2023-2024学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共16小题，共38分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的开口向( )
A. 左 B. 右 C. 上 D. 下
2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.二次函数的图象与轴的交点坐标为( )
A. B. C. D.
4.体育课上，小明在点处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的，，，四个点处，则表示他最好成绩的点是( )
A.
B.
C.
D.
5.抛物线的对称轴是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.二次函数的图象与坐标轴的交点个数是( )
A. B. C. D.
8.直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是( )
A. B. C. D.
9.下列二次函数图象的顶点坐标是的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，的直径，为上的一点，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
11.在函数的图象上有两点、，则、的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
12.如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )
A. B. C. D.
13.某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上，记，图中阴影部分的面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是( )
A. 二次函数关系 B. 正比例函数关系 C. 反比例函数关系 D. 一次函数关系
14.如图，将边长为的正方形铁丝框面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形面积记为，则与的关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
15.若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是( )
A. B. C. D.
16.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是发动机的实物剖面图，图是其示意图，图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达若，，有以下两个结论：当与相切时，；当时，则判断正确的是( )
A. 对错 B. 错对 C. 均对 D. 均错
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式______．
18.如图，半径为的圆内接正八边形的中心为，连接， ______ ， ______ ．
19.已知二次函数中，函数与自变量之间部分对应值如表所示，根据表中的数据，写出的值为______ ，的值为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
已知抛物线．
求该抛物线与轴的交点的坐标；
该二次函数的图象是否经过点？判断并说明理由．
21.本小题分
如图，在中，，于点，于点求证：．
22.本小题分
已知二次函数，当时，求函数的取值范围．
小胡同学的解答如下：
解：
当时，则；
当时，则；
所以函数的取值范围为．
小胡的解答正确吗？______ 如果正确，请在方框内打“”：如果错误，请在方框内打“”，并写出正确的解答过程．
23.本小题分
如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为、，，求的半径．
24.本小题分
如图，已知抛物线经过点．
求的值；
将该抛物线进行平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方式．
25.本小题分
如图，与相切于点，，．
若的直径为，求的长；
若，求．
26.本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材：图是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间的函数关系式为：、飞行高度单位：随飞行时间单位：的变化满足二次函数关系数据如表所示．
飞行时间
飞行高度
素材：图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知．
问题解决：
任务：确定函数表达式，求关于的函数表达式．
任务：探究飞行距离，当飞机落地高度为时，求飞机飞行的水平距离．
任务：确定弹射口高度，当飞机落到内不包括端点，，求发射台弹射口高度结果为整数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线中，
抛物线开口向上．
故选：．
由抛物线得出，直接判断开口方向即可．
本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】解：，
当时，，
即抛物线与轴的交点坐标为，
故选：．
把代入求出，即可得出答案．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知轴上点的横坐标为是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由点、、、所在扇形区域中的位置可知，
，
故选：．
比较线段、、、的长短即可．
本题考查比较线段的长短，掌握线段长短的比较方法是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
故选：．
由抛物线解析式可求得其对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
6.【答案】
【解析】解：如图，在中，，，则．
故选：．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】
【解析】解：因为判断，图象与轴有一个交点．
当时，，
函数图象与轴有一个交点，
二次函数与坐标轴有个交点．
故选：．
首先用判定图象与轴的交点情况；再判定与轴交点的情况即可解答．
该题考查函数图象与坐标轴的交点关系．
8.【答案】
【解析】解：直线与半径的相交，且点到直线的距离为，
故选：．
根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线与半径的相交，且点到直线的距离，即可得到问题的选项．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．直线和相交
9.【答案】
【解析】解：、函数的顶点坐标为；
B、函数的顶点坐标为；
C、函数的顶点坐标为；
D、函数的顶点坐标为；
故选：．
根据函数解析式的顶点式得到该函数的顶点坐标即可判断．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】
【解析】解：是直径，
，
，，
，
的长为，
故选：．
首先利用直径所对的圆周角是直角确定是直角三角形，然后利用的直角边是斜边的一半求得的长即可．
本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是首先利用圆周角定理得到直角三角形，难度不大．
11.【答案】
【解析】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上，
二次函数的图象上有两点，，
根据二次函数图象的对称性可知，点与点关于对称轴对称，
．
故选：．
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：经过点、、；、、；、、可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为个，
故选：．
根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设为常数，是等腰直角三角形，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
与成二次函数关系．
故选：．
设为常数，根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据三角形和矩形的面积得到结论．
本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，，
，
．
故选：．
分别计算正方形与扇形面积，扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则．
本题考查了扇形面积，熟练运用扇形面积计算公式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点在抛物线上，
，
把代入得和，故点和点不在抛物线上，故A、不合题意；
把代入得，故点不在抛物线上，故B不合题意；
把代入得，故点在抛物线上，符合题意；
故选：．
根据二次函数图象上点的坐标特征，把点代入即可求出，然后将四个选项中的坐标代入中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
16.【答案】
【解析】解：当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达，
，
，
，
，，
，
当与相切时，
，
，
，
对．
当时，
，
，
错．
故选：．
由题意得到，，求出，，当与相切时，得到，由勾股定理求出，得到，当时，由勾股定理求出，即可得到，
本题考查勾股定理，切线的性质，直线与圆的位置关系，关键是由勾股定理求出的长．
17.【答案】答案不唯一
【解析】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是为常数且，
故取时答案为：．
故答案为：答案不唯一．
根据开口向下，可知，再根据经过原点，可知，从而可以写出一个符合要求的二次函数解析式，本题得以解决，注意本题答案不唯一．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18.【答案】
【解析】解：多边形为正八边形，
这个八边形的所有内角相等，
，
如图，连接，，，
则，
而，
．
故答案为：，．
由于多边形是正八边形，所以各个内角相等，然后利用多边形的内角和定理即可求出，然后连接，，求出中心角即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆，同时也利用了圆周角、圆心角等知识点，解题的关键是熟练掌握多边形的性质．
19.【答案】
【解析】解：和时，函数值都是，
抛物线的对称轴为直线，
，
解得：，
．
将代入函数表达式得：
，
解得：，
二次函数的表达式为．
将代入得：
，即．
故答案为：；．
根据表格中的数据，可得出抛物线的对称轴，进而求出，再将点代入可求出，即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能根据表格中的数据得出抛物线的对称轴是解答本题的关键．
20.【答案】解：令，即，
解得，，
该抛物线与轴的交点的坐标，；
不在，理由如下：
当时，，，
二次函数的图象不经过点．
【解析】令，解关于的一元二次方程即可求出该抛物线与轴的交点的坐标；
把代入二次函数计算，若，则点在二次函数图象上，如，则不在．
本题主要考查二次函数的性质以及点与二次函数图象的关系，掌握二次函数解析式的求解方法，能通过计算判断点与二次函数图象的关系是解题的关键．
21.【答案】证明：在中，，
，
是的角平分线，
，，
．
【解析】首先根据等弧所对的圆心角相等得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可．
此题考查了等弧所对的圆心角相等，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22.【答案】
【解析】解：小胡的解答过程不正确．
故答案为：；
正确的解答过程为：
根据题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
，
当时，取得最小值，此时，
当时，取得最大值，此时，
当时，函数的取值范围为．
根据二次函数的性质可判断小胡的求解过程是否正确，然后根据二次函数的性质解答即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答的关键是熟练掌握二次函数性质，特别要注意的取值范围．
23.【答案】解：，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
连接，
，
，
在中，，
的半径是．
【解析】根据垂径定理求出，根据题意推出四边形是正方形，根据正方形的性质得到，根据垂径定理求出，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：把代入得：
，
解得；
．
设平移后抛物线解析式为：，
把点代入，得．
解得或．
故将该抛物线向左平移个单位或向右平移个单位，使其经过坐标原点．
【解析】把点代入求值即可求得抛物线解析式，可得结论；
设平移后抛物线解析式为：，然后将点代入求得的值．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
25.【答案】解：连接，
与相切于点，
，
，
，
直径是，
，
．
，
，
，
的长．
【解析】由切线的性质定理得到，由等腰三角形的性质求出，由勾股定理即可求出的长；
由，得到，求出，由弧长公式即可求出的长．
本题考查
26.【答案】解：任务：设抛物线的表达式为：，
将、、代入上式得：
，解得：，
则；
任务：由得：，
将代入得：，
令，
解得：舍去或，
即飞机飞行的水平距离为；
任务：设发射台弹射口高度为，
则此时抛物线的表达式为：，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
即，
故发射台弹射口高度为：或或．
【解析】任务：设抛物线的表达式为：，由待定系数法即可求解；
任务：由得：，得：，即可求解；
任务：设发射台弹射口高度为，则此时抛物线的表达式为：，当时，，解得：；当时，同理可解．
本题为二次函数综合题，主要考查的是二次函数的实际应用，正确理解题意和题设中术语的意义是解题的关键．
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