18.2.3正方形
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课件30张PPT。第十八章 平行四边形18.2.3 正方形（1）正方形的定义及性质复习回顾(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?平行四边形边:角:对角线:对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分矩形角:四个角是直角对角线:对角线相等对称性:轴对称图形菱形的性质菱形的性质边:四条边相等对角线:互相垂直分别平分两组对角轴对称 中心对称具有平行四边形一切性质对称性： 几种特殊四边形的定义及性质 对边平行
且相等对边平行 且相等对边平行
，四边都
相等对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，邻角互补对角线
互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角中心对
称图形轴对称
图形、
中心对
称图形 轴对称
图形、中
心对称图形两组对边
分别平行
的四边形有一个角
是直角的
平行四边
形有一组邻
边相等的
平行四边
形小红在店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买。但她拿起来看时感觉不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让小红看这组对角是否对齐，小红还有些犹豫，老板又拉起另一组对角，让小红检验。小红终于买了这块纱巾。你认为小红买的这块纱巾真是正方形吗？你能帮她检验吗？ 引入新课 创设情景一?从这个图形中你能知道什么？
你是怎样想到的？?┓90° 当? =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形，是一个内角为直角的菱形，也是正方形.图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）当CD移动到C?D?位置，且 AD? ＝AB时，此
时是什么图形啊？ 当AD＝AB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形,是一组邻边相等的矩形也是正方形.你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?有一个角是直角的菱形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。正方形的概念：
_______________________________ 的平行四边形是正方形。_______________的菱形是正方形_________________的矩形是正方形 定义法菱形法矩形法有一组邻边相等且有一个角是直角的有一个角是直角有一组邻边相等(1)正方形是菱形吗？正方形具有哪些性质?正方形是特殊的菱形，它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。边：对边平行，四边都相等。角：四个角都是直角对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角 线平分一组对角。想一 想为什么说正方形是一个完美的图形？正方形是中心对称图形它也是轴对称图形(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角(A)(B)(C)(D)根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ” √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ACDBACDBACDB\∟∟∟∟O\\∟
对边平行， 四条边都相等 四 个 角
都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8轴对称图形 中心对称图形12345678例题解析例题例1. 如图，在正方ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。解：∵ 四边形ABCD是正方形根据正方形的四个内角都为直角又因为正方形的对角线平分内角又∵正方形的两条对角线互相垂直即AC⊥BD得∠DAB＝∠ABC＝90°即AC平分∠BAD，BD平分∠ABC∴ ∠ABD＝∠DAC＝ × 90°＝45°∴∠DOC=90°45°正方形12cm2a+11.正方形的一边和对角线的夹角为___________.2.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是_________.3.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.练一练5.边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm练一练6.正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中有____个等腰直角三角形解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等到腰直角三角形.分别是: 8平行四边形矩形菱形正
方
形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？自主学习 如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。 由三条公路围成的一个区域为直角三角形形状.工程队要想在区域内划一块正方形的地块作为新小区,且让小区足够大,请你来帮工程队设计一下 学以致用ABCDEF┓┓┓例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG解：因为四边形ABCD是正方形根据正方形的四边相等，得AD=CD又知四边形DEFG也是正方形所以 DE=DG又因为正方形的每个内角为90°所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC所以∠ADE＝∠CDG所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。所以AE=CG已知:如图,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形.求证:AE=CG证明：∵四边形ABCD和DEFG都是正方形.
∴DA=DC, DE=DG ,∠ADC=∠EDG
(正方形四条边都相等，四个角都是直角)
∴∠ADC-∠ADG=∠EDG-∠ADG, 即∠GDC=∠EDA在△GDC和△EDA中
DC=DA
∠GDC=∠EDA.
DG=DE
∴△GDC≌△EDA (SAS)
∴AE=CG (全等三角形的对应边相等）例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF解:连接PC∵PE⊥BC ， PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上.
求证:BE=DE证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.
(正方形四条边都相等，每条对角线平分一组对角） 在△ABC和△ADC中
AB=AD
∠BAC=∠DAC.
AE=AE
∴△ABC≌△ADC (SAS)
∴BE=DE (全等三角形的对应边相等）正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角。∵CE=AC∴∠E=∠CAE∵∠ACB是⊿ACE的一个外角∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E∵∠AFC是⊿CEF的一个外角∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°jFEABDC正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什么关系？ 议一议小结反思 3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.课堂练习1.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.530°16cm2.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.分析补充练习：
1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．补充习题：1、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
2、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
且相等对边平行 且相等对边平行
，四边都
相等对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，邻角互补对角线
互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角中心对
称图形轴对称
图形、
中心对
称图形 轴对称
图形、中
心对称图形两组对边
分别平行
的四边形有一个角
是直角的
平行四边
形有一组邻
边相等的
平行四边
形小红在店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买。但她拿起来看时感觉不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让小红看这组对角是否对齐，小红还有些犹豫，老板又拉起另一组对角，让小红检验。小红终于买了这块纱巾。你认为小红买的这块纱巾真是正方形吗？你能帮她检验吗？ 引入新课 创设情景一?从这个图形中你能知道什么？
你是怎样想到的？?┓90° 当? =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形，是一个内角为直角的菱形，也是正方形.图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）当CD移动到C?D?位置，且 AD? ＝AB时，此
时是什么图形啊？ 当AD＝AB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形,是一组邻边相等的矩形也是正方形.你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?有一个角是直角的菱形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。正方形的概念：
_______________________________ 的平行四边形是正方形。_______________的菱形是正方形_________________的矩形是正方形 定义法菱形法矩形法有一组邻边相等且有一个角是直角的有一个角是直角有一组邻边相等(1)正方形是菱形吗？正方形具有哪些性质?正方形是特殊的菱形，它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。边：对边平行，四边都相等。角：四个角都是直角对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角 线平分一组对角。想一 想为什么说正方形是一个完美的图形？正方形是中心对称图形它也是轴对称图形(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角(A)(B)(C)(D)根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ” √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ACDBACDBACDB\∟∟∟∟O\\∟
对边平行， 四条边都相等 四 个 角
都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8轴对称图形 中心对称图形12345678例题解析例题例1. 如图，在正方ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。解：∵ 四边形ABCD是正方形根据正方形的四个内角都为直角又因为正方形的对角线平分内角又∵正方形的两条对角线互相垂直即AC⊥BD得∠DAB＝∠ABC＝90°即AC平分∠BAD，BD平分∠ABC∴ ∠ABD＝∠DAC＝ × 90°＝45°∴∠DOC=90°45°正方形12cm2a+11.正方形的一边和对角线的夹角为___________.2.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是_________.3.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.练一练5.边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm练一练6.正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中有____个等腰直角三角形解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等到腰直角三角形.分别是: 8平行四边形矩形菱形正
方
形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？自主学习 如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。 由三条公路围成的一个区域为直角三角形形状.工程队要想在区域内划一块正方形的地块作为新小区,且让小区足够大,请你来帮工程队设计一下 学以致用ABCDEF┓┓┓例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG解：因为四边形ABCD是正方形根据正方形的四边相等，得AD=CD又知四边形DEFG也是正方形所以 DE=DG又因为正方形的每个内角为90°所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC所以∠ADE＝∠CDG所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。所以AE=CG已知:如图,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形.求证:AE=CG证明：∵四边形ABCD和DEFG都是正方形.
∴DA=DC, DE=DG ,∠ADC=∠EDG
(正方形四条边都相等，四个角都是直角)
∴∠ADC-∠ADG=∠EDG-∠ADG, 即∠GDC=∠EDA在△GDC和△EDA中
DC=DA
∠GDC=∠EDA.
DG=DE
∴△GDC≌△EDA (SAS)
∴AE=CG (全等三角形的对应边相等）例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF解:连接PC∵PE⊥BC ， PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上.
求证:BE=DE证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.
(正方形四条边都相等，每条对角线平分一组对角） 在△ABC和△ADC中
AB=AD
∠BAC=∠DAC.
AE=AE
∴△ABC≌△ADC (SAS)
∴BE=DE (全等三角形的对应边相等）正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角。∵CE=AC∴∠E=∠CAE∵∠ACB是⊿ACE的一个外角∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E∵∠AFC是⊿CEF的一个外角∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°jFEABDC正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什么关系？ 议一议小结反思 3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.课堂练习1.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.530°16cm2.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.分析补充练习：
1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．补充习题：1、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
2、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．