专题7.9 正态分布（重难点题型精讲）
1．连续型随机变量
随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.
2．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，
当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；
(3)曲线在x=处达到峰值；
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；
(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；
(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分
布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.
4．3原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学
中称为3原则.
【题型1 正态曲线的特点】
【方法点拨】
根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可.
【例1】（2023·高三课时练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【变式1-1】（2022秋·上海黄浦·高三期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022春·广东清远·高二期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-3】（2022春·江苏常州·高二期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（ ）.
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
【题型2 利用正态曲线的对称性求概率】
【方法点拨】
利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的
随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022春·湖南张家界·高二期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022春·吉林长春·高二期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用正态分布的3原则求概率】
【方法点拨】
利用正态分布的3原则求概率一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X
+2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对
称性和正态曲线与x轴之间的面积为1.
【例3】（2022春·河北衡水·高二阶段练习）若，则（ ）
（参考数据：，）
A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865
【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，则的值约为 （ ）
附：若，则，，
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022春·河南洛阳·高二阶段练习）某工厂生产的零件的尺寸（单位:）服从正态分布.任选一个零件，尺寸在的概率为（ ）
附:若，则，，.
A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545
【变式3-3】（2022春·河南·高二阶段练习）已知某批零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其中的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（ ）
（附：若，则，，）
A． B． C． D．
【题型4 正态分布的实际应用】
【方法点拨】
利用服从正态分布N(,)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率，可以解决两类实际问题：
一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率，再乘样本容量即可.
另一类是利用3原则作决策.
【例4】（2022·高二课时练习）某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为，标准差是.测量记录精确到.
(1)求抗拉强度超过的元件的比例；
(2)如果要求所有元件的规格是的抗拉强度，那么被报废的元件的比例是多少？
【变式4-1】（2022秋·福建莆田·高三阶段练习）某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.
(1)求全班平均成绩；
(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）
(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差.
参考数据： .
【变式4-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：）服从正态分布.
(1)当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据.
(2)规定：这种零食的质量在62.8~69.4的为合格品.
①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）
②从该种零食中任意挑选n袋，合格品的袋数为Y，若Y的数学期望大于58，求n的最小值.
参考数据：若，则，，.
【变式4-3】（2022·福建福州·高二期末）近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 幼年期 成长期 成年期
重量（Kg）
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据：若，，，）专题7.9 正态分布（重难点题型精讲）
1．连续型随机变量
随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.
2．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，
当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；
(3)曲线在x=处达到峰值；
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；
(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；
(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分
布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.
4．3原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学
中称为3原则.
【题型1 正态曲线的特点】
【方法点拨】
根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可.
【例1】（2023·高三课时练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【解题思路】根据正态分布的密度曲线的性质及意义判断即可
【解答过程】解：由正态密度曲线的性质可知，
、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，
；
又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，
；
故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数，
．
故C正确，D错误．
故选：C．
【变式1-1】（2022秋·上海黄浦·高三期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2022春·广东清远·高二期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.
【解答过程】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.
故选：C.
【变式1-3】（2022春·江苏常州·高二期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（ ）.
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
【解题思路】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.
【解答过程】由题意，得，，，
因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
故选：A.
【题型2 利用正态曲线的对称性求概率】
【方法点拨】
利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的
随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由正态分布的对称性求出即得解.
【解答过程】解：由随机变量及正态分布的对称性，知，
所以.
故选：D.
【变式2-1】（2022春·湖南张家界·高二期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可求解.
【解答过程】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为 ，根据对称性可知：
，
故选：D.
【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正态分布的性质可得，即可得到、关于对称，从而得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为，
，
所以，
所以，解得.
故选：D.
【变式2-3】（2022春·吉林长春·高二期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正态分布的对称性可得：，，结合题意可求，进而可求．
【解答过程】，则，
∴ ，则，
∴，
故选：C．
【题型3 利用正态分布的3原则求概率】
【方法点拨】
利用正态分布的3原则求概率一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X
+2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对
称性和正态曲线与x轴之间的面积为1.
【例3】（2022春·河北衡水·高二阶段练习）若，则（ ）
（参考数据：，）
A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865
【解题思路】根据题意得到，从而利用正态分布图象对称性求出.
【解答过程】因为，，故,，
所以.
故选：A.
【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，则的值约为 （ ）
附：若，则，，
A． B． C． D．
【解题思路】由题意确定，根据，即可得答案.
【解答过程】由题意知随机变量，故 ，
故
,
故选：A.
【变式3-2】（2022春·河南洛阳·高二阶段练习）某工厂生产的零件的尺寸（单位:）服从正态分布.任选一个零件，尺寸在的概率为（ ）
附:若，则，，.
A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545
【解题思路】由题意可得，代入计算即可.
【解答过程】解：由题意可知，且图象关于对称，
所以＝＝.
故选：B.
【变式3-3】（2022春·河南·高二阶段练习）已知某批零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其中的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（ ）
（附：若，则，，）
A． B． C． D．
【解题思路】根据原则结合正态分布的对称性即可得出答案.
【解答过程】解：因为某批零件的尺寸（单位：）服从正态分布，
所以
.
故选：D.
【题型4 正态分布的实际应用】
【方法点拨】
利用服从正态分布N(,)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率，可以解决两类实际问题：
一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率，再乘样本容量即可.
另一类是利用3原则作决策.
【例4】（2022·高二课时练习）某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为，标准差是.测量记录精确到.
(1)求抗拉强度超过的元件的比例；
(2)如果要求所有元件的规格是的抗拉强度，那么被报废的元件的比例是多少？
【解题思路】（1）转化为标准正态分布，结合查表求得所占比例.
（2）利用来求得正确答案.
【解答过程】(1)
依题意，
，
查表可知，在标准正态分布中，，
则，
所以抗拉强度超过的元件的比例是.
(2)
依题意，
，
所以被报废的元件的比例是.
【变式4-1】（2022秋·福建莆田·高三阶段练习）某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.
(1)求全班平均成绩；
(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）
(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差.
参考数据： .
【解题思路】（1）由易知全班平均成绩；
（2）由正太分布曲线的对称性易得 ，从而计算出得分超过141的人数；(3)的取值为0，1，2，3，4，计算出相应的概率值，利用公式即可算得期望与方差.
【解答过程】
(1)由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.
(2)
,
故141分以上的人数为人.
(3)的取值为0，1，2，3，4，
,
,
,
,
,
故的分布列为
0 1 2 3 4
期望，
方差.
【变式4-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：）服从正态分布.
(1)当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据.
(2)规定：这种零食的质量在62.8~69.4的为合格品.
①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）
②从该种零食中任意挑选n袋，合格品的袋数为Y，若Y的数学期望大于58，求n的最小值.
参考数据：若，则，，.
【解题思路】（1）根据题意确定，求得，即可说明小概率事件发生了，由此判断该质检员的决定有道理；
（2）①根据为，，可确定当零食质量X满足时为合格品，由此可求答案；② 根据二项分布的均值公式列出不等式，求得答案.
【解答过程】(1)
因为，所以，，
所以，，
所以.
因为0.00135远小于，所以此事件应为小概率事件，
而质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，说明小概率事件确实发生了，因此他立即要求停止生产，检查设备的决定有道理.
(2)
①因为，，所以，，
由题意可知当零食质量X满足时为合格品，
所以这种零食的合格率为.
②由题意可知，
则，
则，故n的最小值为71；
[注]在第（2）问第2小问中，若写为，则，
则，故n的最小值为71.
【变式4-3】（2022·福建福州·高二期末）近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 幼年期 成长期 成年期
重量（Kg）
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据：若，，，）
【解题思路】（1）由于猪的体重X近似服从正态分布X～N（70，232），根据参考数据求出对应的概率，再求出结果；
（2）根据题意，写出Y的分别列，求出数学期望，再求出总利润．
【解答过程】解：（1）由于猪的体重X近似服从正态分布，
设各阶段猪的数量分别为，
，
（头）；
同理，，
（头），
，
，
所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
随机变量Y可能取值为.
，，
，
所以Y的分布列为：
1100 400
P
所以（元）
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为（元）.
