广东省中山市2023-2024学年高一上学期期末统一考试数学试题（含答案）

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中山市高一级2023—2024学年第一学期期末统一考试
数学试卷
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校 班级 姓名 考场号 座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.将化成分数指数幂的形式是（ ）
A. B. C. D.
3.已知全集，则（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且
4.已知函数在上的值域是，则的最大值是（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
5.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
6.已知数是奇函数，则实数a的值是（ ）
A.1 B. C.4 D.
7.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在半径为的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过弧度，黑蚂蚁每秒爬过弧度（），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A.若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知正数x，y满足，则（ ）
A.的最大值为1 B.的最大值为2
C.的最小值为2 D.的最小值为
11.给定函数，则（ ）
A.的图象关于原点对称 B.的值域是
C.在区间上是增函数 D.有三个零点
12.设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有二成立则（ ）
A.不等式的解集为
B.不等式的解集为
C.不等式的解集为
D.不等式的解集为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.计算：___________.
14.已知函数，给出三个性质：
①定义域为﹔②是奇函数；③在上是减函数.
写出一个同时满足以上三个性质的函数解析式___________.
15.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额 税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率—速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额—基本减除费用—专项扣除—专项附加扣除—依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见下表.
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 3 0
2 10 2520
3 20 16920
4 25 31920
5 30 52920
6 35 85920
7 45 181920
假定小王缴纳的基本养老保险 基本医疗保险 失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，如果小王全年的综合所得为249600元，那么他全年应缴纳综合所得个税为___________元.
16.已知函数，则的零点之和为___________；若方程有四个不相等的实根，则___________.（本题第一空2分，第二空3分）
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
17.（10分）
已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
18.（12分）
若集合
（1）若，写出的子集个数：
（2）若，求实数m的取值范围.
19.（12分）
函数的性质通常指函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 零点等.已知
（1）研究并证明函数的性质；
（2）根据函数的性质，画出函数的大致图象.
20.（12分）
对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部偶函数”，
（1）已知函数，试判断是否为“局部偶函数”，并说明理由；
（2）若为定义在区间上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围.
21.（12分）
已知函数的定义域为R，值域为，且对任意m，，都有，.
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）当时，，且，证明为R上的增函数，并解不等式
22.（12分）
已知函数有两个零点.
（1）求实数a的取值范围.
（2）设是的两个零点，证明：
中山市高一级2023—2024学年第一学期期末统一考试
高一数学参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C C C C A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 BC AD AB AC
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.2 14.（答案不唯一） 15.5712 16.；
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解：（1）原式；
（2）原式.
18.（12分）
解：（1）解：，
若，则，此时，
有3个元素，故子集个数为个，即8个.
（2）因为，所以，
①若中没有元素即，则，
此时；
②若中只有一个元素，则，此时.
则，此时.
③若中有两个元素，则，此时.
因为中也有两个元素，且，则必有，
由韦达定理得，则，矛盾，故舍去.
综上所述，当时，.
19.（12分）
解：（1）①函数的定义域为，
②因为定义域关于原点对称，又，所以是偶函数；
③任取，且，
则，
因为，所以，
又因为，所以，所以，即，
所以函数在区间上单调递增，
同理可得在区间上单调递增，
又是偶函数，则在和上单调递减；
④令，则，所以；
⑤函数没有零点；
（2）根据函数的性质，作出其图象如图所示：
20.（12分）
解：（1），令，得，解得，
存在满足，故是“局部偶函数”；
（2）由，得
令，得，则在上有解
，即，故的取值范围为
21.（12分）
解：（1）令，得，
又函数的值域为.
，
为奇函数.
（2）任取.
.
.
当时，.
又函数的值域为，
，即为上的增函数.
由，即，化简得.
.
又为上的增函数，，故的解集为.
22.（12分）
解：（1）.
由可得，
令，由，可得，故.
当或，即或时，无解，
所以不存在零点；
当，即时，有一解，
此时仅有一解，所以只存在一个零点；
当，即时，有两解，
此时在各有一解，故有两个零点.
综上，实数的取值范围为.
（2）证明：函数有两个零点，
令，则为方程的两根，
则，所以，
两边平方得，因为，
所以，
所以，
由可得，所以，
则，因为在上单调递减，
所以，即.