专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称
期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是
不变的，它描述X取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．均值的性质
若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当a=0时，E(b)=b；
当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；
当b=0时，E(aX)=aE(X).
3．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X的分布列为
则称D(X)=+++=为随机变量X
的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程
度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
4．方差的有关性质
当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).
特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；
当b=0时，D(aX)=D(X).
5．两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
【题型1 均值的性质】
【方法点拨】
根据均值的性质，进行求解即可.
【例1】（2022春·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【解题思路】套公式直接求出和.
【解答过程】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，
所以,
所以.
故选：C.
【变式1-1】（2022春·北京大兴·高二期末）已知离散型随机变量的期望，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】直接利用期望的性质即可得解.
【解答过程】解：因为，
所以.
故选：C.
【变式1-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量满足，则（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案.
【解答过程】因为，所以，
解得或（舍去）,
故选：D.
【变式1-3】（2022春·江苏镇江·高二期中）已知X的分布列为：
X -1 0 1
P a
设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是( )
A． B． C． D．
【解题思路】根据分布列的性质及数学期望的运算公式及性质求解.
【解答过程】由已知得，.
故选：C.
【题型2 方差的有关性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可.
【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）设X，Y为随机变量，且，则（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【解题思路】根据方差的公式求得，再根据方差的性质求解即可
【解答过程】由题意，，故
故选：B.
【变式2-1】（2022春·山东淄博·高二期末）已知随机变量X的方差为，则（ ）
A．9 B．3 C． D．
【解题思路】根据，代入运算求解．
【解答过程】∵，
故选：C．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
2 3 6
P a
则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
【解题思路】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解.
【解答过程】解：根据分布列可知，解得，
，
，
所以.
故选：D.
【变式2-3】（2022春·河北·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P n m
若，则（ ）
A．6 B．7 C．20 D．21
【解题思路】先由概率和为1以及求出，再计算，由方差的性质计算即可.
【解答过程】由题可知，解得．
则，所以．
故选：D.
【题型3 离散型随机变量的均值的求法】
【方法点拨】
第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；
第二步，求X取每个值时的概率；
第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.
【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某随机变量X的分布为
则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
【解题思路】利用分布列的性质求得，再利用随机变量期望公式可求解.
【解答过程】由分布列的性质得，
所以，
根据随机变量期望公式，得，
故选：C.
【变式3-1】（2022春·北京顺义·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
【解题思路】根据分布列的性质求出，再根据期望公式计算可得；
【解答过程】解：依题意可得，
解得，
所以；
故选：D.
【变式3-2】（2022春·江苏徐州·高二期中）设为正实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【解题思路】先由概率和为1，求出a，再求.
【解答过程】因为随机变量的分布列为，
所以，
解得：a=3.
所以.
故选：C.
【变式3-3】（2022春·江苏连云港·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
则E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
【解题思路】由概率之和为1可求出的值，再根据分布列直接计算均值..
【解答过程】由题可得，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
；
所以可得分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
，
故选：A.
【题型4 离散型随机变量的方差、标准差】
【方法点拨】
第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；
第二步，求X取每个值时的概率；
第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.
第四步，利用方差的计算公式，进行求解即可.
【例4】（2022春·辽宁锦州·高二期末）随机变量的分布列是
1 2
若，则（ ）
A．1 B．4 C． D．
【解题思路】根据以及求得，进而求得.
【解答过程】依题意①，
，整理得②，
由①②解得，且.
所以.
故选：D.
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由随机变量的分布列，求出的值，并根据二次函数的性质求出最大值．
【解答过程】解：由题意可得，，
则，
当，有最大值为．
故选：A．
【变式4-2】（2022秋·辽宁·高三阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．2
【解题思路】根据分布列的性质以及，列出方程，解得m,n，根据离散型随机变量的方差公式计算，即可得答案.
【解答过程】由题意可得 ，
由得： ，
两式联立解得 ，
故，
故选:A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为：
0 1
则当在上增大时（ ）
A．单调递增，最大值为
B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为
D．先减后增，最小值为
【解题思路】根据方差公式，结合二次函数性质可得.
【解答过程】由题知，解得，
所以
所以
，
由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.
故选：D.
【题型5 两点分布的均值与方差】
【方法点拨】
根据两点分布的定义，结合均值、方差的性质和计算公式，进行求解即可.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解题思路】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出
【解答过程】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解.
【解答过程】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故选：C.
【变式5-2】（2022春·广东中山·高二阶段练习）某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为，那么他罚球一次的得分的方差为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接利用期望公式与方差公式求解即可.
【解答过程】，
，
，
故选：B.
【变式5-3】（2022·高一课时练习）设一随机试验的结果只有和，且，令随机变量，则的方差（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求得随机变量的分布列，结合期望和方差的公式，即可求解.
【解答过程】由题意，随机变量的分布列如下表：
0 1
则
.
故选：D.
【题型6 均值与方差的综合应用】
【方法点拨】
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型以及可能用到的事件类型和公式.
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值、方差.
(3)对照实际意义，回答概率、均值、方差等所表示的结论.
【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【解题思路】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和回答对3道题的概率，即可求出结果.
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断.
【解答过程】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；
所求概率
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为．
．
则的分布列为：
1 2 3
，
；
设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为．
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
．
．
由可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【解题思路】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可；
（2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可．
【解答过程】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
（2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝．
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．
【变式6-2】（2023·北京·高三专题练习）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
(3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式计算即可求解；
（2）根据题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，即可列出分布列，利用随机变量的期望公式即可求解；
（3）根据已知条件得出，再利用方差的性质即可求解.
【解答过程】（1）依题意支持方案二的学生中，男生有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.
（2）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，
则，，
则的可能取值为、、，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
（3）依题意可得，
所以，
即.
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知投资甲 乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲 乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲 乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
(2)若在甲 乙两个项目总共投资100万元，求在甲 乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
【解题思路】（1）利用公式求出期望和方差，并利用期望和方差的性质进行求解.
（2）计算甲 乙两个项目上的方差，再利用函数计算所获利润的方差和最小值.
【解答过程】（1）由题意，得，
，
，
，
由，
又，得，，
，，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.
（2）设万元投资甲，则万元投资了乙，
则投资甲的利润，投资乙的利润
设为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则
当时，的值最小.
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称
期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是
不变的，它描述X取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．均值的性质
若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当a=0时，E(b)=b；
当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；
当b=0时，E(aX)=aE(X).
3．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X的分布列为
则称D(X)=+++=为随机变量X
的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程
度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
4．方差的有关性质
当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).
特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；
当b=0时，D(aX)=D(X).
5．两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
【题型1 均值的性质】
【方法点拨】
根据均值的性质，进行求解即可.
【例1】（2022春·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【变式1-1】（2022春·北京大兴·高二期末）已知离散型随机变量的期望，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量满足，则（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2022春·江苏镇江·高二期中）已知X的分布列为：
X -1 0 1
P a
设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是( )
A． B． C． D．
【题型2 方差的有关性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可.
【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）设X，Y为随机变量，且，则（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【变式2-1】（2022春·山东淄博·高二期末）已知随机变量X的方差为，则（ ）
A．9 B．3 C． D．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
2 3 6
P a
则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
【变式2-3】（2022春·河北·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P n m
若，则（ ）
A．6 B．7 C．20 D．21
【题型3 离散型随机变量的均值的求法】
【方法点拨】
第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；
第二步，求X取每个值时的概率；
第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.
【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某随机变量X的分布为
则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式3-1】（2022春·北京顺义·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
【变式3-2】（2022春·江苏徐州·高二期中）设为正实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【变式3-3】（2022春·江苏连云港·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
则E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
【题型4 离散型随机变量的方差、标准差】
【方法点拨】
第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；
第二步，求X取每个值时的概率；
第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.
第四步，利用方差的计算公式，进行求解即可.
【例4】（2022春·辽宁锦州·高二期末）随机变量的分布列是
1 2
若，则（ ）
A．1 B．4 C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022秋·辽宁·高三阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．2
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为：
0 1
则当在上增大时（ ）
A．单调递增，最大值为
B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为
D．先减后增，最小值为
【题型5 两点分布的均值与方差】
【方法点拨】
根据两点分布的定义，结合均值、方差的性质和计算公式，进行求解即可.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022春·广东中山·高二阶段练习）某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为，那么他罚球一次的得分的方差为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·高一课时练习）设一随机试验的结果只有和，且，令随机变量，则的方差（ ）
A． B． C． D．
【题型6 均值与方差的综合应用】
【方法点拨】
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型以及可能用到的事件类型和公式.
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值、方差.
(3)对照实际意义，回答概率、均值、方差等所表示的结论.
【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【变式6-2】（2023·北京·高三专题练习）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
(3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知投资甲 乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲 乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲 乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
(2)若在甲 乙两个项目总共投资100万元，求在甲 乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
