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分课时教学设计
第2课时《 29.1投影（2） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.掌握线段、平面图形的正投影规律．
学习者分析 通过学习，对投影知道应如何分类．能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算．
教学目标 1、了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影． 2、培养动手实践能力及空间想象能力． 3、学会观察，理解原理，增强自信心．
教学重点 理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
教学难点 归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 问题1. 图中的投影线与投影面的位置关系有什么区别？ 教师出示图片，引导学生观察图片的特征． 图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）图（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面 ●归纳：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影． 问题2. 通过学习，我们对投影应如何分类？ 物体投影 学生活动1： 通过探究活动理解． 了解正投影的概念. 学会观察，理解原理．活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，培养动手实践能力及空间想象能力.进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 探究1. 如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置： (1)铁丝平行于投影面； (2)铁丝倾斜于投影面； (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)． 三种情形下，铁丝的正投影各是什么形状？ 通过观察，我们可以发现： (1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是_______. (2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是________. (3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个_____ 探究2. 如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3)纸板垂直于投影面． 结论： (1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影是_______. (2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影是_______. (3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影是一条_______. 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 学生自主探究，通过学习，对投影知道应如何分类,得出结论. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，掌握线段、平面图形的正投影规律,能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例、 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影． (1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P，如图(1)； (2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P，如图(2)． 解：(1)如图，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系； (2)如图，正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线的长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点的连线A′B′是正方体侧棱即它所对的另一条侧棱AB的投影． 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题．先让学生独立思考. . 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.小乐用一块矩形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块矩形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( ) A．三角形 B．线段 C．矩形 D．平行四边形 2.若线段AB在投影面上的正投影为A1B1，则线段AB与线段A1B1的大小关系是（ ）. A. AB＝A1B1 B. AB＞A1B1 C. AB＜A1B1 D. AB ≥ A1B1 选做题： 3.如图，投影线的方向如箭头所示，画出下列各图形的正投影． 【综合拓展类作业】 4.如图所示的两个图形都是画出一个圆柱体的正投影，试判断正误，并说明原因. .如图所示的两个图形都是画出一个圆柱体的正投影，试判断正误，并说明原因.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，一条线段AB在平面β中的正投影为A′B′，AB＝4 m，A′B′＝2 m，则线段AB与平面β的夹角为( ) A.45° B.30° C.60° D.以上均不对 选做题： 2.如图，已知一纸板的形状为正方形ABCD，其边长为10 cm，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积． 【综合拓展类作业】 3、一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α. (1) 求影子A1B1的长度 (如图①)； (2) 若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后 木棒的影长 A2B2 (如图②)．
教学反思 1．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影． 2．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同． 3．投影的分类： 物体投影
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29.1投影（1）
人教版 九年级 下册
教材分析
了解正投影的概念,掌握线段、平面图形的正投影规律．能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算．培养动手实践能力及空间想象能力．学会观察，理解原理，增强自信心．
教学目标
教学目标：1. 掌握正投影的概念.
2. 掌握线段、平面图形的正投影规律.
3. 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关
计算.
教学重点:理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正
投影．
教学难点:归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
新知导入
情境引入
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.
投影所在的平面叫做投影面．
照射光线叫做投影线，
（1）由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．
（2）由平行光线形成的投影叫做平行投影．
1. 说一说什么是投影、投影线、投影面？
2. 什么是平行投影和中心投影？
新知讲解
合作学习
观察与思考：下图是三角形纸板在光线照射下形成投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系又有什么区别？
图①
图②
图③
提炼概念
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
归纳总结：
投影线集中于
一点
投影线互相平行，且斜着照射投影面
投影线垂直于投影面
探究:（一）
如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
p
A
B
A1
B1
A
B
A
B
A3(B3)
B2
A2
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
(1) 铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
通过观察，我们可以发现：
=
>
点A3(B3)
结论：
p
A
B
A1
B1
A
B
A
B
A3(B3)
B2
A2
(1) 当线段AB平行于投影面p时，它的正投影是线段A1B1，
线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；
(2) 当线段AB倾斜于投影面p时，它的正投影是线段A2B2，
线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2;
(3) 当线段AB垂直于投影面p时，它的正投影是一个
________．
探究：（二）
如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD) 放在三个不同位置：
（1）纸板平行于投影面；(2) 纸板倾斜于投影面；
（3） 纸板垂直于投影面．
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
q
(3) 当纸板P垂直于投影面q时，P的正投影成为
__________．
通过观察、测量可知：
(1) 当纸板P平行于投影面q时，P的正投影与P的
_________________；
(2) 当纸板P倾斜于投影面q时，P的正投影与P的
___________________；
形状、大小一样
形状、大小发生变化
一条线段
结论：
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'( B')
D'(C')
q
典例精讲
例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF
垂直于投影面P，并且其对角线AE垂直于投影面P．
D
A
B
C
E
A
D
G
H
F
C
B
正投影的概念及作图
D
A
B
C
E
A
D
G
H
F
C
B
D'
A'
B'
C'
A'
D'
G'
F'
C'
B'
正投影的概念及作图
D
A
B
C
D'
A'
B'
C'
正方形的投影为A'B'C'D'，它与正方体的一个面是全等的关系
正投影的概念及作图
E
A
D
G
H
F
C
B
A'
D'
G'
F'
C'
B'
正方形的投影为矩形F'G'C'D'，这个矩形的长等于正方体底面的对角线长，这个矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上下两边中点连线A'B'是正方体侧棱AB以及它所对的另一条侧棱EH的投影.
归纳概念
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
人们经常根据上述规律绘制图形
课堂练习
必做题
1.小乐用一块矩形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块矩形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( )
A．三角形 B．线段
C．矩形 D．平行四边形
A
2.若线段AB在投影面上的正投影为A1B1，则线段AB与线段A1B1的大小关系是（ ）.
A. AB＝A1B1 B. AB＞A1B1
C. AB＜A1B1 D. AB ≥ A1B1
D
选做题
3.如图，投影线的方向如箭头所示，画出下列各图形的正投影．
解：如图所示．
综合拓展题
4.如图所示的两个图形都是画出一个圆柱体的正投影，试判断正误，并说明原因.
解析 立体图形的正投影是平面图形.
答案 图①是错误的，图②是正确的. 因为圆柱体的正投影是平行光线的投影，投影线与投影面是垂直的. 所以投影后不可能是圆柱，而是一个平面图形——矩形或正方形.
作业布置
必做题
1.如图，一条线段AB在平面β中的正投影为A′B′，AB＝4 m，A′B′＝2 m，则线段AB与平面β的夹角为( )
A.45° B.30°
C.60° D.以上均不对
B
选做题
2.如图，已知一纸板的形状为正方形ABCD，其边长为10 cm，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
综合拓展题
3、一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(1) 求影子A1B1的长度 (如图①)；
(2) 若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后 木棒的影长
A2B2 (如图②)．
答案：(1) A1B1=8cm.
E
(2)A2B2= cm.
课堂总结
正投影
概念及画法
正投影的性质
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
线段的投影
平面图形的投影
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第29章
课标要求 1、以分析实际例子为背景、认识投影和视图的基本概念和基本性质． 2、通过讨论简单立体图形．包括相应的表面展开图、与它的三视图的相互转化． 使学生经历画图、识图等过程、分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想 象能力． 3、通过制作立体模型的课题学习、在实际动手中进一步加深对投影和视图知识 的认识、加强在实践活动中手脑结合的能力．
内容分析 本章所讨论的对象是投影与视图．其中有很多计算问题、也没有形式上的推理证明。这与前面几章形成明显的区别．本章面临的主要是立体图形与平面图形的相互转化问题．而掌握立体图形与相应平面图形的联系是实现上述转化的关键．要掌握这种联系．不仅需要认识从立体图形到平面图形的转化过程．还需要认识从平面图形到立体图形的转化过程．即需要从两方面双向认识这种联系．
学情分析 注意从不同角度加强对于空间想象能力的培养．在不同教学阶段，思考问题的角度可能有所不同，要解决的问题也有区别、“由物画图”可以看成是一个分解，或不同角度分析，的过程．而“由图想物”是一个综合的过程．解决问题有时需要分解，有时需要综合，有时需要两者结合。应注意两者的教学要有合理的顺序、一般说“由物画图”是“由图想物”的基础、只有认识了视图所表示的意思，才可能把视图立体化．教学中还应注意不同阶段内容之间的联系，注重全章教学的整体综合效果．
单元目标 （一）教学目标 1、掌握投影的基础知识、包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念．正投影 的成像规律． 2、掌握视图、三视图等概念．三视图的位置和度量规定。一些基本几何体的三视图。 简单立体图形、包括相应的表面展开图、与它的三视图的相互转化． 3、掌握课题学习，制作立体模型。这是由三视图向立体图形转化的实践活动. （二）教学重点、难点 教学重点:掌握投影和视图的基本概念和基本性质. 教学难点:通过制作立体模型的课题学习、在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识、加强在实践活动中手脑结合的能力．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的．很明显、关于投影和视图的知识是从实际需要、建筑、制造等。中产生的，它们与实际模型联系得非常紧密．在本章之前。学生已经数次接触过“从不同方向看物体”等内容，对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解、只是还没有明确地接触过一些基本名词术语．对有关基本规律还缺乏归纳总结、按教材设计顺序。可能多的学校已在初一时就讲了．感性认识需要上升为理性认识、理论指导下的实践会更明确有效．本章要在学生已有的有关投影和视图的初步感性认识的基础上，适当引入基本概念、归纳基本规律。使认识水平再次提升．从理论上说，投影和视图知识是以立体几何、画法几何等为基础依据的．利用这些基础可以对投影和视图进行比较深入的分析。但是由于初中学生的知识储备的局限．在初中投影和视图内容的教学不可能完全从理论角度深入进行，而应该借助直观模型的作用，作好由感性认识到理性认识的过渡、比较通俗易懂地介绍一些基本概念、基本原理、规律． 2.本章教学建议： （1）、结合实际例子讨论问题、在直观认识的基础上归纳基本规律、初一、物理， 本章教科书在编写时。重视结合实际例子讨论问题、在直观认识的基础上归纳基本规律。在引出投影概念时，举出树影、皮影戏、人影等实例，在介绍平行投影概念时，利用日晷、探照灯等实例，在介绍中心投影概念时。利用了普通灯泡照射物体的实例。在引出三视图的概念． （2）、重视平面图形与立体图形的联系、重在培养空间想象能力在学习本章之前。学生已经具有一定的关于平面图形与立体图形的知识、并且接触过“从不同方向观察物体”、基本几何体的平面展开图等反映平面图形与立体图形之间的联系的问题。本章从投影的角度对如何用三视图这样的平面图形来表示三维立体图形进行进一步讨论．这有助于将学生对于图形已有的认识加以提高。增强将平面图形与立体图形相互转化的． （3）、教学中应重视联系实际问题．帮助学生克服立体几何知识的不足在本章的教学中，不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识，例如空间中直线与直线．简称线线，、直线与平面，简称线面。、平面与平面，简称面面。的位置关系、相交、垂直和平行．但是学生此前缺乏对这些知识的系统学习。只是有一些感性认识。在学习本章之前先系统补充立体几何基础知识是不合适的、因为这需要增加许多课时、而且扩大了课程标准规定的初中数学学习内容．教科书的编写者认为，解决这个问题的比较好的做法是重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识． 3.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数29.1投影（1）129.1投影（2）129.2三视图（1）129.2三视图（2）129.3课题学习制作立体模型1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务29.1投影（1）1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念． 2、了解平行投影和中心投影的区别．使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识． 3、理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识解答． 1.理解平行投影和中心投影的特征． 2.通过活动探究、观察图片等活动，使学生认识平行投影的概念，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值．活动一：从手影、树影、人影等学生熟悉的生活实际出发，引入物体投影的相关概念． 活动二：师生共同探究平行投影和平行投影作图的知识.29.1投影（2）1、了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影． 2、培养动手实践能力及空间想象能力． 3、学会观察，理解原理，增强自信心． 1.理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影． 2.归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影. 活动一：学通过学习，对投影知道应如何分类． 活动二：能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算． 活动三：探究巩固例题． 29.2三视图（1）1、会从投影的角度理解视图的概念，进一步明确正投影与三视图的关系． 2、培养动手实践能力及空间想象能力． 3、经历探索简单立体图形的三视图的画法的过程，能识别物体的三视图． 1.简单立体图形的三视图的画法． 2．三视图中三个位置关系的理解．活动一：会从投影的角度理解视图的概念． 活动二：探究巩固例题．29.2三视图（2）1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型． 2、经历探索简单的几何体的三视图的还原过程，进一步发展空间想象能力． 3、了解将三视图转换成立体图在生活中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值． 1.根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生活中的作用． 2.根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型． 活动一：学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型. 活动二：完成例题学习巩固知识点．29.3课题学习制作立体模型1、体验平面图形向立体图形转化的过程. 2、体会用三视图表示立体图形的作用. 3、进一步感受平面图形与立体图形之间的关系. 1.让学生亲自经历规律的发现、深入研究、应用的过程. 2.学生通过手工制作实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中，养成科学的研究态度.活动一：体验平面图形向立体图形转化的过程. 活动二：体会用三视图表示立体图形的作用. 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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