2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（2）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．水中捞月 B．水涨船高 C．守株待兔 D．百步穿杨
2．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（　　）
A．4π B．2π C．4 D．2
4．如图，某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则拱桥的半径为（　　）
A．16m B．20m C．24m D．28m
5．世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（　　）
A．米 B．米 C．200米 D．米
6．如图，一位篮球运动员投篮，球的行进路线是沿抛物线y＝ax2+x+2.25（x，y的单位都为m），然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，他距篮筐中心的水平距离OH是4m，则a的值为（　　）
A．﹣0.25 B．﹣0.24 C．﹣0.22 D．﹣0.2
7．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
8．如图，将二次函数y1＝（x+3）2+2的图象向下平移k个单位后，与二次函数y2＝（x﹣2）2+1的图象相交于点A，过点A作x轴的平行线分别交y1，y2于点B，C，当AC＝BA时，k的值是（　　）
A．2 B．16 C．8 D．4
9．已知点A，B，C是⊙O上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　）
A．若点B是的中点，则∠BAC＝∠ACB
B．若∠AOB＝110°，则∠ACB＝55°或125°
C．若AB∥OC，OA⊥OB，则∠AOC＝135°
D．若四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC一定是菱形
10．若实数x满足x2+2+＝0，则下列对x值的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC AB，那么线段AC的长　 　cm．
12．在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是 　 　．
13．已知A，B，C为⊙O上顺次三点且∠AOC＝150°，那么∠ABC的度数是　 　．
14．已知抛物线C0：y＝﹣x2+2x+1．
（1）将C0向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数C1的解析式为 　 　．
（2）将C0沿x轴翻折得到函数C2的解析式为 　 　．
（3）将C0沿y轴翻折得到函数C3的解析式为 　 　．
15．如图，BC是⊙O的弦，A是劣弧BC上一点，AD⊥BC于D，若AB+AC＝10，⊙O的半径为6，AD＝2，则BD的长为　 　．
16．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，点P在边BC上沿B到C的方向以每秒1 cm的速度运动（不与点B，C重合），点Q在AC上，且满足∠APQ＝∠B，设点P运动时间为t秒，当△APQ是等腰三角形时，t＝　 　．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．已知二次函数y＝x2﹣4x+3
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标的交点坐标，并画出函数的大致图象．
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝x2﹣4x+3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系（直接写出结果）
18．如图，某轮船在海上以每小时40海里的速度向正西方向航行．上午8：00在B点处测得小岛A在北偏东30°方向，上午9：00船到达点C处，测得岛A在北偏东45°方向．求点C与小岛A的距离．
19．如图，在△ABC中，AC＝16，BC＝20，点D，E分别在边AC、BC上，AD＝6，∠B+∠ADE＝180°，连接AE
（1）求证：△EDC∽△ABC；
（2）求BE的长；
（3）若AB＝12，求△ABE的面积．
20．如图，AB是半圆O的直径，D是弧BC的中点，四边形ABDC的对角线AD、BC交于点E，AC、BD的延长线交于点F
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）若AB＝2，AD＝4，求CF的长．
21．如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
（2）通过计算判断此球能否过网．
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．
22．如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
23．已知二次函数y＝ax2﹣ax﹣x（a≠0）
（1）若对称轴是直线x＝1
①求二次函数的解析式；
②二次函数y＝ax2﹣ax﹣x﹣t（t为实数）图象的顶点在x轴上，求t的值；
（2）把抛物线k1：y＝ax2﹣ax﹣x向上平移1个单位得到新的抛物线k2，若a＜0，求k2落在x轴上方的部分对应的x的取值范围．
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．
（1）如图1，当AC＝8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；
（2）如图2，若，设AC＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．水中捞月 B．水涨船高 C．守株待兔 D．百步穿杨
【点拨】根据随便事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，符合题意；
C、守株待兔是随机事件，不符合题意；
D、百步穿杨是随机事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解析】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，
由点A的坐标为（4，3）可知，
OB＝4，AB＝3，
所以AO＝．
在Rt△AOB中，
sinα＝．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，能构造出直角三角形是解题的关键．
3．已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（　　）
A．4π B．2π C．4 D．2
【点拨】根据扇形面积公式S＝求得半径R，再根据l＝求弧长；
【解析】解：令扇形的半径和弧长分别为R和l，则
∵S＝＝12π，
∴R＝6，
∴l＝＝4π．
∴扇形的弧长为4π．
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．
4．如图，某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则拱桥的半径为（　　）
A．16m B．20m C．24m D．28m
【点拨】设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，设拱桥的半径为R米，由垂径定理得AD＝AB＝12（米），再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】解：设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，如图：
设拱桥的半径为R米，
由题意得：OD⊥AB，CD＝4米，AB＝24米，
则AD＝BD＝AB＝12（米），OD＝（R﹣4）米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝122+（R﹣4）2，
解得：R＝20，
即桥拱的半径R为20m，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
5．世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（　　）
A．米 B．米 C．200米 D．米
【点拨】根据正切的定义求出AB，得到答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝200米，∠ABC＝60°，
∵sinB＝，
∴AB＝＝＝（米），
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．如图，一位篮球运动员投篮，球的行进路线是沿抛物线y＝ax2+x+2.25（x，y的单位都为m），然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，他距篮筐中心的水平距离OH是4m，则a的值为（　　）
A．﹣0.25 B．﹣0.24 C．﹣0.22 D．﹣0.2
【点拨】用待定系数法即可求出答案．
【解析】解：根据题意，点（4，3.05）在抛物线y＝ax2+x+2.25上，
∴3.05＝16a+4+2.25，
解得a＝﹣0.2，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法．
7．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
【点拨】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．
【解析】解：作OE⊥AB交AB于点E，作OF⊥CD交CD于点F，连接OB，如图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP＝，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．如图，将二次函数y1＝（x+3）2+2的图象向下平移k个单位后，与二次函数y2＝（x﹣2）2+1的图象相交于点A，过点A作x轴的平行线分别交y1，y2于点B，C，当AC＝BA时，k的值是（　　）
A．2 B．16 C．8 D．4
【点拨】将二次函数y1＝（x+3）2+2的图象向下平移k个单位后得出y＝（x+3）2+2﹣k，设AC＝a，则AB＝4a，根据二次函数y2＝（x﹣2）2+1的对称轴从而得出A的横坐标为2﹣a，根据题意得到AC+AB＝10，即a+4a＝10，求得a＝2，求得A的横坐标，代入y1＝（x+3）2+2求得纵坐标，然后把A的坐标代入y＝（x+3）2+2﹣k即可求得k的值．
【解析】解：∵平移后的解析式为y＝（x+3）2+2﹣k，
设AC＝a，则AB＝4a，
∴A的横坐标为2﹣a，
∵抛物线y2＝（x+3）2+2﹣k的对称轴为直线x＝﹣3，二次函数y2＝（x﹣2）2+1的对称轴为直线x＝2，
∴两条对称轴间的距离为5，
∴AC+AB＝10，即a+4a＝10，
∴a＝2，
∴A的横坐标为1，
把x＝1代入y2＝（x﹣2）2+1得，y＝2，
∴A（1，2），
代入y＝（x+3）2+2﹣k得，2＝16+2﹣k，
解得k＝16，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据题意得出表示出A的坐标是解题的关键．
9．已知点A，B，C是⊙O上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　）
A．若点B是的中点，则∠BAC＝∠ACB
B．若∠AOB＝110°，则∠ACB＝55°或125°
C．若AB∥OC，OA⊥OB，则∠AOC＝135°
D．若四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC一定是菱形
【点拨】根据等弧对等角可判断A正确；依据圆周角定理可判断B正确；依据垂直及平行线的性质可判断C错误；依据圆的基本性质及菱形的判定方法可判断D正确．
【解析】解：如答图1，∵点B是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠ACB，选项A正确；
当∠AOB＝110°时，分两种情况，
如答图5，当点C位于优弧AB上时，
由圆周角定理，得，
如答图6，当点C位于劣弧AB上时，在优弧AB上任选一点C'，连接AC'，BC'，
∵∠AOB＝110°，
∴，
∴∠ACB＝180°﹣∠C'＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ACB＝55°或125°，选项B正确；
当AB∥OC时，分两种情况．
如答图3，∵OA⊥OB，OA＝OB，
∴∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，
∵AB∥OC，
∴∠AOC+∠OAB＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣45°＝135°，
如答图4，∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠OAB＝45°，
∴∠AOC的度数为135°或45°，选项C错误；
如答图2，∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OC＝AB，
又OA＝OC，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四边形OABC是菱形，选项D正确；
综上所述，
故选：C．
【点睛】本题考查了等弧对等角、圆周角定理、垂直及平行线的性质、基本性质及菱形的判定；熟练掌握相关性质是解题的关键．
10．若实数x满足x2+2+＝0，则下列对x值的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2
【点拨】把方程整理成二次函数与反比例函数表达式的形式，然后作出函数图象，再根据两个函数的增减性即可确定交点的横坐标的取值范围．
【解析】解：∵x2+2+＝0，
∴x2+2＝﹣，
∴方程的解可以看作是函数y＝x2+2与函数y＝﹣的交点的横坐标，
作函数图象如图，
在第二象限，函数y＝x2+2的y值随m的增大而减小，函数y＝﹣的y值随m的增大而增大，
当x＝﹣2时y＝x2+2＝4+2＝6，y＝﹣＝﹣＝2，
∵6＞2，
∴交点横坐标大于﹣2，
当x＝﹣1时，y＝x2+2＝1+2＝3，y＝﹣＝﹣＝4，
∵3＜4，
∴交点横坐标小于﹣1，
∴﹣2＜x＜﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用二次函数图象与反比例函数图象估算方程的解，把方程转化为两个函数解析式，并在同一平面直角坐标系中作出函数图象是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC AB，那么线段AC的长　4﹣4　cm．
【点拨】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
【解析】解：∵AC2＝BC AB，
∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，
故答案为：4﹣4．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
12．在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是 　4　．
【点拨】作出图形，可以利用SAS证明△BA'A≌△ABC，从而得到AA'＝BC，进而得到AA'的长．
【解析】解：作出符合题意的图形如下：
由题意，知△A'BC'≌△ABC，
∴∠A'BC'＝∠ABC，
∴∠A'BC'﹣∠ABC'＝∠ABC﹣∠ABC′，
即∠A'BA＝∠C'BC，
∵AB＝AC，BC＝BC'，
∴∠ABC＝∠C＝∠BC'C，
∴∠C'BC＝∠BAC，
∴∠A'BA＝∠BAC，
∵A'B＝AB＝AC，
∴△BA'A≌△ABC（SAS），
∴AA'＝BC＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，准确画出图形是解题的关键．
13．已知A，B，C为⊙O上顺次三点且∠AOC＝150°，那么∠ABC的度数是　75°或105°　．
【点拨】由于点B的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解析】解：当A、B、C三点如图1所示时，
连接AB、BC，
∵∠AOC与∠ABC是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠ABC＝∠AOC＝×150°＝75°；
当A、B、C三点如图2所示时，连接AB、BC，
作对的圆周角∠ADC，
∵∠AOC与∠ADC是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠ADC＝∠AOC＝×150°＝75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：75°或105°．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
14．已知抛物线C0：y＝﹣x2+2x+1．
（1）将C0向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数C1的解析式为 　y＝﹣（x﹣4）2　．
（2）将C0沿x轴翻折得到函数C2的解析式为 　y＝（x﹣1）2﹣2　．
（3）将C0沿y轴翻折得到函数C3的解析式为 　y＝﹣（x+1）2+2　．
【点拨】先将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）与翻折的规律（沿x轴翻折，x不变y变为相反数，沿y轴翻折，y不变，x变为相反数）分别求解（1）（2）（3）即可．
【解析】解：y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
（1）将C0向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数C1的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣3）2+2﹣2，
即y＝﹣（x﹣4）2，
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2；
（2）将C0沿x轴翻折得到函数C2的解析式为﹣y＝﹣（x﹣1）2+2，
即y＝（x﹣1）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣2；
（3）将C0沿y轴翻折得到函数C3的解析式为y＝﹣（﹣x﹣1）2+2，
即y＝﹣（x+1）2+2，
故答案为：y＝﹣（x+1）2+2．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与翻折规律，熟练掌握二次函数图象的平移与翻折规律是解题的关键．
15．如图，BC是⊙O的弦，A是劣弧BC上一点，AD⊥BC于D，若AB+AC＝10，⊙O的半径为6，AD＝2，则BD的长为　2或4　．
【点拨】作直径AE，连接CE，证明△ABD∽△AEC，得，设AB＝x，则AC＝10﹣x，列方程可得AB的长，最后利用勾股定理可解答．
【解析】解：作直径AE，连接CE，
∴∠ACE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠ACE，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
设AB＝x，则AC＝10﹣x，
∵⊙O的半径为6，AD＝2，
∴，
解得：x1＝4，x2＝6，
当AB＝4时，BD＝＝＝2，
当AB＝6时，BD＝＝＝4，
∴BD的长是2或4；
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，正确作辅助线，构建相似三角形是本题的关键．
16．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，点P在边BC上沿B到C的方向以每秒1 cm的速度运动（不与点B，C重合），点Q在AC上，且满足∠APQ＝∠B，设点P运动时间为t秒，当△APQ是等腰三角形时，t＝　3秒或秒　．
【点拨】分两种情形①如图1中，当PA＝PQ时，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．②如图2中，当QA＝QP时，作PE⊥AC于E．分别求解即可．
【解析】解：①如图1中，当PA＝PQ时，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．
∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BC＝8，
∴BF＝CF＝4，∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠QPC，
∵∠APQ＝∠B，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△BAP∽△CPQ，
∴＝，
∴＝，
∴CQ＝，
∵PA＝PQ，PE⊥AQ，
∴AE＝EQ＝[5﹣]，
∵cos∠C＝＝，
∴＝，
解得t＝3或13（舍弃）
②如图2中，当QA＝QP时，作PE⊥AC于E．
∵QA＝QP，
∴∠QAP＝∠QPA＝∠C，
∴PA＝PC，∵PE⊥AC，
∴AE＝EC＝，
由cos∠C＝＝，得到＝，解得t＝，
综上所述，t＝3秒或秒时，△PQA是等腰三角形．
故答案为3秒或秒．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．已知二次函数y＝x2﹣4x+3
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标的交点坐标，并画出函数的大致图象．
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝x2﹣4x+3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系（直接写出结果）
【点拨】（1）利用配方法以及待定系数法解决问题即可．
（2）利用图象法结合二次函数的性质即可判断．
【解析】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标（2，﹣1），对称轴x＝2，
抛物线交y轴于（0，3），交x轴于（1，0）或（3，0），
函数图象如图所示：
（2）观察图象可知：当x1＜x2＜1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
【点睛】本题考查二次函数的性质与图象，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．如图，某轮船在海上以每小时40海里的速度向正西方向航行．上午8：00在B点处测得小岛A在北偏东30°方向，上午9：00船到达点C处，测得岛A在北偏东45°方向．求点C与小岛A的距离．
【点拨】作AD⊥CB交CB的延长线于D，设AD＝x海里，利用正切的定义用x表示出BD、CD，根据图形列出方程，解方程求出x，根据等腰直角三角形的性质列式计算，得到答案．
【解析】解：作AD⊥CB交CB的延长线于D，
设AD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴BD＝＝x，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
由题意得，x﹣x＝40，
解得，x＝60+20，
∴AC＝AD＝60+20，
答：点C与小岛A的距离为（60+20）海里．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AC＝16，BC＝20，点D，E分别在边AC、BC上，AD＝6，∠B+∠ADE＝180°，连接AE
（1）求证：△EDC∽△ABC；
（2）求BE的长；
（3）若AB＝12，求△ABE的面积．
【点拨】（1）根据同角的补角相等可得∠B＝∠CDE，又∠C公共，根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△EDC∽△ABC；
（2）由△EDC∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出＝，求得EC＝8，那么BE＝BC﹣EC＝12；
（3）先根据勾股定理的逆定理得出∠BAC＝90°．再过A作AF⊥BC于点F．利用三角形的面积公式求出AF＝＝，再根据S△ABE＝BE AF，代入计算即可求解．
【解析】（1）证明：∵∠B+∠ADE＝180°，∠CDE+∠ADE＝180°，
∴∠B＝∠CDE．
在△EDC与△ABC中，
∵∠CDE＝∠B，∠C＝∠C，
∴△EDC∽△ABC；
（2）解：∵△EDC∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝16，BC＝20，CD＝AC﹣AD＝16﹣6＝10，
∴＝，
∴EC＝8，
∴BE＝BC﹣EC＝20﹣8＝12；
（3）解：∵AB＝12，AC＝16，BC＝20，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°．
如图，过A作AF⊥BC于点F．
∵S△ABC＝BC AF＝AB AC，
∴AF＝＝＝，
∴S△ABE＝BE AF＝×12×＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握相关定理是解题的关键．
20．如图，AB是半圆O的直径，D是弧BC的中点，四边形ABDC的对角线AD、BC交于点E，AC、BD的延长线交于点F
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）若AB＝2，AD＝4，求CF的长．
【点拨】（1）由D是弧BC的中点，得到＝，求得∠BAD＝∠DBE，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由AB是半圆O的直径，得到AD⊥BF，BC⊥AF，根据勾股定理得到BD＝＝2，根据全等三角形的性质得到DF＝BD＝2，然后由相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵D是弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠DBE，
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB；
（2）解：∵AB是半圆O的直径，
∴AD⊥BF，BC⊥AF，
∵AB＝2，AD＝4，
∴BD＝＝2，
在△ABD与△AFD中，，
∴△ABD≌△AFD，
∴DF＝BD＝2，
∴BF＝4，
∵∠BCF＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△BFC，
∴，即＝，
∴CF＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
（2）通过计算判断此球能否过网．
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．
【点拨】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为（4，2），与y轴交点坐标为（0，1），用待定系数法可得羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；
（2）在y＝﹣x2+x+1中，令x＝5得y＝﹣++1＝1.9375，即可判断此球能过网；
（3）在y＝﹣x2+x+1中，令y＝得x＝1（舍去）或x＝7，即可得到答案．
【解析】解：（1）根据题意，抛物线顶点坐标为（4，2），与y轴交点坐标为（0，1），
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+2，
把（0，1）代入得：1＝16a+2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+2＝﹣x2+x+1；
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；
（2）在y＝﹣x2+x+1中，
令x＝5得y＝﹣++1＝1.9375，
∵1.9375＞1.55，
∴此球能过网；
（3）在y＝﹣x2+x+1中，
令y＝得：＝﹣x2+x+1，
解得x＝1（舍去）或x＝7，
∵7﹣5＝2（米），
∴乙与球网的水平距离为2米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
22．如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
【点拨】（1）根据垂径定理得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠ADC，推出∠1＝∠ADC，等量代换即可得到结论；
（2）连接AC，BC，推出∠FCG＝∠DAG，得到∠ADG＝∠F，推出∠ACG＝∠F，由于∠CAG＝∠CAF，于是得到结论，
（3）根据相似三角形的性质得到＝，得到AC2＝AG AF＝48，求得AC＝4，根据勾股定理得到AE＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接AC，BC，
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，
∴∠FCG＝∠DAG，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADG＝∠F，
∵∠ADG＝∠ACG，
∴∠ACG＝∠F，
∵∠CAG＝∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
（3）解：∵△CAG∽△FAC，
∴＝，
∴AC2＝AG AF＝48，
∴AC＝4，
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝4，CE＝2，
∴AE＝＝6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE AB，
∴AB＝8，
∴⊙O的半径为4．
【点睛】此题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．已知二次函数y＝ax2﹣ax﹣x（a≠0）
（1）若对称轴是直线x＝1
①求二次函数的解析式；
②二次函数y＝ax2﹣ax﹣x﹣t（t为实数）图象的顶点在x轴上，求t的值；
（2）把抛物线k1：y＝ax2﹣ax﹣x向上平移1个单位得到新的抛物线k2，若a＜0，求k2落在x轴上方的部分对应的x的取值范围．
【点拨】（1）①由对称轴是直线x＝1，得到﹣＝1，于是得到结论；②∵二次函数y＝x2﹣x﹣t（t为实数）图象的顶点在x轴上，列方程得到t＝﹣；
（2）由y＝ax2﹣ax﹣x向上平移1个单位得到新的抛物线k2，得到新的抛物线k2的解析式为y＝ax2﹣ax﹣x+1，解方程得到x1＝1，x2＝，于是得到结论．
【解析】解：（1）①∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝﹣＝1，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x；
②∵二次函数y＝x2﹣2x﹣t（t为实数）图象的顶点在x轴上，
∴（2）2+4t＝0，
∴t＝﹣1；
（2）∵y＝ax2﹣ax﹣x向上平移1个单位得到新的抛物线k2，
∴新的抛物线k2的解析式为y＝ax2﹣ax﹣x+1，
∴当y＝0时，ax2﹣ax﹣x+1＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
∴k2落在x轴上方的部分对应的x的取值范围：＜x＜1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与几何变换，求二次函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．
（1）如图1，当AC＝8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；
（2）如图2，若，设AC＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．
【点拨】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；
（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；
（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝5，
∵DEFG为矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠C，又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，DE＝，
∵△ADE∽△FGB，
∴＝，
则BG＝，
∴EF＝DG＝AB﹣AD﹣BG＝；
（2）如图2，作DH⊥AC于H，
∴DH∥BC，又AD＝DB，
∴DH＝BC＝3，
∵DH⊥AC，∠C＝90°，∠DEF＝90°，
∴△DHE∽△ECF，
∴＝＝，
∴EC＝2DH＝6，EH＝x﹣6，
∴DE2＝32+（x﹣6）2＝x2﹣6x+45，
∴y＝DE EF＝2DE2＝x2﹣12x+90，
（3）如图3，当点G在边BC上时，
∵，DE＝3，
∴EF＝，
∴AC＝9，
如图4，当点G在边AB上时，
设AD＝DB＝a，DE＝2b，EF＝3b，
∵△ADE∽△FGB，
∴＝，即＝，
整理得，a2﹣3ab﹣4b2＝0，
解得，a＝4b，a＝﹣b（舍去），
∴AD＝2DE，
∵△ADE∽△ACB，
∴AC＝2BC＝12，
综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．
【点睛】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)