
【解题思路】确定，计算得到AB正确，根据数学期望和方差的公式计算得到C正确，D错误，得到答案.
【解答过程】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，
所以，所以，故A正确；
，故B正确；
因为，所以，故C正确，D错误.
故选：ABC.
11．（4分）（2022春·山西吕梁·高二期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件
C． D．
【解题思路】假设次品为件，由求得次品及次品率，再分别求的，即可得出结果.
【解答过程】假设10件产品中存在次品为件，从中抽取2件，
，则次品数为2件，B错误；
这10件产品的次品率为，A正确；
10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为，则的可能取值为0，1，2，
；
则，C正确；
，D正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲 乙 丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【解题思路】对于A选项，由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，则，所以A正确；对于B选项，依题意，利用等比数列的定义即可判断数列是等比数列；对于C，D选项，利用B选项的结论可解得，则当时，，
所以，所以C正确，错误.
【解答过程】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，故A正确；
依题意，，则.
又时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确
所以，
当时，，
所以，所以C正确，错误.
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·重庆沙坪坝·重庆模拟预测）已知随机变量，且，则 .
【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.
【解答过程】解：因为随机变量，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
14．（4分）（2023·高三课时练习）设随机变量，若，则= ．
【解题思路】由题意可得,由此解出值,根据,代入所求的概率的值,根据得到结果.
【解答过程】随机变量,且，
,
解得,，
，
故答案为：.
15．（4分）（2023·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)= ．
【解题思路】根据题意结合古典概型求得，进而求X的分布列和期望.
【解答过程】设袋中有个黑球，则白球有，
由题意可得：，解得或（舍去），
故X的可能取值有，则有：
，
可得X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故.
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ．
【解题思路】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得.
【解答过程】至少射击4次合格通过的概率为，
所以，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时得最大值，故．
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高三专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．
（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．
（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3．
（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．
【解题思路】（1）由条件可知，写出二项分布列；（2）根据古典概型求概率；（3）因为是有放回，所以每此抽取，抽出次品的概率是，，写出二项分布列；（4）X4服从超几何分布，根据超几何分布求概率分布.
【解答过程】【解】（1）X1的分布列为
X1 0 1 2 … n
P …
X1服从二项分布，即X1～．
（2）X2的分布列为
X2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
（3）X3的分布列为
X3 0 1 2 … n
P …
X3服从二项分布，即X3～.
(4)X4的分布列为
X4 0 1 … k … n
P … …
X4服从超几何分布．
18．（6分）（2023秋·河北唐山·高三期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望.
【解题思路】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【解答过程】（1）顾客获得两个奖品的概率为：
.
（2）个顾客没有获奖的概率为，
所以，则的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
19．（8分）（2023·全国·模拟预测）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：
竞赛成绩
频率
(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中竞赛成绩在的男生有人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取人进行调查，记抽取的男生人数为，求的分布列及期望.
【解题思路】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；
（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在的总人数，进而确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.
【解答过程】（1）平均数为.
（2）由题意知：样本中竞赛成绩在的共有人，其中有男生人，
则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为
数学期望.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
时间（小时/周） 0
人数 20 40 30 10
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．
【解题思路】(1)根据表中数据，即可知10人有4人阅读时间大于0.5，由组合即可求解概率；
(2)将频率视为概率则，利用二项分布概率公式及不等式法求取得最大时对应的值．
【解答过程】（1）
抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为
（2）
周阅读时间在小时的频率为，故概率为，
则，所以，
由得：，化简得
解得，又，故.
21．（8分）（2022·全国·高二专题练习）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？
②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【解题思路】（1）事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在，”发生的概率为．
①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在，”为，利用独立重复实验的概率求解即可．
②随机变量所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，判断，通过若户的可能性最大，列出不等式组，求解即可．
【解答过程】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为.
①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为A，则.
②随机变量所有可能的取值为0，1，2.则
，，，
0 1 2
所以
（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，，
若k户的可能性最大，则，
，得，
解得，由于，故.
22．（8分）（2022春·广东佛山·高二阶段练习）某酒业销售公司从2022年元旦起对本公司经销的甲、乙两个系列的酒开展限量促销活动，每位顾客每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中的一瓶.统计发现：第一次购买酒的顾客购买一瓶甲系列酒的概率为，购买一瓶乙系列酒的概率为；而前一次购买甲系列酒的消费者下一次购买甲系列酒的概率为，购买乙系列酒的概率为：前一次购买乙系列酒的顾客下一次购买甲系列酒的概率为，购买乙系列酒的概率为；如此往复.
(1)设某人第n次购买甲系列酒的概率为，求与之间的等量关系，并求的表达式；
(2)若该公司每卖出一瓶甲系列的酒可获利30元，卖出一瓶乙系列的酒可获利20元，由样本估计总体，若该公司每天可卖出甲、乙系列的酒共1000瓶，且买酒的人都是老顾客，他们之前都已多次购买过这两个系列的酒，试估计该公司每天销售甲、乙系列酒获得的利润约为多少元
【解题思路】（1）由题意可得，由递推关系式可构造等比数列即可得到表达式.
（2）假设用表示该公司一天中销售甲系列酒的瓶数，由二项分布期望公式以及利润公式可得答案.
【解答过程】（1）由题意可知：，，即，所以.又，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以.
（2）由于每天购买甲、乙系列酒的人都已购买过很多次，所以，对于顾客来说，某天来购买酒时，可以将n看成是比较大的数，那么就非常接近于，由样本估计总体可知：顾客购买甲系列酒的概率约为.假设用表示该公司一天中销售甲系列酒的瓶数，则，所以，即购买甲系列酒的瓶数的期望为400，所以该公司每天能卖出甲系列酒400瓶，乙系列酒600瓶.因此，估计该公司销售甲、乙系列酒每天获得的利润约为（元）.专题7.8 二项分布与超几何分布（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
2．（3分）（2022春·山西·高二期末）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（3分）（2023·全国·高二专题练习）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
5．（3分）（2022春·广东广州·高二期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从几何分布 D．
6．（3分）（2023·山西·统考一模）已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
其中，2，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2023·全国·高二专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
10．（4分）（2023春·河北石家庄·高三开学考试）某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数，其中ai，若在A的各数位上出现0和1的概率均为，记，则当程序运行一次时（ ）
A． B．
C．X的数学期望 D．X的方差
11．（4分）（2022春·山西吕梁·高二期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件
C． D．
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲 乙 丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·重庆沙坪坝·重庆模拟预测）已知随机变量，且，则 .
14．（4分）（2023·高三课时练习）设随机变量，若，则= ．
15．（4分）（2023·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)= ．
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高三专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．
（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．
（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3．
（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．
18．（6分）（2023秋·河北唐山·高三期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望.
19．（8分）（2023·全国·模拟预测）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：
竞赛成绩
频率
(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中竞赛成绩在的男生有人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取人进行调查，记抽取的男生人数为，求的分布列及期望.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
时间（小时/周） 0
人数 20 40 30 10
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．
21．（8分）（2022·全国·高二专题练习）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？
②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
22．（8分）（2022春·广东佛山·高二阶段练习）某酒业销售公司从2022年元旦起对本公司经销的甲、乙两个系列的酒开展限量促销活动，每位顾客每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中的一瓶.统计发现：第一次购买酒的顾客购买一瓶甲系列酒的概率为，购买一瓶乙系列酒的概率为；而前一次购买甲系列酒的消费者下一次购买甲系列酒的概率为，购买乙系列酒的概率为：前一次购买乙系列酒的顾客下一次购买甲系列酒的概率为，购买乙系列酒的概率为；如此往复.
(1)设某人第n次购买甲系列酒的概率为，求与之间的等量关系，并求的表达式；
(2)若该公司每卖出一瓶甲系列的酒可获利30元，卖出一瓶乙系列的酒可获利20元，由样本估计总体，若该公司每天可卖出甲、乙系列的酒共1000瓶，且买酒的人都是老顾客，他们之前都已多次购买过这两个系列的酒，试估计该公司每天销售甲、乙系列酒获得的利润约为多少元
