专题7.6 离散型随机变量的数字特征（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春·江苏常州·高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值是上的一个数
B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
C．若离散型随机变量的均值，则
D．离散型随机变量的均值
【解题思路】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；
结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；
由离散型随机变量的均值为即可得D选项.
【解答过程】对于，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在上，
故错误，
对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，
故B正确，
对于C，离散型随机变量的均值，
则，
故C错误，
对于D，离散型随机变量的均值，
故D错误．
故选：B．
2．（3分）（2022春·黑龙江绥化·高二期末）设的分布列如表所示，又设，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【解题思路】根据分布列求出，再根据期望的性质计算可得.
【解答过程】解：依题意可得，
所以．
故选：D．
3．（3分）（2023秋·河南焦作·高二期末）设随机变量，满足：，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】二项分布与次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出，再利用方差的性质求解即可．
【解答过程】解：因为，则，
又，所以．
故选：A．
4．（3分）（2023·广东广州·统考二模）已知随机变量的分布列如下：
1 2
若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据期望公式及概率和为1列方程求解.
【解答过程】由已知得，
解得，
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4 a
则下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算可判断B,C,D.
【解答过程】因为，解得，故A错误；
由分布列知，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
6．（3分）（2022秋·浙江宁波·高二期中）设，随机变量X的分布列是：
X -1 1 2
P
则当最大时的a的值是A． B． C． D．
【解题思路】先求得，，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式，
可得，
又由
可得，
因为，所以当最大时的的值为.
故选：D.
7．（3分）（2023秋·上海·高二期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（ ）
A．减小，增大 B．减小，减小
C．增大，增大 D．增大，减小
【解题思路】利用数学期望和方差的性质直接求解.
【解答过程】由题意可得：，，
所以.
所以当在内增大时，增大.
；.
所以.
所以当在内增大时，增大.
故选：C.
8．（3分）（2022秋·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解.
【解答过程】解：因为随机变量满足：
所以当或时，；
当或时，；
当或时，；
所以X，Y的分布列为：
X 2 3
P
Y 2 3
P
所以，
，
所以，
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·山西吕梁·高二期中）已知随机变量满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据平均数和方差的知识求得正确答案.
【解答过程】依题意，，，
所以，
.
故选：BC.
10．（4分）（2022春·黑龙江七台河·高二期中）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差.
【解答过程】因为随机变量服从两点分布，且，所以，
，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：ABC.
11．（4分）（2022·高二课时练习）设，随机变量的分布列如表所示，随机变量，则当在上增大时，下列关于、的表述正确的是（ ）
A．增大
B．先减小后增大
C．先增大后减小
D．增大
【解题思路】根据分布列的性质求，再由期望和方差公式求，再由期望和方差的性质求，再根据函数的性质确定，的单调性.
【解答过程】∵，∴，
∴，
故，
所以
又∵，
∴，
所以当在上增大时，增大，
，
函数在上单调递增，
∴当在上增大时， 增大，
故选：AD．
12．（4分）（2022春·广东潮州·高二期中）2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ）
A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则
B．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
【解题思路】理解题意，利用超几何分布，求概率，求期望，求方差即可.
【解答过程】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有（种），其中恰有1名女志愿者的情况有（种），故，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
所以，故C错误.
对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
则，
，
则，故D正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
【解题思路】先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
【解答过程】，
故答案为：.
14．（4分）（2023·全国·高三对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 5 .
X －1 0 1
P a b
【解题思路】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．
【解答过程】依题意可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：5.
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则
0 .
【解题思路】按照取出的球的顺序罗列出五种可能取值，针对每一种取值分别求概率即可得出结论.
【解答过程】，
，
，
故.
故答案为：0.
16．（4分）（2022·高二单元测试）已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有个红球与个白球，B盒中有个红球与m个白球，若从A，B两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，m的值为 5 .
【解题思路】写出随机变量的可能取值，求出对应概率，再根据期望和方差公式求出期望与方差，从而可得出答案.
【解答过程】解：的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
P
，
，当且仅当时，等号成立，
所以当取到最大值时，m的值为5.
故答案为：5.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·辽宁抚顺·高二期末）已知随机变量的分布列为
0 1 2
（1）求
（2）若，求；
【解题思路】（1）由分布列求出的值，再根据随机变量期望公式可得答案；
（2）由可得答案.
【解答过程】（1）由分布列得，解得，
；
（2）若，
则.
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
X 0 1 x
P p
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【解题思路】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解；
（2）利用方差的性质求解即可；
（3）利用方差的性质求解即可.
【解答过程】（1）
由题意可知，解得，
又∵，解得．
∴．
（2）
∵，
∴．
（3）
∵，
∴．
19．（8分）（2023春·浙江·高三开学考试）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响．
(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；
(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．
【解题思路】(1)根据二项分布求概率公式计算即可求解；
(2)分别求出甲和乙、丙获得“拉伊卜”的概率，再求出，列出分布列，结合数学期望的求法即可求解.
【解答过程】（1）设三人中射进大门的人数为Y，则，
；
（2）甲获得“拉伊卜”的概率，
乙、丙获得“拉伊卜”的概率
，
，
，
的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
.
20．（8分）（2022秋·上海浦东新·高三阶段练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
方案1：不分类卖出，单价为21元；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价（元 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及方差.
【解题思路】（1）根据题意结合二项分布运算求解；
（2）根据加权平均数求方案二的平均单价，结合题意分析判断；
（3）先根据分层抽样求各层应抽取的样本个数，再结合超几何分布求分布列和方差.
【解答过程】（1）记“从这100个水果中随机抽取1个，这个水果是礼品果”为事件A，则，
从这100个水果中有放回地随机抽取5个，设礼品果的个数为，则，
故恰好有2个水果是礼品果的概率.
（2）方案2：每公斤的单价为（元），
∵，故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.
（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为，即4个精品果，6个非精品果，
由题意可得：的可能取值有：，则有：
,
的分布列如下：
0 1 2 3
P
则，
.
21．（8分）（2022春·湖北·高二期中）某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：
电脑型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
回访客户（人数） 250 400 350
满意度 0.5 0.4 0.6
满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.
（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X，求X的分布列和期望；
（2）用“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差、、的大小关系.
【解题思路】（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.
（2）由题意，，都服从两点分布，由此能求出.
【解答过程】解：（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，
设事件A为“从型号Ⅰ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B为“从型号Ⅱ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，且A，B为独立事件，
根据题意，，，
，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
（2）由题意，，都服从两点分布，
则，
，
，
∴.
22．（8分）（2022春·江苏宿迁·高二期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
【解题思路】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望与方差；
（2）依题意列出所有可能情况，分别求出数学期望，即可判断；
【解答过程】(1)
解：设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”，
事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”，
所以，，，，，
由题意可知，的可能取值为0，2，4，5，7，
则，
，
，
，
，
所以小明第11题和第12题总得分的分布列为：
0 2 4 5 7
所以，
；
(2)依题意该同学答题方案有：
方案题采用策略，12题采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题采用策略，12题采用策略；
设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故，
，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7 10
0.01 0.08 0.12 0.1 0.48 0.21
所以，
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少分，相当于得分均值为3分，
因为，
方案的期望值一定小于，故不选方案，
设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，
故，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7
0.02 0.12 0.16 0.14 0.56
所以，
方案的期望值也小于，故不选方案；
所以我建议该同学按照方案题和12题均采用策略．专题7.6 离散型随机变量的数字特征（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春·江苏常州·高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值是上的一个数
B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
C．若离散型随机变量的均值，则
D．离散型随机变量的均值
2．（3分）（2022春·黑龙江绥化·高二期末）设的分布列如表所示，又设，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
3．（3分）（2023秋·河南焦作·高二期末）设随机变量，满足：，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（3分）（2023·广东广州·统考二模）已知随机变量的分布列如下：
1 2
若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4 a
则下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022秋·浙江宁波·高二期中）设，随机变量X的分布列是：
X -1 1 2
P
则当最大时的a的值是A． B． C． D．
7．（3分）（2023秋·上海·高二期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（ ）
A．减小，增大 B．减小，减小
C．增大，增大 D．增大，减小
8．（3分）（2022秋·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·山西吕梁·高二期中）已知随机变量满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022春·黑龙江七台河·高二期中）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）（2022·高二课时练习）设，随机变量的分布列如表所示，随机变量，则当在上增大时，下列关于、的表述正确的是（ ）
A．增大
B．先减小后增大
C．先增大后减小
D．增大
12．（4分）（2022春·广东潮州·高二期中）2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ）
A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则
B．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
14．（4分）（2023·全国·高三对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 .
X －1 0 1
P a b
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则
.
16．（4分）（2022·高二单元测试）已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有个红球与个白球，B盒中有个红球与m个白球，若从A，B两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，m的值为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·辽宁抚顺·高二期末）已知随机变量的分布列为
0 1 2
（1）求
（2）若，求；
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
X 0 1 x
P p
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
19．（8分）（2023春·浙江·高三开学考试）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响．
(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；
(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．
20．（8分）（2022秋·上海浦东新·高三阶段练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
方案1：不分类卖出，单价为21元；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价（元 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及方差.
21．（8分）（2022春·湖北·高二期中）某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：
电脑型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
回访客户（人数） 250 400 350
满意度 0.5 0.4 0.6
满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.
（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X，求X的分布列和期望；
（2）用“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差、、的大小关系.
22．（8分）（2022春·江苏宿迁·高二期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
