期末经典题型练习卷-2023-2024学年数学八年级上册青岛版（含解析）

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期末经典题型练习卷-2023-2024学年数学八年级上册青岛版
一、单选题
1．已知 ， 则 等于（ ）
A．3 B．5 C． D．6
2．为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：
一周做饭次数 4 5 6 7 8
人数 7 6 12 10 5
那么一周内该班学生的做饭次数的众数和中位数分别为（ ）
A．6和6 B．6和12 C．7和7 D．7和10
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，作，使得与全等，则点D的坐标的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，，，，垂足分别为点E，F，，则等于（）
A． B． C． D．
5．如图， 在中， ，平分，交 于点D，，则点 D到的距离是（ ）

A．4 B．2 C．3 D．6
6．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰中，，于点，，于点，于点S，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．某中学课外阅读小组的5位成员在2022年的课外阅读量如表：
成员 成员1 成员2 成员3 成员4 成员5
阅读量(单位：本) 13 14 14 16 18
则这5位成员在2020年的平均课外阅读量为 本．
10．甲、乙两选手的射击成绩如图所示，方差分别记为，，则 ．（填“>”“<”或“=”）
11．如图，，，，若，则 ．
12．若关于的分式方程无解，则 ．
13．已知，则的值为 ．
14．如图，，与是对应角，与是对应边，，，那么的长是 cm．
15．如图，在四边形中，，若根据“”判定，则需要添加的条件是 ．
16．如图，在长方形中，点在边上，连接，将三角形沿折痕翻折，使点落在边上的处，如果，那么 度．

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号）
①； ②； ③； ④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
19．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：．对于上述问题，请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
证明：（已知），且（对顶角相等），
（ ）（等量代换）．
（ ）．
（ ）．
又（已知），
（ ）（两直线平行内错角相等）．
．
20．某职教中心与时俱进，决定开设A（酒店服务与管理），B（美容与形象设计），C（汽车制造与检修），D（计算机应用）四门校本课程以提升教育水准，学校面向部分新生开展了“你选择的专业（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)本次问卷调查的样本容量为_______；
(2)本次问卷调查中，选择美容与形象设计的学生有______名，选择汽车制造与检修的学生有______名；
(3)“C”在扇形统计图中所对应的圆心角为______；
(4)若该职教中心新生共1500人，请你估计选择D的学生有______名.
21．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：．
(2)若，，，求的度数．
22．如图，在中，，点为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．

(1)吗？为什么？
(2)求的度数；
(3)若平分，则平分吗？请说明理由．
23．如图，已知与，平分．
(1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：．
理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则，
请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)若，．
①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ；
②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ；
若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）．
参考答案：
1．B
【分析】根据，，两边都除以a得到，即，两边平方后整理得到．
本题主要考查了等式，分式，完全平方公式．熟练掌握等式的基本性质，分式有意义的条件，完全平方公式，是解决问题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了中位数和众数的概念，注意寻找中位数时，一定要现排好顺序，再根据个数来确定中位数，本题解决问题的关键在于理解概念．分别计算一周内该班学生的做饭次数的中位数和众数，即可确定正确选项．
【详解】一共有：（人）
数据出现了次，次数最多，所以众数是．
共个数据，中位数应为第个数和第个数的平均数．
所以中位数为：
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边，解题关键是掌握全等三角形的判定；
由于，若时，可判断，从而得到此时点坐标；若时，可判断，从而得到此时点坐标．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴当时，，
此时点坐标为或；
当时，，
此时点坐标为或．
故答案为：或或或．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键．
依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴中，，
又∵，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了角平分线性质定理，过点D作于点E，则即为所求，根据角平分线性质得出，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，过点D作于点E，则即为所求，
，平分，交 于点D，
,
故选：A．

6．C
【分析】本题考查最简公分母的概念（取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母）．解题的关键是根据因式分解、最简公分母的概念解答即可．
【详解】解：，
∴与的最简公分母是．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：，
，
，
又，
．
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；故A、C选项正确；
在和中，
，
∴，
∴，故B选项正确；
由图可知不一定成立；
故选D．
9．15
【分析】本题考查求一组数据的平均数，根据平均数的计算公式计算即可．
【详解】这5位成员在2020年的平均课外阅读量为：(本)．
故答案为：15．
10．>
【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：>．
11．/64度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角．利用证明，推出，，利用等边对等角结合三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．2或6
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．解分式方程得，由题意得或，从而求出m的值．
【详解】解：原方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程无解，
∴或，
∴
∴或，
故答案为2或6
13．
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的加减．
由可得，即，代入，约分即可求解．
【详解】∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：
14．8
【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”求得，，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：8．
15．或
【分析】本题考查用“”证明三角形全等． 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
根据已知条件分析还缺少一对对应直角边相等，据此便可知晓需要添加的条件．
【详解】，
和是直角三角形，
在和中
或
故答案为：或
16．60
【分析】此题考查了折叠的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据折叠的性质得到，，然后利用平行线的性质求出，然后利用平角的概念求解即可．
【详解】∵将三角形沿折痕翻折，使点落在边上的处，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60．
17．，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴．
18．(1)①③
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．
（1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解；
（2）依据题意，分子进而变形可以得解；
（3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴①是和谐分式；
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质，
∴②不是和谐分式；
∵，
∴③是和谐分式；
∵，
∴④不是和谐分式；
（2）解：
；
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
19．，，两直线平行，同旁内角互补，
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由得出，从而推出，再利用平行线的性质可得，，最后利用等量代换即可得出，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：（已知），且（对顶角相等），
（等量代换）．
．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
（两直线平行内错角相等）．
，
故答案为：，，两直线平行，同旁内角互补，．
20．(1)40
(2)6；16
(3)144
(4)375
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联．样本估计总体，掌握各统计图的意义是解题关键．
（1）根据A的扇形统计图和条形统计图数据即可求得样本容量；
（2）根据样本容量求出选择B的人数，选择C的人数即可；
（3）根据选择C的人数和样本容量可求出“C”在扇形统计图中所对应的圆心角度数；
（4）由样本中选择D的人数占比即可求解．
【详解】（1）解：A所占比例为，
∴本次问卷调查的样本容量为；
故答案为：40．
（2）解：选择B的人数为（人），
选择C的人数为（人），
即选择美容与形象设计的学生有6名，选择汽车制造与检修的学生有16名．
故答案为：6；16．
（3）解：“C”在扇形统计图中所对应的圆心角为．
故答案为：144．
（4）解：估计选择D的人数为：（人）．
故答案为：375．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，再证明，从而可得答案；
（2）由全等三角形的性质，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】（1）证明：为中点．
，
在和中，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
又，
，
又，
，
．
22．(1)，理由见解析
(2)
(3)平分，理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义
（1）证得，结合，，即可求得答案．
（2）证得，进而可求得答案．
（3）证得，，进而可求得答案．
【详解】（1），理由如下：
∵平分，，
∴．
又，，
∴．
（2）∵，，，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）平分．理由如下：
由（1）知，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
又，，
∴．
∴．
∴．
即平分．
23．(1)见详解
(2)，，
【分析】（1）过点C作，交于点F，结合角平分线定理和等角对等边可证明，即可求得结论；
（2）①方法一：过点作，，根据角平分线得，进一步求得，有即可得．利用含角的直角三角形性质得和，则有；方法二：以为一边作，可以得到是等边三角形，有，进一步证得，有，则有．
②以为一边，作，得为等边三角形，有，进一步得和，则有，可得和，得；过点C作，，得，设，有和，结合三角形面积公式得，即可求得答案．
【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，
则，
平分，
，
，
∴，
，
又，
∴，
在与中，
，
．
（2）①．
理由如下：
方法一：过点作，，垂足分别为，，如图，
则，
又∵平分，
∴，
在四边形中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
∴．
在中，，
∴，同理，
∴．
方法二：以为一边作，交于点，如图，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴，
∴．
∴．
②有结论成立．
以为一边，作与交于F点，如图，
∵，为的角平分线，
∴，
又∵，
∴为等边三角形
∴，
∵，，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即．
过点C作，垂足分别为M，N，如图，
则，
又∵平分，
∴，
设，
∵，
∴，
则，
∵，，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线性质、含角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质以及三角形面积公式，解题的关键是作辅助线并熟练应用全等的判定．
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