25.2 用列举法求概率 25.3 用频率估计概率知识点梳理+测评（含答案）

25.2用列举法求概率 25.3 用频率估计概率知识点梳理+测评
知识点梳理
本周知识点 概念、基本性质、判定及定理 名师点睛
直接列举法和列表法求概率 1.直接列举法求概率步骤： (1)列举出所有等可能结果； (2)运用公式P(A)=m/计算概率. 2.列表法求概率步骤：(1)先选其中的一次操作或一个条件作为横行，另一次操作或另一个条件作为竖列，列出表格；(2)运用公式P(A)=m/计算概率. 1.用列举法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同. 2.列举出所有可能的结果，多种情况不能重复，也不能遗漏.
画树状图法求概率 步骤:(1)画树状图;(2)运用公式P(A)=m/计算概率. 用树状图列举的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤完成时，用画树状图法求事件的概率很有效.
利用频率估计概率 1.对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，通过大量的重复试验，可以用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 2.一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么这个常数 p就叫做事件A 发生的概率,记作P(A)=p. 1.试验得出的频率只是概率的估计值. 2.概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
知识点练习
知识点一 直接列举法和列表法求概率
1.从1，2，-3 三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是 ( )
A.0 B. C. D.1
2.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着 1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次.小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢.”小红赢的概率是 ，据此判断该游戏 (填“公平”或“不公平”).
5.从装有两个红球、两个黄球(每个球除颜色外其他均相同)的袋中任意取出两个球，取出一个红球和一个黄球的概率是 .
知识点二 画树状图法求概率
6.某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是 ( )
A. B. C. D.
8. “每天锻炼一小时，健康生活一辈子”.为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的 15名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分 7 8 9 10
人数 2 5 4 4
(1)这组数据的众数是 ，中位数是 .
(2)已知获得10分的领操员中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取2人领操，求恰好抽到八年级 2 名领操员的概率.
知识点三 利用频率估计概率
9.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是 ( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
10.下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况.
移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数 m 325 1336 3203 6335 8073 12628
成活的频率 (精确到0.001) 0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是 (精确到0.1).
11.为了解学生的体能情况，随机选取了 1000名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“ ”表示喜欢，“×”表示不喜欢.
学生数 项目 长跑 短跑 跳绳 跳远
200 ×
300 × ×
150 ×
200 × ×
150 × × ×
(1)估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率；
(2)估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率；
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(3)如果某学生喜欢长跑，则该学生同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性最大
1. B
2. A 解析:所有的等可能结果有:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3.5),(2,4,5),(3,4.5),共10种;设事件 B=用抽到的三个数字作为边长,恰能构成三角形,则事件 B包含的结果有:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3种,故 故选 A.
3. A 解析:列表如下:
第一次 第二次 黄1 黄2 白
黄1 (黄1,黄1) (黄1,黄2) (黄1,白)
黄2 (黄2,黄1) (黄2,黄2) (黄2,白)
白 (白,黄1) (白,黄2) (白,白)
由表格可知，一共有9种等可能的情况，其中两次都提到黄球的有4种情况，所以P(两次都摸到黄球)
不公平
解析：不把四个球分别记为红 ，红 ，黄 ，黄 ，从中摸出两个球的所有可能结果为(红 ，红 )，(红 ，黄:),(红 ,黄:),(红 ,黄 ),(红 ,黄:),(黄 ,黄:),共6种,其中一红一黄共有4种,故其概率
6. C 解析：三个小区分别用1，2，3表示，则画树状图如下图，则共有9种等可能的结果，其中两组抽到同一小区的结果有3种，∴P(抽到同一个小区)
7. C 解析:画树状图得:
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是 故选C.
8.解:(1)8 9
(2)记获得10分的领操员中，七年级的1名为 A，八年级的2名分别为 B ，B ，九年级的1名为C，根据题意画树状图如下，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到八年级2名领操员的结果有2种，故所求概率为
9. D
10.0.9 解析：在大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴这种幼树移植成活的概率约为0.9.
11.解：(1)学生同时喜欢短跑和跳绳的概率为 (2)学生同时喜欢三个项目的概率为 (3)喜欢长跑的700名学生中，有150名学生喜欢短跑，550名学生喜欢跳绳，200名学生喜欢跳远，于是喜欢长跑的学生又同时喜欢跳绳的可能性最大.