期末经典题型练习卷-2023-2024学年数学九年级上册苏科版（含解析）

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期末经典题型练习卷-2023-2024学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．
4．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设从出发到相遇时间为，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知，O为上一点，以为半径的圆经过点A，且与、交于点N、M，设，，则（ ）
A．若，则所对应的圆心角为
B．若，则所对应的圆心角为
C．若，则所对应的圆心角为
D．若，则所对应的圆心角为
6．如图，这是一个几何体三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，与相切于点A，连接交于点C，点D为上的点，连接．若，则为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．本学期小宇平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果这三项成绩分别按的份额计算他本学期的数学总评分，那么小宇本学期的数学总评分是 分.
10．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙两位候选人进行三项能力测试，各项成绩满分均为100分，根据结果择优录用，两位候选人测试成绩如下表：根据实际需要学校将教学能力、科研能力、组织能力三项能力测试得分按的比例确定每人的成绕，将被录用的是 ．
测试项目 成绩
甲 乙
教学能力 77 73
科研能力 70 71
组织能力 64 72
11．木箱里装有仅颜色不同的15个红球和若干个蓝球，随机从朱箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝球有 个．
12．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是 ．
13．已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ．
14．对于平面内的图形和图形，记平面内一点P到图形上各点的最短距离为d，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．在平面直角坐标系中，若直线上存在到点和直线的等距点，则实数a的取值范围为 ．
15．如图，在中，，，，将绕点O逆时针旋转得到，点Q恰好落在斜边上，则线段扫过的面积为 ；则点P经过的路径长为 ．
16．如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
18．在一次训练中，甲、乙两名队员各射击了10次，经计算，甲和乙的平均射击成绩都是8环，成绩记录如下表：
射击次序 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
甲的成绩/环 8 9 7 9 8 6 7 10 8
乙的成绩/环 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10
(1)表中的________；
(2)已知甲的射击成绩的方差是，请求出乙的射击成绩的方差，并判断甲、乙两人谁的射击成绩更稳定．
19．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
(1) ______%；并补全条形图；
(2)请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
(3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
(2)若方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得，求的值．
22．如图，是的直径，弦于点，，．求的半径．

23．由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．

(1)图①中，画出的圆心；
(2)图②中，在边上找到一点，使得平分；
(3)图③中，在上找到一点（不与点重合），使得．
24．如图，在中，，以为直径的分别交于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，求的度数．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的识别，一元二次方程的定义：“ 的形式，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二方程．”根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A、中含有2个未知数，不是一元二次方程；
B、中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程；
C、中根号下有未知数，不是一元二次方程；
D、是整式方程，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次，是一元二次方程；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解：
即
∴，即，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解：根据题意得，，
则＝＝．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用．根据题意画出三角形，表示三边长，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：如图，设x秒两人再B处相遇，这时乙行驶，甲共行驶，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
故选：B．
5．D
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，再由三角形外角的性质，得到，再根据选项求解即可．
【详解】连接，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
当，，
则所对应的圆心角为，
故D正确，符合题意；
其余均是错误，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，连接构造直角三角形是解题关键．
6．C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据三视图可得此几何体为圆锥，根据其尺寸求侧面积即可．
【详解】解：根据三视图可得：几何体为圆锥，底面直径为，圆锥的高为，
圆锥的母线长为，
其侧面积为：．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
【详解】解：∵与相切于点A，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
由垂径定理得，再由勾股定理得,进而完成解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦AB的长为．
故选：C．
9．102
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：小宇本学期的数学总评分为（分），
故答案为：102．
10．甲
【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数是解题的关键．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】甲的平均成绩为
（分）
乙的平均成绩为
（分）
甲的综合成绩更好，候选人甲将被录用．
故答案为：甲
11．10
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答本题的关键是根据摸到红球的频率得到相应的等量关系．根据摸到红球的频率可得摸到红球的概率，根据概率公式即可求出蓝球的数量．
【详解】解：设木箱中蓝球有x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
则估计木箱中蓝球有10个．
故答案为：10．
12．10
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率公式列出关于n的方程，解之可得．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以口袋中小球共有10个．
故答案为：10．
13．
【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键．
【详解】∵m是方程的一个根，且，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查两点间的距离公式、一元二次方程根的判别式，根据题意利用点间的距离公式建立一元二次方程，利用根的判别式即可解决．
【详解】解：如图：设直线上的点Q为到点和到的等距点，
连接，过点Q作直线的垂线，垂足为C，则，
，
∵Q在直线上，
∴设，
，
整理得：，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面积以及弧长计算等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．先证明是等边三角形，求得，再运用勾股定理计算的长，运用扇形面积公式和弧长公式计算即可．
【详解】．∵，，，绕点O逆时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
线段扫过的面积为；
点P经过的路径长为，
故答案为：，．
16．
【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等，确定最小值是解题的关键．作点D关于的对称点，则的最小值是，再根据的边角关系求出解即可．
【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，．
可知，根据“两点之间线段最短”得当C，P，三点共线时，最小，即．
∵点C在上，，点D是的中点，
∴，
∵点D关于的对称点，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】（1）
∴，；
（2）
∴，，
∴
∴
∴，；
（3）
∴或
解得，．
18．(1)8
(2)乙的射击成绩的方差为：，甲的射击成绩更稳定
【分析】本题考查了算术平均数、方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
（1）根据平均数的定义列出关于a的方程，解之即可；
（2）先计算出乙成绩的方差，再根据方差的意义判断即可．
【详解】（1）解：∵甲和乙的平均成绩都是8环，
∴，
解得，
故答案为：8；
（2）解：乙的射击成绩的方差为：
，
∴．
∵甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
∴甲的射击成绩更稳定．
19．(1)，图见解析
(2)360
(3)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由扇形图可求得；由跳绳的人数有4人，占的百分比为，可得总人数50，进而得出打乒乓球的人数；
（2）用1500样本中喜爱打篮球的百分比即可；
（3）先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为
∴
∴（人）
补全条形图如下：
（2）人，
故答案为：360；
（3）列表如下：
﹣ 女
﹣ （，） （，） （，女）
（，） ﹣ （，） （，女）
（，） （，） ﹣ （，女）
女 （女，） （女，） （女，） ﹣
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴P(抽到一男一女)＝＝．
20．(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．
（1）设每次降价的百分率为a，为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，利用每天销售该种水果获得的利润=每千克的利润×每天的销售量，即可列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】（1）设每次下降的百分率为a，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，由题意得：
，
整理，得，
解得：（舍），
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，
∴，
答：每千克应涨价5元．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，
（1）由判别式，然后进行整理，再与比较大小，即可得证；
（2）根据根与系数的关系知，，将变形为，即可得到关于的方程，求解即可；
解题的关键是掌握：一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．
【详解】（1）证明：∵
，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为．
22．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设的半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得方程，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解题的关键．
【详解】解：连接， 设的半径为，

∵是的直径，，
∴，
在中，，
由勾股定理，得，
即，
解得 ，
∴的半径为．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心；
（2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D；
（3）在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求：

（2）如图，点D即为所求：

（3）如图点E即为所求：

【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，圆周角定理，垂径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质：
（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
即点E为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
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