期末易错精选题检测卷-2023-2024学年数学九年级上册京改版（含解析）

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期末易错精选题检测卷-2023-2024学年数学九年级上册京改版
一、单选题
1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限
C．若，则 D．若，则
2．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，，则的值为( )
A． B． C． D．
4．已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）

A． B． C． D．
5．如图是学生用具三角尺，，，其中，长为， 长为，则这个三角尺中与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，边在x轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，反比例函数的图像与菱形对角线交于D点，连接，当轴时，k的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是上的点，连接，点在的延长线上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为的直径，点为延长线上的一点，过点作的切线，切点为，分别过、两点作的垂线，，垂足为，，连接．①平分；②；③若，，则的长为；④若，，则，其中结论正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．已知点P是线段的黄金分割点，，，那么 cm．
10．如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为 ．
11．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有 ．
12．如图，在中，于点D，E，F分别为，的中点，G为边上一点， ，连结．若，，，则的长为 ．
13．如图，在矩形中，，，点E是矩形边上的一个动点，连接，将沿着所在直线折叠，点A落在点F处（点F在直线的下方），连接，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
14．如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度为，拱高为， 则桥拱所在圆的半径长为
15．如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为 （结果保留）．
16．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点，在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①：②：③：④，其中正确的结论是 ．
三、解答题
17．已知：二次函数．
(1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点；
(2)设抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边），且，求此时抛物线的解析式；
(3)在（2）的前提下，若抛物线与轴交于点，问在轴的正半轴上是否存在点，使和相似？
18．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，若每层教学楼的高度为3.5米，楼顶加盖2米，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：，，）

19．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，）
20．一块直角三角板的角的顶点落在上，其两条边分别交于，两点，连接，，，若弦，求的半径．
21．如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，，三点恰好在半圆上，延长到点，作直线，使得·
(1)求证：是半圆的切线.
(2)若，求阴影部分的面积.
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)根据图象直接写出满足不等式的的取值范围．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)点M是坐标轴上的一个点，若以为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的所有点M的坐标；
(3)如图2，以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交轴的负半轴于点，当绕点旋转时，的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据其图象与性质一一判断即可．
【详解】解：，
，
图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x值的增大而增大，
故B选项不符合题意；
将代入，得，
时，，
故C选项不符合题意；
将代入，得，故A选项不符合题意；
，
将代入，得；将代入，得，
，故D选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，掌握根据二次函数的顶点式，找出图象的顶点是解本题的关键．
【详解】抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是：，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查三角函数的定义．本题可通过设未知数，结合表示的长度，继而利用勾股定理求解，最后利用正切函数定义求解．
【详解】解：如下图所示：

∵在中，，，
∴设，，
∴．
∴．
故选：C．
4．B
【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线等分线段定理的推论证得，在中，根据勾股定理可求出，，再在中根据勾股定理即可求出．
【详解】解：过点作，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，，
∴，
，
，
∴，，
∴．
故选：B．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正方形的性质，等边对等角，勾股定理，中点的定义等知识．通过作辅助线并根据平行线等分线段定理证明是解题关键．
5．B
【分析】本题考查了含的直角三角形，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
由含的直角三角形可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，，长为，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出是解本题的是关键．
首先过点C作轴于点E，由，顶点C的坐标为，可求得的长，进而根据菱形的性质，可求得的长，且，继而求得的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数的图象与菱形对角线交D点，即可求得答案．
【详解】解：过点C作轴于点E，
∵顶点C的坐标为，
，，
，
∵菱形中，，
，，
轴，
，
∴点D的坐标为：，
∵反比例函数的图象与菱形对角线交于D点，
．
故选： A．
7．D
【分析】本题考查了圆周角定理，作出所对的圆周角，先求出，再根据得出，最后由即可得出答案，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，作出所对的圆周角，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．C
【分析】连接，则，，可判断①；证明，可判断②；根据弧长公式可判断③；证明，推出，可判断④．
【详解】解：连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分，故①正确；
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故④正确．
∴正确的结论为①②④，共3个，
故选C．
【点睛】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等．
9．
【分析】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，难度一般．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入运算即可．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则（）．
故答案为：．
10．
【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．
【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，即抛物线开口向上，
当时，的最小值为，
长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11．②③④
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到和异号．根据题意得出和异号，再分别判断各项即可．
【详解】解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，若，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则，
若，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则，
综上：和异号，
∵和的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误；
∵和异号，则，故②正确；
，故③正确；
或，故④正确；
故正确的有②③④，
故答案为：②③④．
12．3
【分析】先根据三角形中位线定理得出，，再利用直角三角形斜边上的中线的性质，得到，进一步推得，从而判定，得出四边形是平行四边形，因此，然后设，利用三角函数的定义得到，，最后列出方程即可求解答案．
【详解】E，F分别为，的中点，
是的中位线，
，，
，F为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
即，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用三角函数进行计算是解答本题得关键．
13．4或
【分析】当，且点E在边上，作于点H，交的延长线于点G，连接交于点L，由矩形的性质得，则，可证明四边形是矩形，则，由折叠得垂直平分，，则
，所以，而，所以；当，且点E在边上，作于点H，于点G，连接交于点I，则，所以，则，因为，所以，而，则，所；由，可知不存在的情况，从而完成解答．
【详解】解：如图1：当，且点E在边上，作于点H，交的延长线于点G，连接交于点L，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠得垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图2，DF=CF，点E在边上，作于点H，于点G，连接交于点I，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴不存在的情况，
综上所述，的值为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，掌握数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．
14．/50米
【分析】此题考查垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
观察图形，根据已知以及垂径定理可得；然后再在中利用勾股定理求出的长，即可解答．
【详解】解：，，
，
在中，
，
．
桥拱所在圆的半径长为：．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键；连接，根据切线长定理得出，，进而得出四边形为正方形，设，则，，根据，列出方程，求出，即，最后根据圆的面积公式，即可求解．
【详解】解：连接，
∵为的内切圆，与三边的切点分别为、、，
∴，，
∵，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
设，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
即，
∴的面积，
故答案为：．
16．②③/③②
【分析】证明推出，从而得到，即可判断①；由为直角三角形，为的中点，得出，从而得到点在正方形的外接圆上，根据圆周角定理得出，从而证得，即可判断②；设和相交于点，设，则，设正方形的边长是，则，由得出，得出，即可判断③；设正方形的边长是，则，，证明，得到，从而得到，即可判断④，得到答案．
【详解】解：如图，
∵四边形和四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，故①错误；
是直角三角形，为的中点，
，
∴点在正方形的外接圆上，
，
，故②正确；
因为平分，
所以，
因为，
所以，
，
又是的中点，
，
，
，
设和相交于点，
设，则，设正方形的边长是，则，
，即，
解得：，或（舍去），
则，
∴，故③正确；
，
，
是的中位线，
，
，
设正方形的边长是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④错误；
故其中正确的结论是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确求得两个三角形的边长比是解此题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)；
(3)存在．点的坐标为或．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，相似三角形的性质和判定，
（1）由，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）首先求出，，，然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
故抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）解：令，
解得：，
则，
解得：（舍去）或，
故抛物线的解析式为：；
（3）解：存在，理由：
由抛物线的解析式知，点，
令，即，
解得，，
∵抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边），
∴，，
∴，
∵
∴，
当时，
∴，即，
解得，
∴；
当时，
∴，即，
解得：，
∴．
综上所述，点D的坐标为：或．
18．5
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
如图：过点P作于点D，过点C作于点E，在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长，则可得的长，再根据题意列方程即可解答．
【详解】解：如图：过点P作于点D，过点C作于点E，

则，米，米，，
在中，，可得米，
在中，，可得米，
∴（米），
∴米，
设该教学楼的层数为m层，
由题意得，，解得：，
∴该教学楼的层数为5层．
19．点到地面的距离约为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．过点作于点，过点作垂直的延长线于点，设，则，，由知，解之求得的长，再由根据点E到地面的距离为可得答案．
【详解】解：过点作于点，过点作垂直的延长线于点．
设，则，．
由知，
解得．
∵，
∴，
∴，
答：点到地面的距离约为．
20．
【分析】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定及性质，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半得到，推出是等边三角形，即可求出．
【详解】解：如图所示，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，即的半径为，
故答案为：．
21．(1)见解析；
(2).
【分析】（1）由等腰三角形的性质得进而证明得，即可得到结论；
（）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴是的直径，即在上，
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∴是半圆的切线；
（2）解：∵
∴
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．
22．(1)一次函数的解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而利用面积公式即可求解；
（3）根据图象，数形结合求解即可．
【详解】（1）解： 反比例函数经过点，
，
点在上，
，
把、的坐标代入，得，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数解析式为.
（2）解：把代入，得，
，
.
（3）解：，，
∴根据图象得：不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式、利用数形结合的思想求不等式的解集等知识，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
23．(1)
(2)点的坐标为或或
(3)的值不发生变化，值为8，理由见解析．
【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）分别过、两点作的垂线，与坐标轴的交点即为所求的点，再结合相似三角形的性质求得的长即可求得点的坐标；
（3）过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为、，可证明，可得到，从而可把转化为，再利用线段的和差可求得．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：．
点，点在直线上，
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）解：是以为直角边的直角三角形，
有或，
①当时，如图1，
过作的垂线，交轴于点，交轴于点，
则可知，
，
由（1）可知，
，
解得，
，
，
轴，
，
即，
解得，
；
②当时，如图2，
过作的垂线，交轴于点，
设直线交轴于点，则由（1）可知，
，，
由题意可知，
，即，
解得，
，
综上可知点的坐标为或或；
（3）解：不变．
理由如下：
过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图3．
则，
又，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
．
故的值不发生变化，值为8．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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