专题7.4 离散型随机变量及其分布列（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·高二课时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解题思路】根据离散型随机变量的概念逐一判断即可.
【解答过程】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.
故选：C.
2．（3分）（2022·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
【解题思路】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且，逐一判断选项即可.
【解答过程】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且，．
对于A，因为，满足，所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于B，因为，且满足，所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于C，因为，且满足，所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于D，因为，所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．
故选：D．
3．（3分）（2022·高二课时练习）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【解题思路】根据两点分布的概念结合题意即可求解.
【解答过程】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.
故选A.
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
【解题思路】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.
【解答过程】由，
解得.
故选：C.
5．（3分）（2022·高二课时练习）下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
【解题思路】分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.
【解答过程】解：选项A中，所以选项A不满足题意；
选项B中概率之和为，事实上，所以选项B不满足题意；
选项D中，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；
选项C中，，，，且，显然有解．所以选项C满足题意.
故选：C.
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .
A． B． C． D．
【解题思路】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．
【解答过程】根据题意，由于，那么可知，时，则可得概率和为1，即.
∴
∴
故选D.
7．（3分）（2022春·河南·高二期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（ ）
1 2 3 4
P a b
A．12 B．6 C． D．
【解题思路】由分布列的性质可得，利用结合基本不等式，即可求得答案.
【解答过程】根据分布列的性质知，．且，
所以，
当且仅当时等号成立,
故选:B．
8．（3分）（2023·上海·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．
命题1：若，则随着n的增大而增大；
命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则．
则以下结论正确的是（ ）
A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误 D．两个命题都正确
【解题思路】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2.
【解答过程】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确；
，则，
而，，
，
所以，故，命题2错误；
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高二课时练习）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
【解题思路】根据离散型随机变量、两点分布的概念，进行求解即可.
【解答过程】对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；
对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数服从二项分布而不是两点分布，故选项B错误；
对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；
对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D正确．
故选：AD.
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知，选项A，可根据，分别列出时的概率，求和即可得到；选项B，根据，令带入中即可求解；选项C，根据，分别令，带入中即可求解；选项D，令带入中即可求解，即可做出判断.
【解答过程】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确；
选项B，，故该选项正确；
选项C， ，故该选项正确；
选项D，，故该选项错误.
故选：ABC.
11．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
【解题思路】本题根据等差数列性质得出a，b，c之间的关系，再利用分布列的性质即可求解.
【解答过程】解：由题意得：
∵a，b，c成等差数列
∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1
∴
∴
.
故B、D正确；
因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；
故选：BD.
12．（4分）（2022春·全国·高二期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
【解题思路】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.
【解答过程】对于A：当时，，，则，选项A错误；
对于B，当时，由，，可得，或，，
所以，选项B正确；
对于C，当（且）时，，，则，选项C正确；
对于D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，则Y的均值为，选项D正确．
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高二课时练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为 ①②④ ．
【解题思路】根据离散型随机变量的定义即可解答.
【解答过程】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出，
因此，它们都是离散型随机变量；
③中的可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，
故其不是离散型随机变量.
故答案为：①②④.
14．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝ 0.8 .
【解题思路】由Y＝－2，根据Y＝3X－2，求得X＝0，即可求解.
【解答过程】由Y＝－2，且Y＝3X－2，
得X＝0，
∴P(Y＝－2)＝0.8.
故答案为：0.8.
15．（4分）（2023·全国·高二专题练习）设随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4
则等于 ．
【解题思路】结合分布列性质得，进而根据求解.
【解答过程】解：由所有概率和为1，可得，
所以．
故答案为：.
16．（4分）（2022·高二课时练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P
．
【解题思路】正方体的12条棱中任取两条共有种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，共有对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，ξ的可能取值为0，1，，分别求出其概率即可.
【解答过程】ξ的可能取值为0，1，.
若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以
P(ξ＝0)＝＝，
若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，
则P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1
P
故答案为：
ξ 0 1
P
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高二课时练习）判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；
（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；
（3）某单位下个月的用水量ξ；
（4）某家庭上个月的电话费ξ.
【解题思路】根据离散型随机变量的定义依次判断即可．
【解答过程】（1）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2，…，是随机变量，也是离散型随机变量；
（2）ξ的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.
（3）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能取[0，＋∞)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量.
（4）ξ的取值是一个定值，故不是随机变量.
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
试求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
【解题思路】（1）由，求得m，得到的取值，列出分布列；
（1）由，求得m，得到的取值，列出分布列；
【解答过程】（1）解：由分布列的性质知，
所以.列表为
0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
1 0 1 2 3
的分布列为
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
19．（8分）（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量的分布列．
(1)求常数的值；
(2)求；
(3)求．
【解题思路】（1）依题意得到随机变量的分布列，根据分布列的性质得到方程，解得即可；
（2）由，即可得到或或，根据互斥事件的概率公式计算可得；
（3）由可得或，根据互斥事件的概率公式计算可得；
【解答过程】（1）
解：由题意得随机变量的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，，解得．
（2）
解：．
（3）
解：∵，∴或，
∴．
20．（8分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列．
【解题思路】（1）求出的所有可能值，利用组合及古典概率公式求出各个值对应的概率，列出分布列，求出甲合格的概率作答.
（2）分析并求出乙得分的所有可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列作答.
【解答过程】（1）
依题意，的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列：
0 1 2 3
所以甲合格的概率.
（2）
依题意，乙答3题，答对题数可能为1，2，3，则的可能取值为-5，5，15，
，，，
的分布列：
-5 5 15
21．（8分）（2022·高二课时练习）某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
编号
编号
（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的分布列．
【解题思路】（1）根据题意，进行求解即可；
（2）先求概率，再求分布列.
【解答过程】（1）由表可知，指标z为0的有，指标z为1的有，，，，，，指标z为2的有，，．
在这10人中任取2人，所有的情况种数为，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为，
所以抽取的2人指标z相同的概率．
（2）由题意得10人的综合指标如表：
编号
综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3
其中等级是一级的有，，，，，，共6个，等级不是一级的有，，，，共4个．
随机变量X的取值范围为，，，
，，，
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
22．（8分）（2022·高二课时练习）甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．
(1)经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
(2)若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
①求，，；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式．
【解题思路】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
【解答过程】(1)
记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，则相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，0，1，
，
，
，
∴的分布列为
0 1
(2)
①由（1）知，
同理，经过2轮投球，甲的得分的可能取值为，，0，1，2．
记，，，则，，
，，．
由此得甲的得分的分布列为
0 1 2
∴．
②∵，，
∴即∴专题7.4 离散型随机变量及其分布列（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·高二课时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．（3分）（2022·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
3．（3分）（2022·高二课时练习）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·高二课时练习）下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .
A． B． C． D．
7．（3分）（2022春·河南·高二期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（ ）
1 2 3 4
P a b
A．12 B．6 C． D．
8．（3分）（2023·上海·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．
命题1：若，则随着n的增大而增大；
命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则．
则以下结论正确的是（ ）
A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误 D．两个命题都正确
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高二课时练习）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
12．（4分）（2022春·全国·高二期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高二课时练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为 ．
14．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝ .
15．（4分）（2023·全国·高二专题练习）设随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4
则等于 ．
16．（4分）（2022·高二课时练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高二课时练习）判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；
（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；
（3）某单位下个月的用水量ξ；
（4）某家庭上个月的电话费ξ.
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
试求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
19．（8分）（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量的分布列．
(1)求常数的值；
(2)求；
(3)求．
20．（8分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列．
21．（8分）（2022·高二课时练习）某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
编号
编号
（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的分布列．
22．（8分）（2022·高二课时练习）甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．
(1)经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
(2)若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
①求，，；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式．
