期末经典题型练习卷-2023-2024学年数学九年级上册青岛版（含解析）

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期末经典题型练习卷-2023-2024学年数学九年级上册青岛版
一、单选题
1．以为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，那么（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示的是一段索道的示意图．已知、两点间的距离为米，，则缆车从点到点上升的高度（即的长）为（）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，是的半径，弦于点N，连接，若的半径为x，，则下列结论一定成立的是（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，在圆形纸片中，为直径．把纸片折叠，使点与点重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．若是方程的两个根，则的值是 ．
10．骑行带头盔，安全有保障，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 ．
11．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于 ．
12．如图，在东西方向的海岸边上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行 海里．
13．如图，在中，，，连接，，，，那么 ．
14．如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 ．（结果保留）

15．如图，为锐角的外接圆，点在上，交于点，且满足，连接，设．
（1）则 ．（用含的代数式表示）
（2）当，则 ．
16．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点，在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①：②：③：④，其中正确的结论是 ．
三、解答题
17．解下列方程
(1)；
(2)；
(3)．
18．如图，点D，E分别在的边，上，．求证：．
19．随着新能源技术的提高，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．沈阳某店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车50辆，3月份销售了72辆．
(1)求该店这两个月的月平均增长率；
(2)若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五入）
20．图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的线段上找一点，连结，使．
(2)在图②中的线段上找一点，连结，使．
(3)在图③中的内部找一点，连结、，使．
21．如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点在同一平面内（结果精确到）
(1)求斜坡的铅直高度和水平宽度．
(2)求旗杆的高度．（参考数据：，，，）
22．如图，在中，，是的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在上，分别与相交于点E、F．
(1)判断直线与的位置关系并证明；
(2)若的半径为2，，求的长度．
23．如图，在中，，点D、E、F分别是边、、上的点，以为直径的半圆经过点E、F，且平分．

(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，，则半圆的半径长为__________．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解是解题的关键．
【详解】解：A、当时，，故不是方程的根；
B、当时，，故不是方程的根；
C、当时，，故不是方程的根；
D、当时，，故是方程的根；
故选D．
2．B
【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故，
故选B．
3．A
【分析】本题考查了比例的性质，由得到，代入分式即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
4．D
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键．设，根据勾股定理求出，然后根据余弦定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
∴．
故选D．
5．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据即可得到，问题得解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A
6．A
【分析】此题考查锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果．
【详解】如图，在中，，
（米），
（米）．
故选∶A．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
【详解】解：A、是的半径，弦于点N，
在中，，
故选项A错误，不符合题意；
B、是的半径，弦于点N
在中，，
故选项B正确，符合题意；
C、
故选项C错误，不符合题意；
D、
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了折叠的性质．利用折叠的性质得到，，然后根据圆周角定理得到．
【详解】解：如图所示，设与直线交于点E，

∵为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，
∴，
∴，
∵折叠纸片，使点A与点C重合，折痕为直线，
∴平分，
∴，
∴．
故选：B．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据“从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元”即可列出方程，求解即可解答．
【详解】设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是．
故答案为：
11．/
【分析】本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
根据折叠可得四边形是正方形，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为，设，则，通过，列方程解方程，进而求出的长，从而可求的长．
【详解】解：过点P作，，垂足为G、H，连接，
由折叠得：
四边形是正方形，，
，
在中，
∴，
在中，设，则，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
设，则，
四边形是正方形，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】如图，过点作于，根据平行线的性质得出，，根据甲船速度可求出的长，利用的余弦函数可求出的长，利用的余弦函数求出即可得答案；本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
【详解】如图，过点作于，
∴，
∴，，
∵甲货以4海里/小时的速度，行驶2小时，
∴，
∴，
∴，
∴乙货船每小时航行（海里），
故答案为：
13．/
【分析】本题考查求角的余弦值．勾股定理求出的值，再利用余弦等于邻边比斜边，求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算．
【详解】解：由作图知∶垂直平分，
扇形的半径是2，
故答案为∶．
15．
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）连接，则，则，由圆周角定理可得，从而得到，证明，即可得到答案；
（2）由相似三角形的性质可得，代入数值进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
故答案为：．
16．②③/③②
【分析】证明推出，从而得到，即可判断①；由为直角三角形，为的中点，得出，从而得到点在正方形的外接圆上，根据圆周角定理得出，从而证得，即可判断②；设和相交于点，设，则，设正方形的边长是，则，由得出，得出，即可判断③；设正方形的边长是，则，，证明，得到，从而得到，即可判断④，得到答案．
【详解】解：如图，
∵四边形和四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，故①错误；
是直角三角形，为的中点，
，
∴点在正方形的外接圆上，
，
，故②正确；
因为平分，
所以，
因为，
所以，
，
又是的中点，
，
，
，
设和相交于点，
设，则，设正方形的边长是，则，
，即，
解得：，或（舍去），
则，
∴，故③正确；
，
，
是的中位线，
，
，
设正方形的边长是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④错误；
故其中正确的结论是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确求得两个三角形的边长比是解此题的关键．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要查了解一元一次方程，解分式方程，解一元二次方程：
（1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，然后解出整式方程，再检验，即可求解；
（3）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
（3）解：，
∴，
∴，
解得：．
18．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据同角的补角相等可得，结合为公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
【详解】证明：，，
，
在和中，
，，
．
19．(1)月平均增长率为
(2)4月份卖86台
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出方程解题关键．
（1）设该店这两个月的月平均增长率为，利用增长率公式得出方程求出答案；
（2）用四月份的销售量=三月份的销售量+四月份的增长量得出结论．
【详解】（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该店这两个月的月平均增长率为；
（2）解：（辆），
答：4月份卖86台．
20．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】(1)取格点，连接交于点，连接，可证明，得，则；
(2)取格点，连接交于点，连接，可证明，得，则，所以；
(3)解法一∶取的中点及格点，连接交于点，连接，再取格点，连接，则，所以，则， 所以，则；
解法二∶取格点，连接交于点，连接，再连接，则，所以，得，则，所以．
【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由∶ 连接，则，．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点D及就是所求的图形；
（2）解：如图，取格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由∶ 连接，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点及就是所求的图形；
（3）解：解法一∶ 如图，取的中点及格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由∶
由（1）图知：，
∴，
∴点为格点，
再取格点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴点及就是所求的图形；
解法二：如图，取格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由：连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点及就是所求的图形．
【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，三角形面积公式，相似三角形判定及性质，平行线性质，灵活运用所学知识是关键．
21．(1)为12.0米，为16.0米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）过点E作，垂足为H，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，，
∴斜坡ED的铅直高度约为，水平宽度约为；
（2）解：过点E作，垂足为H，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
22．(1)直线与相切，证明过程见解析;．
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出，进而得出，根据平行线的性质即可得出，则可证明直线与相切；
（2）首先根据可得出，进而有，从而求出的长度，然后利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】（1）解：直线与相切，证明如下：
证明：连接．
∵是的平分线，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
即．
又∵过半径的外端点D，
∴直线与相切．
（2）由（1）知．
∴．
∴
∵的半径为2，
∴，．
∴．
∴．
∴，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质，相似三角形的判定及性质和勾股定理是解题的关键．
23．(1)证明过程见详解；
(2)3．
【分析】本题考查切线的证明，直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到．
（1）连接，证明得到即可得到证明；
（2）结合角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半圆O的切线；
（2）解：，
，
，
，
．
故答案为：3．
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