数学人教A版（2019）必修第一册5.1.2弧度制 课件（共30张ppt）

(共30张PPT)
5.1.2 弧度制
学习目标
1.了解弧度制,体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)
2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(数学运算)
3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式,会应用公式解决简单的
问题.(数学运算)
探究新知
请思考并回答以下问题：
1.在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的？
2.在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“英尺”作单位,
有不同的单位制度量质量时,可以使用“千克”“磅”等不同的
单位制,角的度量除了角度制之外,是否也有其他的的单位制呢？
提示:有不同的单位制,即弧度制.
3. 在弧度制中,1弧度的角是如何规定的？如何表示？
提示: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角,用符号rad表示.
4. 360°的角是多少弧度的角？180°的角是多少弧度的角？1°的角呢？
5.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
提示: “1弧度的角”的大小是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.
1.角度制：
(1)定义：用 作为单位来度量角的单位制.
(2)1度的角：周角的 .
2.弧度制：
(1)定义：以 作为单位来度量角的单位制.
(2)1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角.
知 识 梳 理
知识点一　度量角的两种单位制
度
弧度
半径长
知识点二　弧度数的计算
正
负
0
一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.
知识点三　角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝ rad 2π rad＝_____
180°＝ rad π rad＝_____
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ ≈57.30°
角度数× ＝弧度数 弧度数× ＝角度数
2π
π
360°
180°
一些特殊角与弧度数的对应关系
0
2π
60°
180°
学习目标
知识点四　弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ .
αR
扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是
一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.
题 型 探 究
题型一 弧度制的概念
例1(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关
答案 ABC
解析 无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
反思感悟
对弧度制定义的三点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关
的定值.
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写
为2.
(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同
的.
跟踪训练1　下列各说法中，错误的是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
√
解析　根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，其他A，B，C正确.
题型二 角度制与弧度制的互化
例2
(1) ①将112°30'化为弧度为　　　　　.
反思感悟
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键;
(2)方法:度数× =弧度数;弧度数×( )°=度数;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
解　α<β<γ<θ＝φ.
题型三 用弧度制表示角或范围
例3. 用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
分析先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.
用弧度制表示角应注意的问题
(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需
进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.
(2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上
2kπ,k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互
垂直的两直线上的角的集合可以合并为 ,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
反思感悟
跟踪训练3 以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
题型四 扇形的弧长公式与面积公式的应用
例4
(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
分析(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.
解 (1)设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积
延伸探究 本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.
解 设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,
故当半径为2 cm,圆心角为2时,扇形面积最大值为4 cm2.
反思感悟
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ lR＝ αR2(其中l是扇
形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的
计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练4　已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
小 试 牛 刀
1.下列说法中，错误的是
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
√
2.若α＝－2 rad，则α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为
√
√
5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________.
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法解方程组.
3.常见误区：弧度与角度混用.
课 后 小 结
本 课 结 束