河南省名校学术联盟2024届高三高考模拟信息卷&押题卷
数学试题（二）
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】因为，
又，所以.
故选：D.
2. 【答案】B
【解析】因，
所以.
故选：B.
3. 【答案】A
【解析】因为中，是的中点，，
所以，
则，又，
所以，所以.
故选：A.
4. 【答案】C
【解析】对于A，由条形图可知，这5年我国的服务业增加值逐年增加，故A正确；
对于C，2021年我国比上一年增加的服务业增加值为，
2019比上一年增加的服务业增加值为，
2020比上一年增加的服务业增加值为，
因为，故C错误；
对于BD，由折线图可知，这5年我国的服务业增加值的增长速度从小到大排列为：，
所以其极差为，故B正确；
因为，
则这5年我国的服务业增加值的增长速度的分位数为，故D正确.
故选：C.
5. 【答案】C
【解析】因为，，
所以，
所以数列的前若干项为：
，
则，
所以，，
，.
故选：C.
6. 【答案】D
【解析】因为，，所以，
因为存在，使，
所以，即，
结合的图象，可得，解得.
故选：D.
7. 【答案】B
【解析】由题意可得，
因为，，则，
可得，即，
则，
令，
则，整理得，解得或（舍去），
即，解得．
故选：B．
8. 【答案】B
【解析】设正四棱锥的底面边长为，高为，
则体积，所以，
设球的半径为，则，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以球的表面积的最小值为.
故选：B.
二、选择题
9. 【答案】BC
【解析】对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，当时，单调递增，
因为，
所以，故B正确；
对于C， 因为，所以，则，故C正确；
对于D，当时，单调递减，
因为，所以，故D错误.故选：BC.
10. 【答案】ABC
【解析】对于A，连接，如图，
因为是，的中点，所以，
易知四边形是平行四形边，又是，的中点，所以，
故，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，连接，如图，
在正方体中，易知，
又平面，所以平面，
因为平面，故，
又易知，所以，
同理：，则，
因为，平面，所以平面，
对于C，连接，
因为是，的中点，所以，同理：，
又在正方体中，易得，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可证，进而可证平面，
因为平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，假设平面平面，
因为平面，所以平面，显然不成立，故D错误.
故选：ABC.
11. 【答案】ABD
【解析】因为抛物线的焦点为，
所以，则，则抛物线，准线为，
对于A，不妨设，则，
所以，则直线的方程为，
令，得，即，
所以，则，故，故A正确；
对于B，因为，，所以是的中点，，
所以由三线合一的推论得，又，
所以，故，即，故B正确；
对于C，在中，，
因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，所以直线的方程为，
联立，消去，得，显然，
所以直线与相切，故D正确.
故选：ABD.
12. 【答案】ACD
【解析】因为是定义在上奇函数，所以．
由，得，所以，故选项A正确；
因为可化为，令，
则为上可导的奇函数，，且，
则，即，
所以的图象关于直线对称，且是以4为周期的函数，
所以，
所以，故选项B错误；
因为在区间上单调递增，，所以在区间上单调递增．
由对称性得在区间上单调递减，
所以，即，所以，故选项C正确；
因为，所以，
从而，解得．
由，得，从而是以4为周期的函数，
所以，，所以，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13. 【答案】80
【解析】的展开式的通项公式为：
，
令，得，
则所求系数为.
故答案为：80.
14. 【答案】
【解析】假设满足条件的圆的标准方程为，
而圆的圆心为，半径为，
所以，
由，得或，
当时，得，解得或，则或；
当时，得，无解；
综上：或，
所以满足条件的所有圆的半径之积为.
故答案为：5.
15. 【答案】
【解析】因为，所以，
设切点为，则，
由，得，，则，
代入，得，则，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，故.
故答案为：.
16. 【答案】
【解析】依题意，因为，所以，则，
所以双曲线为，，
所以过点且斜率为的直线为，
联立，消去，得，
设，则或，
所以，
，
因为的周长为12，，
所以，则，
所以，则的虚轴长为.
故答案为：.
四、解答题
17. （1）解：因为是等差数列，设其公差为，
则由，得，解得，
所以数列通项公式为.
（2）证明：数列的前项和，
则，
所以
，
因为，所以，则；
因为，
当增大，则减少，所以时，取得最大值为，
所以最大；
综上，.
18. 解：（1）由余弦定理，得，
由正弦定理，得，
因为，所以，
则，
即，显然，所以.
（2）因为，所以，则由，得，
因为，所以，
所以，即，
由，得，
则，即，
因为的面积为3，所以，
则，解得（负值舍去），所以.
19. （1）证明：延长交于点，如图，
因为三棱台中，，
所以，，则是的中点，，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，则，
因为平面，平面，则，
又平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为平面，平面，所以，
过作，因为平面，所以平面，
故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
不妨设，则，，
故，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得（负值舍去），
所以.
20. 解：（1）补全的列联表如下：
青少年 中老年 合计
食用轻食频率低 125 95 220
食用轻食频率高 75 105 180
合计 200 200 400
所以，
所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
P
所以的数学期望为.
（3）记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件，
晚餐选择低卡甜品为事件，
则，，
所以
，
所以小李晚餐选择低卡甜品概率为.
21. （1）解：的定义域为R，
由题意，得，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当，且当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）证明：由，得，是方程的两个实数根，
即是方程的两个实数根．
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
因为当时，；当时，，，所以．
不妨设，因为，是方程的两个实数根，则．
要证，只需证．
因为，，
所以只需证．
因为，
所以只需证．
今，，
则
在恒成立．
所以在区间上单调递减，
所以，
即当时，．
所以，
即成立．
22. 解：（1）设，，由
又点在椭圆上，所以：，故椭圆的标准方程为：.
（2）如图，直线必存在斜率，可设直线方程为.
由.
由得：.
设，，则，.
直线的方程为：，令得：.
同理：.
由，
得，
所以.
因为直线不经过点，故不成立，所以.
由，且直线方程为.
所以，，
所以，
所以，
又点到直线的距离为，
则
因为，可设，，
则
（当且仅当时取“=”）.
所以面积的最大值为2.河南省名校学术联盟2024届高三高考模拟信息卷&押题卷
数学试题（二）
一、选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. 3 D. 5
3. 在中，是延长线上一点，是的中点.若，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 据国家统计局统计，我国年服务业增加值及其增长速度的数据如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 这5年我国服务业增加值逐年增加
B. 这5年我国的服务业增加值的增长速度的极差为
C. 2021年我国比上一年增加的服务业增加值比2019，2020这两年比上一年增加的服务业增加值的和小
D. 这5年我国的服务业增加值的增长速度的分位数为
5. 我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前项和为，且，则的值可能是（ ）
A. 100 B. 201 C. 302 D. 399
6. 若存在，使，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题
9. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在正方体中，分别为，，，，的中点，则（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于P，Q两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为G，的延长线交于点，则（ ）
A. B.
C. D. 直线与相切
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，．若在区间上单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
13. 的展开式中的系数为______．
14. 已知直线，圆，则满足与轴都相切，且与外切的所有圆的半径之积为__________.
15. 若直线与曲线相切，则的最小值为__________.
16. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点.若的周长为12，则的虚轴长为__________.
四、解答题
17. 记是等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为3，求.
19. 如图，在三棱台中，平面，，.
（1）证明：；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长.
20. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
使用频率
偶尔1次 30 15 5 10
每周1~3次 40 40 30 50
每周4~6次 25 40 45 30
每天1次及以上 5 5 20 10
（1）若把年龄在[12，38）的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望；
（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
21. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，证明：，且．
22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，，，为直线上关于轴对称的两个动点，直线，与的另一个交点分别为，.
（1）求的标准方程；
（2）为坐标原点，求面积的最大值.
