2023 学年度第一学期期末高一数学试卷
时间 90分钟 满分 100分
一、填空题（本大题共有 10 小题，满分 40 分，每题 4 分）考生应在答题纸相应
位置填写结果．
1. 若全集U = N， A = x | x 2, x N ，则用列举法表示集合 A = ．
2. 2024 角的终边在第 象限.
3. 在平面直角坐标系 xOy中，已知角 的始边是 x轴的非负半轴，终边经过点 P (1,2)，则
tan = .
4. 已知 lg 2 = a， lg3 = b，则用 a、b表示 lg18 = .
5. 若 x R ， | x +1| + | x 3 |的最小值是 ．
6. 已知函数 y = f (x)的表达式为 f (x) = x 4log3 x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点
的近似值，第一次计算 f (1)、 f (3)的值，第二次计算 f ( x1 )的值，第三次计算 f (x2 )的值，
则 x2 = ．
2 m
7. 已知函数 f (x) = (m + 5m + 7) x (x 0) 是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则
m = ．
8. 不等式 (a 2)x2 + 4(a 2)x 12 0的解集为R ，则实数a的取值范围是 .
a
8 x , x 7
9. 若 f (x) = 在 ( ,+ )上是严格增函数，则实数a的取值范围
(2 a) x 8, x 7
是 ．
m
10. 给机器人输入一个指令 (m, 2 + 48)（其中常数m 0）后，该机器人在坐标平面上先面
向 x轴正方向行走m个单位距离，接着原地逆时针旋转90 后再面向 y 轴正方向行走2m + 48
x 6
个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足 ，若开始时机
y R
器人在函数 f (x) = 2x 图象上的点 P 处面向 x轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区
域内的一点Q处，且点Q恰好也在函数 y = f (x)图象上，则m = .
1
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分，每题 3 分）每题有且只有一个正确
答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
11. 如果a b 0，那么下列式子中一定成立的是（ ）
1 1 a
A． B．a2 b2 C． 1 D．a2 ab
a b b
12. 利用反证法证明“若a +b 0，则 a,b至少有一个小于 0”时，假设应为（ ）
A． a,b都小于 0 B．a,b都不小于 0
C．a,b至少有一个不小于 0 D．a,b至多有一个小于 0
1 1
13. 已知a 0,b 0，则“2023a + 2024b+ + = 4”是
2023a 2024b
1 1
“ (2023a + 2024b)( + ) = 4”的（ ）
2023a 2024b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14. 中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”，太极图是由黑白两个鱼形纹组
成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义图象能够将圆O（O
为坐标原点）的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下
列命题：
①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；
2
②函数 f (x) = ln ( x +1 x)可以是某个圆O的“太极函数”；
2
③函数 f (x) = x 3 可以同时是无数个圆O的“太极函数”；
④函数 y = f (x)是“太极函数”的充要条件为 y = f (x)的图象是中心对称图形．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．①③ D．①④
2
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 48 分）解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内写出必要的步骤．
15.(本题满分 6 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 2 分,第 2 小题满分 4 分．
x 3
设全集为R ，集合 A = x 0 ，集合B = x x a 2
x + 2
(1)若a = 2，求集合 A B；
(2)若B A，求实数 a的取值范围．
16.(本题满分 6 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分．
(1)已知关于 x的不等式 ax2 5x +b 0的解集是 x 2 x 3 ，求 a,b的值；
(2)解关于 x的不等式 (x c)(x 6) 0(c R) .
17.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 2 分,第 2 小题满分 8 分．
在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为 250 万元，每产出 x吨需另外
ax2 + 49x, x (0,50]
投入可变成本 h (x)万元，已知 h (x) = 13635 ．通过市场分析，该中
51x + 860, x (50,100]
2x +1
药材可以每吨 50 万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为 y 万元，当基地产出
该中药材 40 吨时，年利润为 190 万元．
（1）求a的值；
（2）求年利润 y 的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．
3
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
18.(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题
满分 5 分．
a 2x 1
已知奇函数 f (x) = 的定义域为[ a 2,b] .
2x +1
(1)求实数a,b的值；
(2)判断函数 f (x)的单调性，并用定义证明；
(3)存在 x [1,2]，使得2+mf (x)+ 2x 0成立，求实数m的取值范围．
19.(本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满
6 分.
若函数 f (x)的定义域为R ，且对 x1, x2 R，都有 f (x1 + x2 ) f (x1 ) f (x2 )，则称 f (x)为
“ J 形函数”
(1)当 f (x) = x +1时，判断 f (x)是否为“ J 形函数”，并说明理由；
f (x) = x2(2)当 + 2时，证明： f (x)是“ J 形函数”；
(3)如果函数 f (x) = 2x + a 为“ J 形函数”，求实数a的取值范围.
4
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}2023 学年度第一学期期中高一数学试卷答案
1． 0,1,2
2．三
3．2
4． a + 2b
5． 4
3
6．
2
7． 3
8． ( 1,2
3
9． 0,
4
因为函数 f (x)在 ( ,+ )上是严格增函数，
0 a 1
3
则 2 a 0 ，解得0 a
a8 7
4
(2 a) 7 8
3
所以实数 a的取值范围是 0,
4
3
故答案为: 0,
4
10．3
x x m
由题意设 P (x0 , 2 0 )，则一次操作后该机器人落点为Q (x 00 +m, 2 + 2 + 48)，
即Q ( xx +m, 2 0 +m )在安全区域内，所以 x +m 6且 x0 m x0+m0 0 2 + 2 + 48 = 2 .
由 x0 +m 6，可知
x
2 0 26 m，
x
所以 2 0 ( m ) m 6 m ( m ) m 6 m m 642 1 = 2 + 48 2 2 1 ，即2 + 2 = 2 + 26 48 =16能成立.
2m
64 64 m 64
又因为 2m + 2 2m =16，且等号当且仅当 2 = ，即m = 3时成立，
m m 2m2 2
综上，m = 3 .
故答案为：3
5
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
11．D
12．B
13．A
1 1 1
结合题意可知,2023a + 2 2023a = 2 ,2024b + 2
2023a 2023a 2024b
1 1 1 1
而 2023a + 2024b+ + = 4 ,得到2023a = , 2024b =
2023a 2024b 2023a 2024b
1 1
解得 2023a = = 2024b = =1,故可以推出结论,
2023a 2024b
1 1
而当 (2023a + 2024b) + = 4 得到
2023a 2024b
1 1 1 1
2023a + 2024b + + 2 (2023a + 2024b) + = 4 ,故由结
2023a 2024b 2023a 2024b
论推不出条件,故为充分不必要条件.
14．A
①过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，
所以对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，①正确.
② x2 +1 x2
2
= x x ，所以 f (x) = ln ( x +1 x)的定义域为R ，
( x2 +1+ x)( x2 +1 x)
f ( x) = ln ( x2 +1+ x) = ln
x2 +1 x
1
= ln = ln ( x2 +1 x) = f (x)，所以 f (x)是定义在R 上的奇函数，
x2 +1 x
图象关于原点对称，
( x2 +1 x)( x2 +1+ x) 1
f (x) = ln ( x2 +1 x) = ln = ln ，
x2 +1+ x x2 +1+ x
2
所以 f (x) = ln ( x +1 x)在R 上递减，画出大致图象如下图所示，
2
由图可知， f (x) = ln ( x +1 x)是太极函数，②正确.
6
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
2
③函数 f (x) = x 3 = 3 x2 ， f (x)的定义域为R ，
2
f ( x) = 3 ( x) = 3 x2 = f (x)，所以 f (x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，
2
所以函数 f (x) = x 3 = 3 x2 不是某个圆的太极函数.
1 1
④ y = f (x) = 是奇函数，图象关于原点对称，但 y = f (x) = 不是太极函数，
x x
如图所示，所以④错误.
所以正确的为①②.
15．(1) A = x 2 x 3 ，B = x 0 x 4 ， A B = x 0 x 3
(2) a 0 a 1
2x 1 2x 1 x + 2
（1）因为 1，所以 0，
x + 2 x + 2 x + 2
x 3
所以 0，解得 2 x 3，所以 A = x 2 x 3 ，
x + 2
又因为 a = 2，所以 x 2 2，所以 0 x 4，所以B = x 0 x 4 ，
所以 A B = x 0 x 3 ；
7
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
（2）因为 x a 2，所以a 2 x a + 2，所以B = x a 2 x a + 2 ，
又因为 B A，且a + 2 a 2即B ，
a 2 2
所以 ，所以0 a 1，
a + 2 3
所以实数 a的取值范围是 a 0 a 1 .
16．（1）由题意得 ax2 5x +b = 0的两个根为 x1 = 2， x2 = 3，
5 b
x1 + x2 = = 5， x1x2 = = 6，
a a
a =1，b = 6 ；
（2） (x c)(x 6) 0，
2
①当 c = 6时，由 (x 6) 0，得 x 6，所以不等式的解集为 ( ,6) (6,+ )；
②当 c 6时，由 (x c)(x 6) 0，得 x c或 x 6，所以不等式的解集为 ( ,c) (6,+ )；
③当 c 6时，由 (x c)(x 6) 0，得 x 6或 x c，所以不等式的解集为 ( ,6) (c,+ )；
综上所述，
当 c = 6 时，不等式解集为： ( ,6) (6,+ )；
当 c 6时，不等式解集为： ( ,c) (6,+ )；
当 c 6时，不等式解集为： ( ,6) (c,+ ) .
1
17．（1）a = ；（2）当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.4万元．
4
（1）由题意，当基地产出该中药材 40 吨时，年成本为1600a + 49 40+ 250万元，
1
利润为50 40 (1600a + 49 40+ 250) =190，解得 a = .
4
1 1
（2）当 x (0,50]时，利润为 y = 50x x
2 + 49x + 250 = x
2 + x 250，
4 4
因为对称轴 x = 2 0，在 (0,50]上为增函数，
所以当 x = 50时， ymax = 425万元；
13635 13635
当 x (50,100]时， y = 50x 51x + 860+ 250 = 610 x + ，
2x +1 2x +1
2x +1 13635 13635
= 610.5 + 610.5 2 445.4
2 2x +1 2
8
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
2x +1 13635 13635 2 1
当且仅当 = ，即 x = 82.1时取等号；
2 2x +1 2
所以当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为 445.4万元．
18．(1)a =1，b = 3；
(2)单调递增，证明见解析；
(3) m ( 12，+ ) .
a 2x 1 ( ) ( ) a 2
x 1 a 2x 1
（1）因为函数 f (x) = 是奇函数，所以 f x = f x ，即 = ，
2x +1 2 x +1 2x +1
x
则 a 2 x = a 2x 1，整理可得 (2 +1)(a 1) = 0 ，所以a =1，
又因为定义域 a 2,b 关于原点对称，所以 a 2+b = 0，即b = 3，
所以 a =1,b = 3 ;
2x 1
（2） f (x) = 在 3,3 上单调递增，
2x +1
设任意 x1, x2 3,3 ，且 x1 x2 ,
x x ( x1 x22 1 1 2 2 1 2 2 2 )
则 f (x1 ) f (x2 ) = =x1 x , 2 +1 2 2 +1 ( x x2 1 +1)(2 2 +1)
因为 3 x1 x2 3，所以2
x1 2x2 0，
又 x2 1 x+1 0， 2 2 +1 0，
所以 f (x1 ) f (x2 ) 0，即 f (x1 ) f (x2 )，
2x 1
所以 f (x) = 在 3,3 上单调递增；
2x +1
x
（3）因为 x 2 11,2 ，所以 f (x) = 0，
2x +1
由存在 x 1,2 ，使得 2+mf (x)+ 2x 0成立，
(2x + 2)(2x +1)
则 m ，存在 x 1,2 时成立，
2x 1
令 2x 1= t ， t 1,3 ，
(t + 3)(t + 2) t 2 + 5t + 6 6
则 m = = t + + 5，存在 t 1,3 时成立，
t t t
6
构造函数 h (t ) = t + + 5, t 1,3 ，
t
9
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
故 m h (t ) ，
max
6 6 6
而 t + + 5 2 t + 5 = 2 6 + 5，当且仅当 t = ，即 t = 6取等号，
t t t
6
对于 h (t ) = t + + 5, t 1, 6 单调递减，在 t
6，3
单调递增， t
所以 h (1) =12， h (3) =10 ,
所以 h (t ) =12 ,
max
∴ m 12
故m的取值范围为 ( 12,+ ) .
19．(1)否；
(2)证明见解析；
(3)a 1或 a = 0 .
（1）解： f (x)不是“J 形函数”，理由如下：
当 f (x) = x +1时，有 f (x1 ) = x1 +1， f (x2 ) = x2 +1， f (x1 + x2 ) = x1 + x2 +1，
则 f (x1 + x2 ) f (x1 ) f (x2 ) = x1 + x2 +1 (x1 +1)(x2 +1) = x1x2 .
因为 x1, x2 R ，所以 x1x2 与 0 的关系不确定，
不能得出 f (x1 + x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 0，所以 f (x)不是“J 形函数”.
（2）证明：当 f (x) = x2 + 2时，有 f (x1 ) = x
2
1 + 2， f (x2 ) = x
2
2 + 2，
2
f (x + x ) = (x + x ) + 2 = x2 21 2 1 2 1 + x2 + 2x1x2 + 2，
则 f (x1 ) f (x2 ) = (x21 + 2)(x22 + 2) = x2x21 2 + 2x21 + 2x22 + 4，
所以 f (x1 + x2 ) f (
2
x1 ) f (x ) = 2x x x
2x2 x2 x2 2 = (x x ) x2x22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2，
显然有 f (x1 + x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 2 0对 x1, x2 R恒成立，
所以有 f (x1 + x2 ) f (x1 ) f (x2 )对 x1, x2 R恒成立，
所以 f (x)是“J 形函数”.
（3）解：由已知可得 f (x1 ) = 2
x1 + a ， f (x ) = 2x22 + a ， f (x1 + x2 ) = 2
x1+x2 + a ，
10
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
所以 f (x ) f (x ) = 2x x +x1 + a 2x2 + a = 2 1 2 + a (2x1 + 2x2 )+ a2 . 1 2
因为函数 f (x) = 2x + a 为“J 形函数”，
所以有 2x1+x2 + a 2x1+x2 + a (2x1 + 2x2 )+ a2 ，
0 2x1+x2 + a 2x1+x2 + a (2x1 + 2x2 )+ a2即 .
由 2x1+x2 + a 0，可得 a 0；
由 2
x1+x2 + a 2x1+x2 + a (2x1 + 2x2 )+ a2可得， a a (2x1 + 2x2 )+ a2 .
当 a = 0时，该式恒成立，满足；
x x
当 a 0时，有 a 1 (2 1 + 2 2 )恒成立.
因为 x x2 1 + 2 2 0，所以a 1 .
综上可得，a 1或a = 0 .
11
{#{QQABKYSEoggoAAAAARgCQQWqCAGQkAACAKoOxBAMMAAAAAFABCA=}#}
