重庆市第七中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题
答案及解析
一．选择题（共8小题）
1．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是
A．4 B．12 C．4或12 D．不确定
【解答】解：由双曲线的方程可得，，可得，所以，可得，
当在左支上时，设右焦点为，左焦点，则，而显然符合，
所以当在左支上时，由双曲线的定义可得：；
当在右支上时，，故选：．
2．已知，，，，4，，，5，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为
A． B．9 C． D．0
【解答】解：，，三向量不能构成空间的一个基底，
此三个向量共面，存在实数，，使得，
，5，，，，4，，，，，
解得．故选：．
3．已知数列为等差数列，为等比数列的前项和，且，，，，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意设等差数列的公差为，由，得，
解得，则；所以，，
设等比数列的公比为，则，则．
故选：．
4．数学家欧拉在（三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：由于的顶点分别为，，，
所以重心的坐标满足：，，故；
由已知得：直线的斜率为，则直线上的高所在的直线的斜率，
则直线上的高满足的方程为；
直线的斜率为，则直线上的高所在的直线的斜率，
则直线上的高所满足的方程为；
联立方程，解得，即，
则直线的斜率为，则直线的方程满足，整理得．故选：．
5．已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为
A．3 B． C． D．2
【解答】解：圆的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是2，
的最小值是切线长），圆心到直线的距离就是的最小值，，故选：．
6．已知数列的前项和为，，，且，则
A． B． C．4039 D．4040
【解答】解：，，且，，
令，又，数列是首项为4，公比为的等比数列，
，又，，
故选：．
7．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：过作于，设直线与交点为，由抛物线的性质可知，，，设，，则，即，．又，
，，，
又，，可得，
直角梯形的面积为，解得．
准线的方程为，故选：．
8．已知等差数列满足，，数列满足，记的前项和为，若对于任意的，，，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．，， B．，， C．，， D．，
【解答】解：由等差数列的性质知，则，
又，则等差数列的公差，．
由，得，
，
则不等式恒成立等价于恒成立，而，
问题等价于对任意的，，，恒成立．
设（a），，，
则，即，解得：或．故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于、两点，则面积的最大值为
【解答】解：对于：由于圆的方程为：，转换为标准式为，则圆关于轴对称的圆的方程为，即，故正确；
对于：反射光线平分圆的周长，故该反射光线经过圆心，故入射光线的斜率，所以入射光线的方程为，整理得，故正确；
对于：由于反射光线经过点的关于轴的对称点，则，
如图所示：
所以，所以，故错误；
对于：设，，则圆心到直线的距离；
，
所以，当时，面积的最大值为，故正确．
故选：．
10．已知数列的前项和是，则下列结论正确的是
A．若数列为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列为等差数列，则数列为等差数列
C．若数列和均为等差数列，则
D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列
【解答】解：对于，若数列为等差数列，可得，
但是首项的值不确定，所以数列不一定为等差数列，故选项错误；
对于，若数列为等差数列，设公差为，
则，可得，
当时，，当时，，
则，由，，则，
所以，故数列为等差数列，故选项正确；
对于，由数列为等差数列，则，则，
所以，则为常数，
则，所以，故，所以，又，
所以，故选项正确；
对于，由数列为等差数列，可得，则，
所以，
因为为等差数列，所以为常数，则，
所以，则数列是常数数列，故选项正确．故选：．
11．如图，已知在长方体中，，，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于，则下列说法正确的是
A．三棱锥的体积为20
B．直线与平面所成角正弦值的最大值为
C．存在唯一的点，使得平面，且
D．存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
【解答】解：过点作垂线，垂足为，则，
三棱锥的体积为，则选项错误；
当点与点重合时，此时直线与平面所成角正弦值的最大，且最大值为，则选项正确；
由可知与点重合，又因为，易知与不垂直，故与不垂直，与平面不垂直，则选项错误；四边形的周长为，周长取得最小值即最小，
将平面与平面放在同一平面内，可知最小值为：，
截面四边形的周长取得最小值，则选项正确；故选：．
12．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是
A．在抛物线的准线上 B．
C． D．面积的最小值为4
【解答】解：．抛物线的焦点为，准线为．
设直线的方程为，，，，，，，
联立方程组，则，△，，．
，，直线的方程为，直线的方程为，
，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，即，故正确．
．，
，，故错误．
．，，，，故正确．
．设的中点为，则
，
当且仅当时，等号成立，
面积的最小值为4，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．已知向量，2，，则向量的单位向量 ．
【解答】解：，，
向量的单位向量．故答案为：．
14．圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 ，或 ．
【解答】解：设所求圆的方程为，因为圆心在直线上，所以，①
又因为圆与轴相切，所以，②因为圆被直线截得的弦长为，
所以③，由①②③解得，，或，，，
所以圆的方程为，或．
故答案为：，或．
15．若等比数列的各项均为正数，且，则 25 ．
【解答】解：由数列为等比数列，得，
又，，
，故答案为：25．
16．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“双球” ；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为3和1，球心距离，截面分别与球，球切于点，，，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．
【解答】解：如图，圆锥面与其内切球、分别相切与，，
连接，，则，，过作于，
连接，，交于点．
设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为．
在△中，，．
．，，△△，
，解得．．
则椭圆的离心率．故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
（1）求直线的方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
【解答】解：（1）由题意知，解得，
直线和的交点为；
设直线的斜率为，与直线垂直，；
直线的方程为，化为一般形式为；
（2）设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为，
由垂径定理得，解得，圆的标准方程为．
18．已知数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解答】解：（1），，，
、，，又，
则当时，，
又当时，，故，；
由（1）得，，
，
则数列的前项和为．
19．如图，在平面四边形中，，，且，以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，不重合）．
（1）求证：；
（2）若平面平面，点为的重心，平面，且直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）取中点，连接，，
因为，，所以，，故，，因为，，平面，
所以平面．因为平面，所以；
（2）连接，由于，则，
因为点为的重心，
所以点必在直线上，
过点作交于点，则，
因为平面，，平面，
所以，，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，且，
所以，，
因为平面平面，由（1）知：为平面与平面的二面角，所以，
由（1）知：，因为，
所以平面，则即为直线与平面所成角，
故，则，
由勾股定理可得：，
即△为等边三角形，所以，，
所以，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，
令得：，，所以，同理可得平面的法向量为，
则，设平面的夹角为，显然为锐角，
则．
20．已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求；
（3）记，若数列中求去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值．
【解答】解：（1）已知数列的前项和为，，
由，当时，，解得，
当时，，两式作差得，
即，，
所以数列为等比数列，公比为2，
所以，
所以数列的通项公式；
（2），
由，得，
所以
；
（3）记，若数列中求去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，
则，
因为，，，，，，，
所以
．
21．如图1，在边长为2的菱形中，，点，分别是边，上的点，且，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
（1）在翻折过程中是否总有平面？证明你的结论；
（2）若平面平面，记，，试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：在翻折过程中总有平面，
点，分别是边，上的点，且，
又，是等边三角形，
是的中点，，
菱形的对角线互相垂直，
，，
，平面，平面，
平面，平面．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
边长为2的菱形中，，
，又，，
，，，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，，
又平面的一个法向量为，，
设二面角的平面角为，且由图可知，为钝角，则，
即随着值的变化，二面角的大小不变，其余弦值为．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点．
（1）当垂直于轴时，求直线的方程；
（2）记△与△的面积分别为、，求的最大值．
【解答】解：（1）由椭圆的方程可得，，可得，
可得，，可得，，当垂直于轴时，则的纵坐标为，
所以，，，
，直线的方程为：，
联立，解得或，则，，，
直线的方程为，即；
（3）设，，，，，，，设直线的方程为，其中，
联立，消去并整理可得，，
由韦达定理可得，
又，则，
，
同理可得，
，
令，，，
则，当且仅当时等号成立，
的最大值为．重庆市第七中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题
一．选择题（共8小题）
1．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是
A．4 B．12 C．4或12 D．不确定
2．已知，，，，4，，，5，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为
A． B．9 C． D．0
3．已知数列为等差数列，为等比数列的前项和，且，，，，则
A． B． C． D．
4．数学家欧拉在（三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为
A． B． C． D．
5．已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为
A．3 B． C． D．2
6．已知数列的前项和为，，，且，则
A． B． C．4039 D．4040
7．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为
A． B． C． D．
8．已知等差数列满足，，数列满足，记的前项和为，若对于任意的，，，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．，， B．，，
C．，， D．，
二．多选题（共4小题）
9．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于、两点，则面积的最大值为
10．已知数列的前项和是，则下列结论正确的是
A．若数列为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列为等差数列，则数列为等差数列
C．若数列和均为等差数列，则
D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列
11．如图，已知在长方体中，，，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于，则下列说法正确的是
A．三棱锥的体积为20
B．直线与平面所成角正弦值的最大值为
C．存在唯一的点，使得平面，且
D．存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
12．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是
A．在抛物线的准线上 B．
C． D．面积的最小值为4
三．填空题（共4小题）
13．已知向量，2，，则向量的单位向量 ．
14．圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 ．
15．若等比数列的各项均为正数，且，则 ．
16．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“双球” ；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为3和1，球心距离，截面分别与球，球切于点，，，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
（1）求直线的方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
18．已知数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．如图，在平面四边形中，，，且，以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，不重合）．
（1）求证：；
（2）若平面平面，点为的重心，平面，且直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
20．已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求；
（3）记，若数列中求去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值．
21．如图1，在边长为2的菱形中，，点，分别是边，上的点，且，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
（1）在翻折过程中是否总有平面？证明你的结论；
（2）若平面平面，记，，试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的余弦值．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点．
（1）当垂直于轴时，求直线的方程；
（2）记△与△的面积分别为、，求的最大值．
