泸县四中高2023级高一上期期末考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题：，，则它的否定为
A．， B．，
C．， D．，
2．设集合，若，则集合
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象过，则下列求解正确的是
A． B． C． D．
4．不等式的解集是
A．或 B．
C．或 D．
5．已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则
A． B． C． D．
6．若且，则的最小值是
A．6 B．12 C．24 D．16
7．中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则
A．50 B．2 C．0 D．-50
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知集合，，若，则实数的值可以是
A．1 B． C． D．3
10．关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有
A． B．
C． D．
11．将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的是
A． B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心 D．在上单调递减
12．定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．的值域为 D．的实数根个数为6
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的面积为 ．
14．函数的值域为 ．
15．已知函数满足，当时，函数，则 ．
16．已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
求值：
(1)；
(2).
18．（12分）
已知.
(1)求；
(2)求的值.
19．（12分）
已知集合A＝， ．
(1)当m＝1时，求AB，(A)B；
(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
① 函数的定义域为集合B；② 不等式的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）
定义在上的函数，满足，，当时，
(1)求的值；
(2)证明在上单调递减；
(3)解关于的不等式.
21．（12分）
已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,（单位：cm），且要求 ，部件的面积是．
（1）求y关于x的函数表达式，并求定义域；
（2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．
22．（12分）
设函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明函数在上是增函数；
(3)若是否存在常数，，使函数在上的值域为，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．泸县四中高2023级高一上期期末考试
数学试题参考答案
1．D 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．B
9．ABD 10．AB 11．BD 12．BC
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）.
（2）
18．解：（1），，
解得；
（2）
.
19．解：（1）选条件①：
（1）当时，，
选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；
（2）若，则
当时，，解得
当时，，即，解得
综上，实数m的取值范围为
20．解：（1）当时，，则.
（2）取任意且，则，则
所以.
又因为时，所以，
所以在上单调递减.
（3）因为，又，故，
.
不等式可化为，
即，
因为是上的减函数，故，解得，故不等式的解集为.
21．解：（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式，
可得，整理得，
又由，解得，即函数的定义域为，
即，．
（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，
过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，
所以=，
因为x2＞0，由基本不等式，可得，
当且仅当，即时，取等号，
所以圆形铁片的最小面积为（cm2），
答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）．
22．解：（1）由题意，∵，∴函数是偶函数；
（2）令，设，且，
，
∵，∴，∴，，
∴，∴在上单调递增，
又∵在上单增，
∴在上是增函数；
（3）由第（2）问可得在上是增函数，
∴，∴，
即是方程的两根，
∴，
当时，令，则，
若方程有两个大于零的不等实数根，
即方程存在两个大于1的不等实根，
∵，，
方程是有一个大于0和一个小于0的实根，
∴方程不存在两个大于1的不等实根，
∴不存在常数m，n满足条件．
