2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）（含解析）

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2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
2．下列事件是必然事件的是（　　）
A．足球运动员在罚球区射门一次，射中 B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇
C．将实心铅球投入水中，下沉 D．雨后见彩虹，幸运
3．若一个正n边形的每个外角为30°，则这个正n边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．14
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为（　　）
A．2 B．4 C．9 D．10
5．如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
6．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝6寸，求直径CD的长？”依题意得CD的长为（　　）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
7．二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有两个交点，则k满足的条件是（　　）
A．k＞2 B．k＝3 C．k＜2且k≠0 D．k≤2
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD三等分点且AE＞DE，连接CE交BD于点F，若△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．18
9．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造 ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）
A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1﹣M2＝1则称函数y1和y2符合“特定规律”．以下函数y1和y2符合“特定规律”的是（　　）
A．和 B．和y2＝﹣x+8
C．和 D．和y2＝﹣x﹣8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若3x＝4y，则x：y＝　 　．
12．从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是 　 　．
13．如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 　 　m．
14．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 　 　．
15．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为 　 　．
16．如图，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，AC＝4，连接CO并延长至点E，使∠EAC＝∠ABC＝60°．
（1）⊙O的半径为 　 　．
（2）若BC＝2，则BE的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y≥0时，写出x的取值范围．
18．已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是．（提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等．）
（1）如图1，在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 　 　；
（2）如图2，求在一定时间段内，C、D之间电流能够正常通过的概率．
19．如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
（1）将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C，请在图1中作出△A1B1C．
（2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得．
（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC＝2∠A．（请涂上黑点，注上字母）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．
（1）求证：点D为线段BC的中点．
（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半径及阴影部分的面积．
21．某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
22．如图1，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，水平底座长AD＝10cm，伸缩臂AB长度可调节（10cm≤AB≤15cm），并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是0°＜α≤90°，手机支撑片EC可绕点B上下转动，BC＝10cm，转动角β变动范围是0°＜β≤90°．小明使用该支架进行线上学习，当β≥30°，且点C离底座的高度不小于7cm时，他才感觉舒适．
（1）如图3，当α＝90°，β＝50°，AB＝12cm时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求．（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
（2）如图2，当α＝60°，β＝90°的情况下，AB至少要伸缩到多少cm时才能恰好满足小明使用的舒适要求？（精确到1cm．参考数据≈1.73）
23．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0），当x＝﹣时，函数y有最小值﹣1．
（1）若该函数图象的对称轴为直线x＝1，并且经过（0，0）点，求该函数的表达式．
（2）若一次函数y＝ax+c的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点．
①求该二次函数图象的顶点坐标．
②若（a，p）（c，q）是该二次函数图象上的两点，求证：p＞q．
24．[基础巩固]
（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA BC；
[尝试应用]
（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连接EF、BF、CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝4，BF＝5，求AD的长；
[拓展提高]
（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E、F分别在AD、AC上，连接BE、CE、EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝18，EF＝7，；求的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
【点拨】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【解析】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出抛物线的对称轴．
2．下列事件是必然事件的是（　　）
A．足球运动员在罚球区射门一次，射中 B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇
C．将实心铅球投入水中，下沉 D．雨后见彩虹，幸运
【点拨】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、足球运动员在罚球区射门一次，射中，是随机事件，故A不符合题意；
B、从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇，是不可能事件，故B不符合题意；
C、将实心铅球投入水中，下沉，是必然事件，故C符合题意；
D、雨后见彩虹，幸运，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．若一个正n边形的每个外角为30°，则这个正n边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．14
【点拨】由多边形的外角和为360°，结合每个外角的度数，即可求出n的值，此题得解．
【解析】解：∵一个正n边形的每一个外角都是30°，
∴n＝360°÷30°＝12，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，牢记多边形的外角和为360°是解题的关键．
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为（　　）
A．2 B．4 C．9 D．10
【点拨】根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案．
【解析】解：∵AD：AF＝3：5，
∴，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，准确找到对应线段是解题的关键．
5．如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【点拨】设旋转角＝α，先根据旋转的性质得CA＝CE，再利用三角形内角和得到∠CAE＝∠CEA＝90°﹣α，由等腰三角形的性质可得出∠AEF＝∠AFE，根据三角形外角的性质可得出答案．
【解析】解：设旋转角＝α，
∴直角三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转角度α，得到△DCE，
∴∠ACF＝α，CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠AFE＝α+∠CAF＝α+30°，
∴α+30°＝90，
∴α＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
6．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝6寸，求直径CD的长？”依题意得CD的长为（　　）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
【点拨】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解析】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝6寸，
∴AE＝BE＝AB＝×6＝3寸，
则OA＝x寸，
根据勾股定理得x2＝32+（x﹣1）2，
解得x＝5，
∴CD＝2x＝2×5＝10（寸）．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
7．二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有两个交点，则k满足的条件是（　　）
A．k＞2 B．k＝3 C．k＜2且k≠0 D．k≤2
【点拨】根据二次函数图象与x轴有两个交点，可知当y＝0时，kx2﹣4x+2＝0的判别式Δ＞0，代值解不等式即可得到答案，在求解过程中一定要注意对于二次函数k≠0．
【解析】解：对于二次函数y＝kx2﹣4x+2可知k≠0，
∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣8k＝16﹣8k＞0，
∴k＜2且k≠0，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数定义及二次函数与x轴有两个交点对应的判别式，熟记二次函数与x轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD三等分点且AE＞DE，连接CE交BD于点F，若△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．18
【点拨】证明△EFD～△CFB，由相似三角形的性质得出，，得出，求出三角形BCD的面积，则可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∴∠DEF＝∠BCF，∠EDF＝∠FBC，
∴△EFD～△CFB，
∴，
∵E为AD三等分点且AE＞DE，
∴，
∴BF＝3DF，
∴，
∴，
∵△DEF的面积为1，
∴S△BCF＝9，
∴S△CFD＝3，
∴S△BCD＝S△CFD+S△CFB＝3+9＝12，
∴S平行四边形ABCD＝2S△BCD＝2×12＝24，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
9．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造 ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）
A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
【点拨】连接OC．利用勾股定理求出EC，根据S阴＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，计算即可．
【解析】解：连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，
∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴EC＝＝＝6，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．
10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1﹣M2＝1则称函数y1和y2符合“特定规律”．以下函数y1和y2符合“特定规律”的是（　　）
A．和 B．和y2＝﹣x+8
C．和 D．和y2＝﹣x﹣8
【点拨】根据题干信息，直接令M1﹣M2＝1，若方程有实数根，则存在；若方程没有实数根，则不存在．
【解析】解：A、当x＝m时，，，
∴＝m2+8+m2﹣2m＝2m2﹣2m+8，
令2m2﹣2m+8＝1，
则2m2﹣2m+7＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×7＝4﹣56＝﹣52＜0，
∴此方程无实数根，
即不存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项不符合题意；
B、当x＝m时，，M2＝﹣m+8，
∴＝m2+2m﹣8，
令m2+2m﹣8＝1，
则m2+2m﹣9＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×（﹣9）＝4+36＝40＞0，
∴存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项符合题意；
C、当x＝m时，，，
∴＝m2+8+m2+2m＝2m2+2m+8，
令2m2+2m+8＝1，
则2m2+2m+7＝0，
∵Δ＝22﹣4×2×7＝4﹣56＝﹣52＜0，
∴此方程无实数根，
即不存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项不符合题意；
D、当x＝m时，，M2＝﹣m﹣8，
∴＝m2+2m+8，
令m2+2m+8＝1，
则m2+2m+7＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×7＝4﹣28＝﹣24＜0，
∴不存在m的值使函数y1和y2符合“特定规律”，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义问题，根据给出的定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若3x＝4y，则x：y＝　4：3　．
【点拨】根据比例的性质，把所给的等式3x＝4y，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数3就作为比例的另一个外项，和y相乘的数4就作为比例的另一个内项，据此写出比例．
【解析】解：∵3x＝4y，
∴x：y＝4：3．
故答案为：4：3．
【点睛】此题考查的是比例的基本性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
12．从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是 　　．
【点拨】根据题意，一共有5种结果，任选1名选出的这名学生恰好为女生的概率是．
【解析】解：一共有5种结果，任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率，解题的关键在于掌握概率公式．
13．如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 　4　m．
【点拨】先根据题意作出相应的图，然后可根据条件得到△ADB～△CDA，最后利用相似比即可得解．
【解析】解：根据题意作图，BD＝2m，CD＝8m，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠ADB＝∠CDA＝90°，
∴△ADB～△CDA，
∴，
∴AD2＝BD CD＝16，AD＝4m．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
14．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 　﹣　．
【点拨】根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解析】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为 　5：3　．
【点拨】根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，进而证明△ACE∽△ABD，利用相似三角形的性质和勾股定理进行解答即可．
【解析】解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，
则设AC＝3x，BC＝4x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴，
∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3，
故答案为：5：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是证明△ABC∽△ADE．
16．如图，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，AC＝4，连接CO并延长至点E，使∠EAC＝∠ABC＝60°．
（1）⊙O的半径为 　4　．
（2）若BC＝2，则BE的长为 　　．
【点拨】（1）连接OA，过点O作OM⊥AC，根据圆周角定理、垂径定理及等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠OCA＝30°，，再由余弦函数求解即可；
（2）连接OB，过点O作OD⊥BC，过点E作EF⊥BD，利用角的等量代换得出∠AEC＝90°，再由正弦函数确定OE＝2，根据相似三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【解析】解：（1）连接OA，过点O作OM⊥AC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，OM⊥AC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，，
∵，
∴，
∴⊙O的半径为4；
故答案为：4；
（2）连接OB，过点O作OD⊥BC，过点E作EF⊥BD，如图所示：
∵∠EAC＝60°，∠OAC＝30°，
∴∠EAO＝30°，
∵∠EAC＝60°，∠OCA＝30°，
∴∠AEC＝90°，
∵，
∴OE＝OA sin∠EAO＝2，
∴CE＝CO+OE＝6，
∵OD⊥BC，
∴，
∴，
∵∠ODC＝∠EFC＝90°，∠DCO＝∠FCE，
∴△DCO∽△FCE，
∴即，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及解三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y≥0时，写出x的取值范围．
【点拨】（1）解方程x2+2x﹣3＝0可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（2）写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解析】解：（1）当y＝0时，﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝1
∴抛物线与x轴的交点坐标为 （5，0）、（1，0）；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+6x﹣5图象开口向下，
∴当y≥0时，1≤x≤5．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18．已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是．（提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等．）
（1）如图1，在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 　　；
（2）如图2，求在一定时间段内，C、D之间电流能够正常通过的概率．
【点拨】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：（1）画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中A、B之间的两个元件都通过电流才能正常通过的只有1种结果，
所以A、B之间的两个元件都通过电流才能正常通过概率为，
故答案为：；
（2）由图知，共有4种等可能结果，其中C、D之间的两个元件都通过电流才能正常通过的有3种结果，
∴C、D之间两个元件中至少有一个元件通时电流就能通过的概率为．
【点睛】本题涉及树状图的相关方法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
（1）将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C，请在图1中作出△A1B1C．
（2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得．
（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC＝2∠A．（请涂上黑点，注上字母）
【点拨】（1）分别作点A、点B绕C点按顺时针方向旋转90°得到的对应点A1、B1，顺次连接A1C、B1C、A1B1，即可得到△A1B1C；
（2）由图可知AP＝2，CQ＝3，AP∥CQ，由△AMP∽△CMQ，即可证明点M满足要求；
（3）按要求找到点N，连接BN、CN、AN，由勾股定理可得，点N到点A、B、C的距离相等，即点N是△ABC的外心，以点N为圆心，BN为半径画圆，由圆周角定理即可证明点N满足要求．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C即为所求，
（2）如图，点M即为所求，
由图可知，AP＝2，CQ＝3，AP∥CQ，
∴△AMP∽△CMQ，
∴，
∴，
即点M符合要求；
（3）如图，
连接BN、CN、AN，
由勾股定理可得，
∴点N到点A、B、C的距离相等，
即点N是△ABC的外心，以点N为圆心，BN为半径画圆，
则∠BNC＝2∠A，
即点N符合题意．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、图形的旋转作图等知识，根据题意正确作图是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．
（1）求证：点D为线段BC的中点．
（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半径及阴影部分的面积．
【点拨】（1）连结AD，可得∠ADB＝90°，已知AB＝AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D为线段BC的中点；
（2）根据已知条件可证△ABC∽△DEC，得到，2BD2＝AB EC，且△EDC是等腰三角形，进而得到ED＝DC＝BD，设AB＝x，则，解方程即可求得⊙O的半径，连接OE，可证△AOE是等边三角形，再根据S阴＝S扇形AOE﹣S△AOE即可求出阴影部分的面积；
【解析】（1）证明：连结AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
即点D为线段BC的中点．
（2）解：∵∠B＝∠E，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴ED＝DC＝BD，
∴2BD2＝AB EC
设AB＝x，则，
解得：x1＝﹣9（舍去），x2＝6，
∴⊙O的半径为3，
连接OE，
∴∠AOE＝60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE边上的高为，
∴S阴＝S扇形AOE﹣S△AOE＝＝
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，不规则图形面积的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
【点拨】（1）利用日销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润；
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【解析】解：（1）20+2×4＝28（件），
（40﹣4）×28＝1008（元）．
答：均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵每件盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每件衬衫应降价10元．
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：
设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程无实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图1，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，水平底座长AD＝10cm，伸缩臂AB长度可调节（10cm≤AB≤15cm），并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是0°＜α≤90°，手机支撑片EC可绕点B上下转动，BC＝10cm，转动角β变动范围是0°＜β≤90°．小明使用该支架进行线上学习，当β≥30°，且点C离底座的高度不小于7cm时，他才感觉舒适．
（1）如图3，当α＝90°，β＝50°，AB＝12cm时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求．（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
（2）如图2，当α＝60°，β＝90°的情况下，AB至少要伸缩到多少cm时才能恰好满足小明使用的舒适要求？（精确到1cm．参考数据≈1.73）
【点拨】（1）过点C作CF⊥AB于F，利用三角函数求出BF，得到AF即可判断；
（2）过点B作BH⊥AD于点H，点C作CM⊥BH于点M．根据三角函数求出，令MH＝7cm，再利用三角函数求出AB即可．
【解析】解：（1）过点C作CF⊥AB于F，
在Rt△BCF中，BF＝BCcosβ＝10cos50°≈6.4（cm），AF＝AB﹣BF＝5.6（cm）＜7cm，
即托片底部点C离底座的高度为5.6cm，不符合小明的舒适要求．
（2）过点B作BH⊥AD于点H，点C作CM⊥BH于点M．
在Rt△ABH中，α＝60°，
∴∠ABH＝30°，
∴∠CBM＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC cos60°＝10×＝5（cm），
令MH＝7cm，则BH＝12cm，AB＝≈13.84≈14（cm），
∴至少要将AB伸缩至14cm时才能符合小明的舒适要求．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的实际应用，正确理解题意引出辅助线解决问题是解题的关键．
23．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0），当x＝﹣时，函数y有最小值﹣1．
（1）若该函数图象的对称轴为直线x＝1，并且经过（0，0）点，求该函数的表达式．
（2）若一次函数y＝ax+c的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点．
①求该二次函数图象的顶点坐标．
②若（a，p）（c，q）是该二次函数图象上的两点，求证：p＞q．
【点拨】（1）根据题意抛物线的顶点为（1，﹣1），得到抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣1，由于经过（0，0）点，代入（0，0）点即可求得a＝1，即可求得抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1．
（2）①令y＝ax+c＝ax2+bx+c，整理得ax2+（b﹣a）x＝0，解方程求得直线与抛物线的交点横坐标，根据题意得到抛物线的顶点为（，﹣1），由于一次函数y＝ax+c的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点，即可得到a﹣b+c＝﹣1，而二次函数y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，即可得到抛物线的顶点为（﹣1，﹣1）；
②根据顶点坐标得到对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即可得到b＝2a，得到y＝ax2+2ax+c，代入顶点坐标得c＝a﹣1，从而得到﹣1＜c＜a，根据二次函数的性质即可证得p＞q．
【解析】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点为（1，﹣1），
∴物线为y＝a（x﹣1）2﹣1，
∵经过（0，0）点，
∴0＝a﹣1，
∴a＝1，
∴抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1．
（2）①令y＝ax+c＝ax2+bx+c，整理得ax2+（b﹣a）x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
∵一次函数y＝ax+c的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点，且当x＝﹣时，函数y有最小值﹣1，
∴抛物线的顶点为（，﹣1），
代入y＝ax+c得，a﹣b+c＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，
∴抛物线顶点为（﹣1，﹣1）；
②∵抛物线顶点为（﹣1，﹣1），
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴y＝ax2+2ax+c，
代入（﹣1，﹣1）得，﹣a+c＝﹣1，
∴c＝a﹣1，
∵a＞0，
∴a﹣1＞﹣1，
∴﹣1＜c＜a，
∴p＞q．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意得到二次函数的顶点坐标是解题的关键．
24．[基础巩固]
（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA BC；
[尝试应用]
（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连接EF、BF、CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝4，BF＝5，求AD的长；
[拓展提高]
（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E、F分别在AD、AC上，连接BE、CE、EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝18，EF＝7，；求的值．
【点拨】（1）证明△ABD∽△DBC即可．
（2）证明△EBF∽△FBC即可．
（3）过点C作CM∥AD，交EF的延长线于点M，证明△BCE∽△ECM，再利用CM∥AD，得到．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DCB，
∴△ABD∽△DBC，
∴，
∴BD2＝BA BC．
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠EFB＝∠DFC，
∴∠EFB＝∠FCB，
∴△EBF∽△FBC，
∴，
∵BE＝4，BF＝5，
∴，
解得，
∴．
（3）解：过点C作CM∥AD，交EF的延长线于点M，
∴∠EMC＝∠AEF，∠ECM＝∠DEC，
∵∠BEC＝∠AEF，
∴∠BEC＝∠EMC；
∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠ECM，
∴△BCE∽△ECM，
∴，
∵BE＝18，EF＝7，
∴，FM＝EM﹣EF＝12﹣7＝5，
∵CM∥AD，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
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