龙岩市新罗区2023-2024学年高一上学期第三次月考
数 学
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）
A． B．－ C． D．－
2. （ ）
A． B． C． D．
3. 直角坐标平面上将函数（，）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数的图像恒过定点（ ）
A． B． C． D．
4. 函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
5.已知a＝0.63，b＝30.6，c＝log30.6，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（）
A．185 B．180
C．119 D．120
7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10. 已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称
C．的值域为 D．，且，恒成立
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上为增函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有5个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，若函数的图像关于直线对称，则的值为 .
14. 已知是奇函数，且当时，.若，则 .
15.已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 . .
16．已知函数与函数，满足，当和在区间上单调性不同，则称区间为函数的“异动区间”.若区间是函数的“异动区间”，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）（1）求值：.
（2）已知正数满足，求的值.
18.（12分）平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求和的值
（2）若，化简并求值
19.（12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及；
（2）求函数的单调递增区间；
20.（12分）函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最小值为，求的值.
21.（12分）近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
15 20 25 30
105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.
22.（12分）双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为；②为奇函数，为偶函数；③（常数e是自然对数的底数，）.利用上述性质，解决以下问题：
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）解不等式.数学参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B
二、选择题
9. AD 10．ABD 11. BC 12．BC
三、填空题
13．/ 14．-3 15． 16．
四、解答题
17.解：解：（1）原式. 5分
（2）因为，所以.所以 10分
18. （1）∵，由三角函数的定义得， 5分
（2）∵
， 7分
∴. 12分
19.解：（1）对于函数，
它的最小正周期为； 3分
； 6分
（2）令，， 9分
求得，，即，．
所以，函数的单调递增区间是． 12分
20. （1）解：
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为： 4分
（2）解：
令，得： 即
解得：
因为
所以函数的零点为. 8分
（3）解：
且函数的最小值为
即，得即. 12分
21. （1）因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得. 3分
（2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②. 5分
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为. 7分
（3）由（2）知
所以
即. 9分
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立. 10分
当，时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961. 12分
22. （1）由，得，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
由，解得， 5分
（2），
因为和在上均为增函数，所以在上为增函数，
由，得， 8分
所以，所以，即，
令（），则，即， 10分
解得（舍去），或，
所以，得，
所以不等式的解集为. 12分
