2024年四川省成都市九年级中考数学B卷专项强化训练十三 （含答案解析）

2024成都中考B卷专项强化训练十三
班级：________　姓名：________　得分：________
(满分：50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19. 若＝2.236，则＝________．(精确到0.01)
20. 已知关于x的方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是________．
21. 现有4张卡片，正面分别书写的是“冰化成水”“酒精燃烧”“铁棒成针”“牛奶变酸”四种不同的变化，它们除卡片上的字不同之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是________．
22. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下的定义：若⊙O上存在两点A，B，使得∠APB＝90°，则称点P为⊙O的“关联点”．已知点D(，)，E(0，－)，F(2，0)．当⊙O的半径为1时，在点D，E，F中，⊙O的“关联点”是________．
23. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，动点E从点B出发沿BA以1个单位/秒的速度向点A运动，同时，动点F从点B出发，以相同的速度沿AB的延长线运动，当点E到达点A时，它们同时停止运动，CE与DF交于点G.设点E的运动时间为t秒，则当t＝________秒时，DG＝DC；当点E运动到点A时，点G运动路径长为________．
第23题图
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24. (本小题满分8分)如图①，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x≥0)．
(1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在水池外？
(2)如图②，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为Rt△BCD ，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1 m，∠CBD＝90°，灯孔P在CD边上，灯孔P离地面的距离为 m．若水流恰好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值．
图①
图②
第24题图
25. (本小题满分10分)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝α°，AB＝AC，AD＝AE，连接BE.点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点．　
(1)当α＝120时：
①观察猜想：图①中，点D，E分别在边AB，AC上，线段NM，NP的数量关系是________，∠MNP的大小为________；
②探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图②所示的位置，连接MP，BD，CE，求证：∠ABD＝∠ACE；
③在②的条件下，如图②，求证：△MPN是等边三角形；
(2)拓展延伸：当α＝90时，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图③，请求出△MNP面积的最大值．
图①
图②
图③
第25题图
26. (本小题满分12分)如图，Rt△ABO的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若点F与点D关于y轴对称，过点F作直线GF交抛物线于点H，M.点H在点M左侧，连接GD，DM，HD.设直线GF的表达式为y＝kx＋b，是否存在实数k，使得△GHD与△DGM相似？若存在，请求出k值以及△DHM的面积；若不存在，请说明理由．
第26题图
参考答案与解析
19. 4.47　【解析】＝＝2，∵＝2.236，∴＝2＝2×2.236＝4.472≈4.47.
20. －1　【解析】∵关于x的方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且k≠0，即Δ＝(－2)2－4k＞0且k≠0，∴k＜1且k≠0，∴k的最大整数值为－1.
21. 　【解析】把4张卡片“冰化成水”“酒精燃烧”“铁棒成针”“牛奶变酸”依次记为A，B，C，D，其中物理变化为A，C，画树状图如解图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果有2种，即AC，CA，∴从中随机抽取两张，两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是＝.
第21题解图
22. 点D，E　【解析】如解图，过点E作⊙O的切线，设切点为R，∵⊙O的半径为1，∴RO＝1.∵EO＝，∴∠OER＝45°，根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于45°，∴点E是⊙O的“关联点”．∵D(，)，E(0，－)，F(2，0)，∴OF＞EO，在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于90°，∴点F不是⊙O的“关联点”．∵DO＜EO，在⊙O上能找到两点与点D的连线的夹角等于90°，∴点D一定是⊙O的“关联点”，∴在点D，E，F中，⊙O的“关联点”是点D，E.
第22题解图
23. ；　【解析】当DG＝DC时，如解图①，过点D作DH⊥AF，交FA的延长线于点H，由题意可得BE＝BF＝t.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△EFG∽△CDG，∴＝，∴＝，∴FG＝2t.在Rt△ADH中，∵∠DAH＝∠ABC＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD＝2，DH＝2.在Rt△FDH中，由勾股定理得DH2＋HF2＝DF2，即(2)2＋(6＋t)2＝(4＋2t)2，解得t＝或t＝－4(舍去)，∴当t＝时，DG＝DC；如解图①，连接BG并延长交CD于点M，∵AB∥CD，∴＝＝，∴＝，∴CM＝2，∴直线BG始终经过定点M，点G的运动路径为一条线段．由题意可得，当点E到达点A时点G的运动路径长最大，如解图②，过点G作GN⊥AB于点N，连接BG.∵AB∥CD，∴＝＝，∴AG＝AC.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴AG＝.在Rt△AGN中，AN＝AG＝，GN＝，在Rt△BGN中，BN＝AB－AN＝，∴BG＝＝，∴点G运动路径长为.
图①
图②
第23题解图
24. 解：(1)∵当x＝0时，y＝，
∴柱子OA的高度为 m；
在y＝－x2＋2x＋中，当y＝0时，即－x2＋2x＋＝0，
解得x1＝＋1，x2＝1－.
又∵x≥0，
∴x＝＋1，
∴水池的半径至少为(＋1)m时才能使喷出的水流不至于落在水池外；
(2)根据题意，当y＝时，
即－x2＋2x＋＝，
解得x1＝，x2＝－(舍去)，
∴tan ∠DCB＝＝.
25. (1)解：①NM＝NP，60°；
【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE.∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，∴MN是△BED的中位线，PN是△BCE的中位线，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠ENM＋∠ENP＝∠EBA＋∠AEB.∵∠ABE＋∠AEB＝180°－∠BAE＝180°－120°＝60°，∴∠MNP＝60°.
②证明：由旋转的性质得∠BAD＝∠CAE.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD＝∠ACE；
③证明：∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE.
∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，
∴MN是△BED的中位线，PN是△BCE的中位线，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP＋∠BPN＝∠NBP＋∠BCE.
∵∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝∠ACE＋∠ABE，
∴∠MNP＝∠ENM＋∠ENP＝∠ACE＋∠ABE＋∠NBP＋∠BCE＝180°－∠BAC＝180°－120°＝60°，
∴△MPN是等边三角形；
(2)解：如解图，连接BD，由题意得：BD≤AB＋AD，即BD≤16，
同(1)得MN＝BD，MN＝PN，∠MNP＝90°，
∴MN≤8，△MNP是等腰直角三角形，
∴S△MNP＝MN2，
∴当MN＝8时，S△MNP最大，
此时，S△MNP＝MN2＝×82＝32，
∴△MNP面积的最大值为32.
第25题解图
26. 解：(1)∵y＝x2＋bx＋c的顶点在直线x＝上，
∴可设所求抛物线对应的函数表达式为y＝(x－)2＋m.
∵点B(0，4)在该抛物线上，
∴4＝(0－)2＋m，
解得m＝－，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－)2－＝x2－x＋4；
(2)点C和点D在该抛物线上．理由如下：
在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝5.
∵A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(0，4)，
∴C，D两点的坐标分别是(5，4)，(2，0)，
当x＝5时，y＝×52－×5＋4＝4;
当x＝2时，y＝×22－×2＋4＝0，
∴点C和点D在该抛物线上；
(3)存在，k＝.理由如下：
∵D(2，0)，由对称得F(－2，0)，
设直线GF的表达式为y＝kx＋b，
代入点F，得－2k＋b＝0，即b＝2k，
∴G(0，2k)；
当直线与抛物线相交时，设H(x1，y1)，M(x2，y2)，
则H(x1，kx1＋2k)，M(x2，kx2＋2k)，
令x2－x＋4＝kx＋2k，
整理得，2x2－(10＋3k)x＋12－6k＝0，①
∴Δ＝(10＋3k)2－8(12－6k)>0，
解得x<－6－或x>－6.
∵x1，x2是方程①的解，∴由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝6－3k.
当△GHD与△DGM相似时，分两种情况讨论．
①△GHD∽△GMD，则点H，M重合，不符合题意；
②△GHD∽△GDM，则GD2＝GH·GM，
∵G(0，2k)，D(2，0)，H(x1，kx1＋2k)，M(x2，kx2＋2k)，
∴4＋4k2＝·，
整理，得4(1＋k2)＝(1＋k2)x1x2，
∴6－3k＝4，
解得k＝.
当k＝时，方程①可变形为2x2－12x＋8＝0，
解得x1＝3－，x2＝3＋，
∴y2－y1＝k(x2－x1)＝×2＝ ，
∴S△HDM＝S△FDM－S△FDH＝×4×(y2－y1)＝.
即当k＝时，△GHD与△DGM相似．此时△DHM的面积为.