期末压轴题专题特训-2023-2024学年数学九年级上册苏科版（含解析）

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期末压轴题专题特训-2023-2024学年数学九年级上册苏科版
1．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
2．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．
3．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”．
(1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________．
(2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．
(3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，如果点，为某个菱形一组对角的顶点，且点， 在直线上，那么称该菱形为点，的“关联菱形”． 例如，图1中的四边形ABCD为点，的“关联菱形”．
已知点，点．

(1)当时，
①在点，，中，点 能够成为点 ，的“关联菱形”的顶点；
②当点，的“关联菱形”的面积为时，求点的坐标；
(2)已知直线与轴交于点，与轴交于点 若线段，且点是点，的“关联菱形”的顶点，直接写出的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴正半轴上，且顶点与坐标原点重合，点的坐标为，直线过点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)点的坐标为___________ ，点的坐标为___________ ；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿的路线向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度速度沿的方向向点运动，过点作轴，交线段或线段于点当点到达点时，点和点都停止运动，在运动过程中，设动点运动的时间为秒；
设的面积为，求关于的函数关系式___________ ；
是否存在以、、为顶点的三角形的面积与相等？若存在，直接写出的值___________ ．
6．如图，已知直角梯形，，过点A作，垂足为点H，，点F是边上的一动点，过F作线段的垂直平分线，交于点E，并交射线于点G．

(1)如图1，当点F与点C重合时，求的长；
(2)设，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
(3)如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长．
7．问题解决：
(1)已知在中，，．四边形是正方形．H为所在的直线与的交点，如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由．
(2)如图2将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时连接，请就图2证明：；
(3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若．请直接写出线段的长．
8．如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由．
9．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的“一对平衡点”．如图1，已知点．
(1)设点与线段上一点的距离为，则的最小值是______，最大值是______；
(2)在，，这三个点中，与点是线段的“一对平衡点”的是______；
(3)如图2，已知的半径为1，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的“一对平衡点”，求的取值范围；
(4)如图3，已知点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点．点（其中是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是的“一对平衡点”，直接写出的取值范围．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径作圆． 从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负半轴运动，运动时间为．连结，将沿翻折，得到．求有一边所在直线与相切时直线的解析式．

11．已知，如图1，P是内的一点，直线分别交于点A，B，易得是点P到上的点的距离的最大值．如图2，在平面直角坐标系中，点，以为半径在x轴的上方作半圆O，交x正半轴于点B，点C是该半圆上一动点，连接、，并延长至点D，使．
(1)连接，直接写出的最大值为_____；
(2)如图3，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足．
①若点C的横坐标为4，求线段的长；
②若将点C从点B运动到点A，则线段（包含起点处）扫过的区域的面积为___．
12．如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接．
(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．
①当点Q刚好落在弧上，求弧的长；
②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长．
13．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：
(1)如图①，t为何值时，的面积等于；
(2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时．
①求t的值．
②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ．
14．某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．

用餐时间 人数
（1）食堂每天需要准备多少份午餐？
（2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由．
15．如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
16．为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示．
请你根据以上信息，解答下列问题．
(1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度；
(2)补全条形统计图；
(3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率．
参考答案：
1．(1)①30元或80元②八折
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元
【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无解，故不能达到要求．
【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
．
解得：．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：元，．
答：该店应按原售价的八折出售．
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：
0,
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
2．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案；
（2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1）解：，，
故答案为：；；
（2）∵，，且，
∴，可看作方程的两个根，
∴，，
∴，
∴的值为；
（3）∵，分别满足，，且，
∴，
∴和可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴的值为．
【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
3．(1)，，
(2)0或
(3)存在，
【分析】（1）根据“幸福点”的概念列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意分和两种情况讨论，然后根据两个函数图象有且只有一个交点，得到只有一个根，然后利用一元二次方程的判别式求解即可；
（3）根据题意分点M在y轴正半轴上和点M在y轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“幸福函数”的性质求解即可．
【详解】（1）∵为“幸福点”，
∴，
∴，
将代入，解得，．
故答案为：，，；
（2）①当时，，
∵函数是“幸福函数”，
∴，此时，符合题意，
②当时，
将分别代入与中，有
∵两个函数图象有且只有一个交点，
∴只有一个根，即：，
∴，
∴，
∴k的值为0或；
（3）①如图所示，当点M在y轴正半轴上时，
设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有，
由直线可得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
设M点坐标为，则，，
∴，
∴，解得，
∴，设直线解析式为，将，代入，
解得，．
∴，若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”．
∴，
解得（与矛盾，舍去），
∴此时，不存在“幸福函数”．
②如图所示，当点M在y轴负半轴上时，
，
设M点坐标为，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
同理，用待定系数法可求得直线解析式为：，
若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”．
∴，得．
∴，
综上所述，存在“幸福函数”．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
4．(1)①；②或
(2)且
【分析】（1）①根据“关联菱形”的定义，即可求解．
②根据菱形的性质可得点 ，的“关联菱形”的顶点在直线上，根据面积可得，勾股定理列出方程即可求解；
（2）根据题意求得一次函数与坐标轴的交点为，，根据,得出，，进而分别求得，点的坐标，根据菱形的性质可得菱形对角线的交点坐标，进而求得的值，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，

∵，，
则的中点坐标为，
∵菱形的对角线互相垂直，则与垂直的直线为，
根据菱形的性质可得点 ，的“关联菱形”的顶点在直线上，
将点代入，解得，
则，将，，分别代入，可得，在直线上，
∴点，，中，点，能够成为点 ，的“关联菱形”的顶点；
故答案为：．
②解：如图所示，设的中点为，则，
∴
∵点，的“关联菱形”的面积为
∴，则
设，则，
即，
解得：或，
则或
（2）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点
∴，
∴
∵,
则，
解得：，
∵，则，的“关联菱形”的顶点过直线，
∴当在上时，不能构成菱形，
将代入得，解得
∵点是点，的“关联菱形”的顶点，
∴,
∴且；
当时，如图所示，

依题意，在上，
则，代入得，，
∴，
解得：
则菱形的对角线交点为,
∵,
∴，解得，
当时，,则重合，此时，
当时，重合，此时，
当时，同理可得，则菱形的对角线交点为,
∵,
∴，解得，
综上所述，且
【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，一次函数交点问题，勾股定理求两点距离，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5．(1)
(2)①，②存在，1
【分析】把点坐标代入直线求得的值即得到直线解析式，令求点坐标，令求点坐标．
由中求得，即的取值范围为且画图发现有两种情况：当时，点在线段上，点在线段上，可证得轴，故，用表示、的值再代入即能用表示；当时，点在线段上，点在线段上，此时以为底、点到距离为高来求；
与类似把点、的位置分两种情况讨论计算；其中在上、在上时，以为底求的面积，需对点到的距离的表示再进行一次分类．用表示面积后与相等列得方程，解之求得的值．
【详解】（1）直线过点，
，
，
，
当时，，
当时，，
故答案为：；
（2）过作于点，则，
当在上，即时，如图所示：，
，
四边形是矩形，
，
；
当，即在上时，如图所示：，
，
故答案为：；
当时，为的中点，即时，的面积与相等，
当时，的面积为：，
，
解得：不合题意，舍去或不合题意，舍去，
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，分类讨论思想是解题的关键．
6．(1)5
(2)，
(3)或或．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到；再根据勾股定理建立方程得到，解方程求出，即可求得；
（2）连接，得到，根据股沟定理得，，即可得到y与x的函数关系式，再根据即可求出定义域；
（3）分别根据，和两种情况展开讨论，当时，得到，再根据建立方程，结合（2）的结论建立方程组，解方程组即可得到答案；当时，建立方程，解方程即可求得答案；当时，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，根据和建立方程，结合（2）的结论建立方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
解方程得，
∴，
∴；

（2）解：如下图所示，连接，，

∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：当时，如下图所示，过点D作，垂足为M，交于点N，连接，设，

∵，，
∴点M是的中点，，
∴四边形是矩形，
∵点E是的中点，
∴，，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴
根据（2）得，得到，
∴，
解方程得，或，
∴（舍去），或
∴；
当时，如下图所示，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解方程得（舍去），或，
∴，
当时，如下图所示，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，

∵点是的中点，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∵，
∵
∴，
∵，
∴，
解方程组得（舍去），或
∴；
故或或．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形、一次函数和一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理建立方程．
7．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）由正方形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
（2）在线段上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（3）分两种情况：①如图，当三点共线时，；②如图，当三点共线时，，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）．
理由：∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，在线段上截取，连接．

由（1）可知，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）线段的长为或．
①如图，当三点共线时，；．
由（1）可知，，且，，
∵，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去）；
②如图，当三点共线时，，

设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8．直线与相切，理由见解析
【分析】连接、，由等腰三角形的性质可得，根据直角所对的圆周角是直角得，而点是的中点，则，，继而得到，即可得证．
【详解】解：直线与相切．
理由：连接、，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线，
∴直线与相切．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，垂直的定义等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．(1)3，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）观察图像，d的最小值是，最大值为，由勾股定理求出即可得解；
（2）分别求出到线段上一点的距离最小值为3；到线段上一点的距离最大值为；到线段上一点的距离最小值为；再根据平衡点的定义求解；
（3）如图，根据平衡点的定义得到需要满足到的最大距离是4，到的最小距离是6，然后分别求出x的最小值和最大值即可；
（4）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与相切，此时要想上的任意两点都是圆的平衡点，需要满足，，分别求出b值，再由点在和中间时，，，b取最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
观察图像可得：d的最小值为3，最大值为，
故答案为：3，；
（2）解：由（1）知点与线段上一点的距离最小值为3，最大值为，
∵到线段上一点的距离最小值为3，
∴在线段上存在点，（，可以重合）使得，
∴点与点是线段的“一对平衡点”；
∵到线段上一点的距离最大值为，
∴在线段上不存在点，（，可以重合）使得，
∴点与点不是线段的“一对平衡点”；
∵到线段上一点的距离最小值为，
∴在线段上不存在点，（，可以重合）使得，
∴点与点不是线段的“一对平衡点”；
故答案为：；
（3）如图，由题意得，点D到的最近距离是4，最远距离是6，

∵点D与点E是的一对平衡点，
∴需要满足到的最大距离是4，即，
∴此时，
同理，需要满足到的最小距离是6，即，
∴此时，
综上所述，满足条件的的取值范围为：；
（4）∵点C在以O为圆心，5为半径的圆上运动，
∴以C为圆心、2为半径的圆刚好与相切，此时要想上任意的两点都是的平衡点，需要满足，，
如下图，当时，作于点M，

根据题意有：，
解得：，（b为负值的已舍去），
当时，如下图，同理可得，

在和中间时，，，b取最大值，
∴满足条件的b的取值范围为：．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了新定义，两点间距离公式，点和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊位置解决问题，属于压轴题．
10．或或或
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，圆的性质以及切线的性质等知识，综合性强，运用分类思想是解题的关键.分别从以下四种情况进行求解：①当与相切时，先过点作交于点，过点作交于，利用翻折和勾股定理即可求得结论；②当与相切时，过点作交于点，利用勾股定理求出，则可求解；③当所在的直线与相切时，过点作交于点，过点作交于，由勾股定理分别求出和即可得解；④当的延长线与相切时，过点作交于点，过点作交于， 再利用勾股定理求出即可求出直线的解析式.
【详解】①如图1，过点作交于点，过点作交于，

在中，，，
，
沿翻折，得到，
，，
设
在，，，
．
∴直线：；
②如图2，过点作交于点，

设，则，
在中，，，
，
∴直线：；
③如图3，过点作交于点，过点作交于，

在中，，，
，
设，
在中，，，
，
，
∴直线：；
④过点作交于点，过点作交于，

设，
在中，，，，
，
，
∴直线：.
综上所述，直线的解析式为或或或.
11．(1)
(2)①；②
【分析】（1）连接，求出，再由，点C是该半圆周上一动点，得出当点C与点A重合时，，此时取得最大值，即可得出结论；
（2）①连接，过点C作轴于点G，则，得，再求出，得，，，然后由圆周角定理得，则，，进而证，即可解决问题；
②结合为直径，，易得是的垂直平分线，，如图，点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，列式即可作答．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵点，
∴， ，，
∵，点C是该半圆周上一动点，
∴当点C与点A重合时，，如图，
此时取得最大值；
（2）解：①如图，连接，过点C作轴于点G，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C的横坐标为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
即线段的长为；
②依题意，如图3：
因为为直径，
所以，
因为，
所以是的垂直平分线，
则，
故点D在以点A为圆心，为半径的半圆上，点C在以点O为圆心，为半径的半圆上，
所以点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合，涉及圆周角定理，线段最值，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，面积差等知识内容，难度较大，综合性较强，要求学生有较强的作图能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
12．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①连接，证明是等边三角形，即可得，问题随之得解；②过点O作，垂足为点G，则，证明，即可作答；
（2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，即有四边形是矩形，则，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得，，进而有，则 ．设，则，，由得，，解方程即可求解．
【详解】（1）①如图所示，连接，
由翻折可知，．
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
②．理由如下，
如图所示，过点O作，垂足为点G，则，

在与中，
，
∴，
∴，且，
∴，，即，
∴，
∴．
（2）如图所示，将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，

∴四边形是矩形，即有，
根据垂径定理有，
根据（2）有：，
根据折叠有：，，
∵，
∴，
∴，
∴中，．
设，则，，
由得，，
解得：．
即．
【点睛】本题主要考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，熟练掌握折叠的性质以及垂径定理，是解答本题的关键．
13．(1)4或5秒
(2)存在，
(3)①4；②
【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
（2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（3）①设与相切于点，连接，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：，，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，根据，可得，，再求出，根据，即可解决问题．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∵的面积等于，
∴，
整理得：，
解得，
即或5秒时，的面积为20．
（2）解：如图，连接，
经过点，
，
∵，
，
，
解得或（舍去），
当时，⊙P经过点．
（3）解：①如图，设与相切于点，连接，则，
，
∵为半径，且，
∴，，，
，
，
，
，
时，与相切．
②由①得：，，
如图，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴,，,
∴,
∴，
∴,
∴，
即线段的最大值为。
故答案为：
【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．
14．（1）460份；（2）可行，见解析，
【分析】（1）根据扇形图的数据，可以直接求出食堂需准备午餐份数；
（2）先估计出参加演练的100名职员用餐时间的平均数为19min，取餐职员取餐时间平均为0.1 min，根据这个数据对第一批和第二批的排队取餐、用餐时间分别进行预估，即可解答本题．
【详解】（1）解法一：500×64%＋500×28%＝460（份）
答：食堂每天需要准备460份午餐；
解法二：500－500×8%＝460（份）
答：食堂每天需要准备460份午餐；
（2）解：①可以估计参加演练的100名职员用餐时间的平均数为：
=19（min），
参加演练的100名职员取餐的人均时间：（min）；
可以估计：该公司用餐职员的用餐时间平均为19 min，
取餐职员取餐时间平均为0.1 min；
根据表格，可以估计第一批职员用餐19 min后，
空出的座位有：160×60%＝96（个）.
而第二批职员此时开始排队取餐，
取完餐坐满这96个空位所用的时间约为：96×0.1＝9.6（min）；
根据表格，可以估计：第一批职员用餐19 min后，剩下的职员在6 min后即可全部结束用餐，
因为9.6＞6，
所以第二批取餐进入用餐区的职员都能保证有座位；
②可以估计140名只取餐的职员，需要14min可取完餐；
可设计时间安排表如下：
时间 取餐、用餐安排
12:00—12:19 第一批160名在食堂用餐的职员用餐； 仅在食堂取餐的140名职员取餐
12:19—13:00 第二批160名在食堂用餐的职员取餐、用餐
13:00 食堂进行消杀工作
【点睛】本题主要考查的是数据的统计与分析，解题的关键是读准题意，认真分析每批次人取餐和用餐时间．
15．(1)；
(2)B点表示的数为-21；
(3)x的值为4或6．
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；
（3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
则P(奇数)=，
∴P(B点移动到4)=；
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．(1)400；108°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度数；
（2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可；
（3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率．
【详解】（1）解：样本容量是：；
C所占的百分比为：；
∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°．
故答案为：400，108
（2）解：D的数量为：，
B的数量为：；
补全条形图如下：
（3）解：由题意，树状图如下：
∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能．
所以．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题．
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