重庆市永川北山中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

北山中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图，在梯形中，，，，设，，则（ ）
A. B. C. D.
4.若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知中，“”是“”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（ ）
A.72 B.108 C.180 D.216
7.已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位，得到函数的图象，则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，，则（ ）
A. B. C.3 D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知向量，，则（ ）
A.
B.向量在向量上的投影向量是
C.
D.与向量方向相同的单位向量是
10.下列说法正确的是（ ）
A.一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B.在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C.数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为
D.一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
11.已知对任意，，且，恒成立，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
12.函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则（ ）
A.的图像必有对称中心
B.若，则函数为奇函数
C.若，则
D.，
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.的展开式中常数项是______（用数字作答）.
14.在等比数列中，，是函数的极值点，则______.
15.设等差数列，的前项和分别是，，且，则______.
16.在中，已知，，，为边上一动点，过点作一条直线交边于点，.
（1）若为中点，且，则______；
（2）设，则的最大值是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）已知
求（1）的最小正周期及单调递增区间；
（2）时，恒成立，求实数的范围.
18.（本小题12.0分）在①，，成等比数列，②是和的等差中项，③的前6项和是78，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知数列为公差大于1的等差数列，，且前项和为，若______，数列为等比数列，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19.（本小题12.0分）某景区的平面示意图为如图的五边形，其中，为景区内的乘车观光游览路线，，，，，是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：，，，，，且.
（1）求的长度；
（2）景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值.
20.（本小题12.0分）某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀 50 30 80
不优秀 40 80 120
合计 90 110 200
（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值.
（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
21.（本小题12.0分）已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求证：.
22.（本小题12.0分）已知函数.
（1）当时，求在曲线上的点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有两个极值点，，证明：.
参考答案
一、单选题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D A C C A B
二、多选题
题目 9 10 11 12
答案 CD ACD ABC ABD
三、填空题
13.240 14.2 15. 16.；
四、解答题
17.解：
化解可得：.
（1）的最小正周期，
由，
可得.
函数的单调递增区间为，
（2）
当时，.
要使恒成立，则，即，
可得：.故得实数的范围是.
18.解：（1）设的公差为，选条件①：，，成等比数列，
得，即，
解得号，，，
可得；
选条件②：是和的等差中项，得，即，
即，解得：，
；
选条件③：的前6项和是78，即，
解得：..
设的公比为，由，得，即，
又，；
（2），
，
则，
两式作差可得：
，
故.
19.解：（1）在中，，，，
由正弦定理可得，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
而，且，
整理可得，
解得或（舍），所以的长度为10；
（2）在中，由余弦定理可得，
当且仅当时取等号；
而，所以，
所以，解得，
所以，
所以面积最大值为.
20.解：（1）假设：数学成绩与语文成绩无关，根据表中数据计算得，
，根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关.
（2），估计的值为.
（3）按分层抽样，语文成绩优秀的为5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望.
21.解：（1），当时，，
两式相减得：，
整理得，，，
当时，，（舍）或，
是以1为首项，1为公差的等差数列，则；
（2）证明：由（1）知，，，
，
，，即.
22.解：（1）由题可知，当时，
，切点为，切线的斜率为
切线方程为：，即
（2）对函数求导可得，.
当时，.则在上单调递增.
当时，.则，.
令，则，或.，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（3）有两个极值，.，是方程的两个不等实根，
则，，，
.要证：.即证：.
不妨设，即证：.
即证：对任意的恒成立.
令，.则.
从而在上单调递减.故.
所以.