专题5.5 导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）
1．函数单调性和导数的关系
(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系
①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增；
②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.
(2)函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.
常见的对应情况如下表所示.
2．函数的极值
极值的相关概念
(1)极小值点与极小值：
如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点
x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值：
如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点
x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
3．函数的最大值与最小值
(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
(2)函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.
③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
4．导数在解决实际问题中的应用
①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.
②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.
③利用导数解决实际问题的一般步骤
【题型1 利用导数求单调区间】
【方法点拨】
利用导数求函数f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；
(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.
【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·广西·高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·宁夏·高二期中（文））函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【变式1-3】（2022·云南·模拟预测（理））设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 由函数的单调性求参数】
【方法点拨】
由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：
(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥
0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.
(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.
【例2】（2022·江苏·高二期末）设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用导数求函数的极值】
【方法点拨】
求函数的极值需严格按照步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点
是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，
若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.
【例3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式3-1】（2022·山东济南·模拟预测）若是函数的极值点．则的极小值为（ ）
A．-3 B． C． D．0
【变式3-2】（2022·安徽省高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值
【变式3-3】（2022·陕西·高三阶段练习（文））记函数的极大值从大到小依次为、、、、，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 利用导数求函数的最值】
【方法点拨】
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【例4】（2021·宁夏·高二期中（文））函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022·广东·高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 导数中的零点（方程根）问题】
【方法点拨】
利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
【例5】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·四川·模拟预测（理））已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022·陕西·一模（理））若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习）已知函数满足，且，若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 利用导数解（证明）不等式】
【方法点拨】
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处
的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
【例6】（2022·吉林·高三阶段练习（文））已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
【变式6-1】（2022·河北·高三期中）已知，函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)证明：.
【变式6-2】（2022·北京高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：.
【变式6-3】（2022·四川自贡·一模（理））设函数，其中，e为自然对数底数.
(1)若，求函数的最值；
(2)证明：当时，.
【题型7 导数中的恒成立（存在性）问题】
【方法点拨】
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端
是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨
论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
【例7】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【变式7-1】（2022·四川高三期中）已知函数．
(1)若在上是单调递减，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式7-2】（2022·北京·高三阶段练习）已知函数.
(1)时，在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围．
【变式7-3】（2022·广东·高三阶段练习）已知.
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.
【题型8 导数在实际问题中的应用】
【方法点拨】
解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，
然后利用导数研究，进而解决问题.
【例8】用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
【变式8-1】（2022·山东泰安·高二期中）如图，一个面积为平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边的长分别为厘米和厘米，其中.
（1）当，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元／根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，
所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元.
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低
【变式8-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））某超市开展促销活动，经测算该商品的销售量为s件与促销费用x元满足．已知s件该商品的进价成本为元，商品的销售价格定为元/件．
(1)将该商品的利润y元表示为促销费用x元的函数；
(2)促销费用投入多少元时，商家的利润最大？最大利润为多少 （结果取整数）．
参考数据：，，．专题5.5 导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）
1．函数单调性和导数的关系
(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系
①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增；
②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.
(2)函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.
常见的对应情况如下表所示.
2．函数的极值
极值的相关概念
(1)极小值点与极小值：
如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点
x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值：
如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点
x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
3．函数的最大值与最小值
(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
(2)函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.
③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
4．导数在解决实际问题中的应用
①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.
②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.
③利用导数解决实际问题的一般步骤
【题型1 利用导数求单调区间】
【方法点拨】
利用导数求函数f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；
(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.
【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数小于0，即可求得答案.
【解答过程】由题意函数的定义域为 ，
，当时， ，
故函数的单调递减区间是，
故选：D.
【变式1-1】（2022·广西·高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间.
【解答过程】解：由题意，
在中，
当时，解得（舍）或
当即时，函数单调递减
∴单调递减区间为
故选：B.
【变式1-2】（2022·宁夏·高二期中（文））函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【解题思路】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式进行求解即可.
【解答过程】函数的导数
由得，
即得，
即函数的单调递减区间为,，
故选：A.
【变式1-3】（2022·云南·模拟预测（理））设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求导，结合是偶函数得到，求出，从而根据小于0，求出单调递减区间.
【解答过程】因为，所以，
又因为是偶函数，所以，
即，故，即，
所以，令，解得，
所以的单调递减区间为.
故选：C．
【题型2 由函数的单调性求参数】
【方法点拨】
由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：
(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥
0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.
(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.
【例2】（2022·江苏·高二期末）设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】函数在上单调递增等价于在上恒成立，参变分离，进一步讨论最值即可.
【解答过程】由题意在上恒成立，即，又在单增，，则．
故选：C．
【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】因为在上不单调，故利用在上必有零点，利用，构造函数，通过的范围，由此求得的取值范围.
【解答过程】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.
【解答过程】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
【变式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.
【解答过程】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
【题型3 利用导数求函数的极值】
【方法点拨】
求函数的极值需严格按照步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点
是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，
若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.
【例3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】根据函数求极小值的过程求解：先求的解 ，再判断在两侧的单调性，确定极值.
【解答过程】因为，所以.
令得，
当时，，当时，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
则当时，取得极小值，且极小值为.
故选：C.
【变式3-1】（2022·山东济南·模拟预测）若是函数的极值点．则的极小值为（ ）
A．-3 B． C． D．0
【解题思路】根据给定的极值点求出参数a的值，再求出函数极小值作答.
【解答过程】函数，求导得：，
因是函数的极值点，即，解得，
，当或时，，当时，，
即是函数的极值点，函数在处取得极小值.
故选：A.
【变式3-2】（2022·安徽省高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值
【解题思路】求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.
【解答过程】由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
x -1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B.
【变式3-3】（2022·陕西·高三阶段练习（文））记函数的极大值从大到小依次为、、、、，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极大值点，利用极值的单调性可求出、，即可得解.
【解答过程】因为，其中，则，
令可得，且不是函数的极值点，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数的极小值点为，极大值点为，
所以，函数的极大值为，
因为函数单调递减，故，，
因此，.
故选：C.
【题型4 利用导数求函数的最值】
【方法点拨】
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【例4】（2021·宁夏·高二期中（文））函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可求得最小值.
【解答过程】∵，
∴，
当时，
∴函数在区间上单调递增，
∴当时，函数取得最小值，，
∴函数在上的最小值为.
故选：A.
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据在上单调性求出最值即可
【解答过程】由可得，
令，解得，
当，，单调递减；当，，单调递增，
所以的极小值，也为最小值为，
故选：C.
【变式4-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】取可排除AB；取可排除C；
【解答过程】当时，在单调递减，
且最小值为，满足条件，故可排除A，B；
当时，，，
时，，在单调递减，
所以最小值为，满足条件，故可排除C；
故选：D.
【变式4-3】（2022·广东·高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为在x＞0时恒成立．利用导数求出的最大值即可.
【解答过程】当x＜0时，，
当且仅当x＝ 1时，f（x）取得最大值f（ 1）＝a 2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（ ∞，a 2]，
即在x＞0时恒成立，
即在x＞0时恒成立，
即，
设，
，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
，
.
故选：C．
【题型5 导数中的零点（方程根）问题】
【方法点拨】
利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
【例5】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求函数定义域，进而转化为，与两函数有两个交点，利用导函数得到的单调性，得到函数极值和最值，画出函数图象，数形结合得到答案.
【解答过程】定义域为，
故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，
其中，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在处取得极大值，也是最大值，
，
且当时，恒成立，
当时，恒成立，
画出的图象如下：
显然要想，与两函数有两个交点，
需要满足，
综上：实数a的取值范围是.
故选：B.
【变式5-1】（2022·四川·模拟预测（理））已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程有2个不同的解，构造函数 ，利用导数研究函数的性质可得，即函数与图象在上有2个交点，利用导数求出，即可求解.
【解答过程】函数有2个零点，
则方程有2个不同的解，
方程 ，
设函数 ，则，
所以函数在上单调递减，由，
得，即，则函数与图象在上有2个交点.
设函数，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，解得.
故选：D.
【变式5-2】（2022·陕西·一模（理））若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
【解答过程】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故选：A.
【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习）已知函数满足，且，若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，构造并求出函数的表达式，则函数有两个零点转化为与有两个不同交点，利用导数研究的性质画出图像即可得到答案.
【解答过程】由，可设，则，可得即，
所以，所以．
令，则，
当时，，所以函数在为增函数，
当时，，所以函数在为减函数，
故，
又，当时，，画出图像如下图，
观察图象可知，函数有两个零点.
故选：C．
【题型6 利用导数解（证明）不等式】
【方法点拨】
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处
的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
【例6】（2022·吉林·高三阶段练习（文））已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
【解题思路】（1）利用导数求切线斜率，然后可得；
（2）利用二次导数求导函数的零点，从而可得函数的最值，然后可证.
【解答过程】（1）因为，所以，则，.
又，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2），
设函数，所以，
所以在上单调递增.
因为，所以，，
所以在上存在唯一零点，且，即.
当时，，；当时，，.
因此 .
设函数，，则，
所以在上单调递减，从而.
即，故.
【变式6-1】（2022·河北·高三期中）已知，函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)证明：.
【解题思路】（1）代入，求出，根据恒成立，可得到单调递增，又，进而可根据导函数的符号可得到函数的单调性；
（2）原题可转化为证明恒成立，转为证明以及成立，即可证明完成.
【解答过程】（1）当时，，定义域为，
则，恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：因为，由可得，则定义域为.
要证，即成立，
只需证，即证恒成立.
令，则，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，即，所以，
令，则，所以当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，即，所以.
故成立，即成立.
【变式6-2】（2022·北京高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：.
【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程；
（2）求导后根据导数的符号可得函数的单调性；
（3）根据（2）中函数的单调性求出函数的最大值，再利用导数证明函数的最大值小于0即可得证.
【解答过程】（1）当时，，，
，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，，
所以 ，
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，，
令，，
则 ，则在上单调递减，
所以 ，
所以，所以.
【变式6-3】（2022·四川自贡·一模（理））设函数，其中，e为自然对数底数.
(1)若，求函数的最值；
(2)证明：当时，.
【解题思路】（1）代入，求出，再求出，利用导数的性质，即可求出函数的最值.
（2）设，得到，
再设，，通过导数和的性质，的最小值和的最大值，得出，进而得到，得到为单调增函数，有，进而证明得到.
【解答过程】（1），，，
，
在单调递减，而，
，，，，
的最大值为，无最小值.
（2）当时，，
，
设，，
在上是单调递减函数， ，
设，，
在上是单调递减函数，
，
，
，，
单调递增，
，
，
.
【题型7 导数中的恒成立（存在性）问题】
【方法点拨】
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端
是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨
论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
【例7】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【解题思路】(1)证明不等式成立，即证明，建立新的函数，求导判断函数的单调性，求出最值即可判断.
(2)对的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值.当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.
【解答过程】（1）证明：因为的定义域为，所以若，.
要证，即证，即证.
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
（2）若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令.
若，则.
由（1）知，所以，又，所以，
又，所以，符合题意；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，且，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递减.
当时，，所以，
当时，在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，解得.
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，a的取值范围为.
【变式7-1】（2022·四川高三期中）已知函数．
(1)若在上是单调递减，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）转化为在上恒成立，分离参数得，设，利用导数求出函数的最大值即可；
（2）代入并分离参数得对恒成立，设，求导求出的最小值即可.
【解答过程】（1）由题意得在上恒成立，
，设，，令，
解得，当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
故，.
（2）对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
设，，
令，，即，
显然有一根为1，
当时，令，
则，当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
故当时，，而，
故存在使得，，
故存在，使得，
而当时，，且单调递增，故在时，不存在使得，
同理时，，且单调递减，故在时，不存在使得
时，，且在上单调递减，在上单调递增，
故在时，不存在使得
故只存在3个根或1或，其图像如图所示：
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
故存在两个极小值，，，
分别为的两根，
，，则
，
同理可得，
故，.
【变式7-2】（2022·北京·高三阶段练习）已知函数.
(1)时，在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）将代入函数解析式，求出的值，再根据函数的导函数求出切线方程的斜率，然后利用点斜式方程即可得到答案；
（2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到答案；
（3）若函数对任意都有成立，即可寻找区间上的最小值大于等于0，根据第二问求出的单调区间，进行分类讨论，即可得到答案.
【解答过程】（1）根据题意，当时，，定义域为，
所以，当时，，，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）因为函数，定义域为，
，因为，所以的正负与的一致，
当即时，在上恒成立，
因为，所以恒成立，
所以函数在区间上单调递增；
当即时，
令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，即，解得，所以函数在区间上单调递减.
综上，当时，函数的单调增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为.
（3）由（2）得，当时，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数在区间上单调递增，
所以，
可得对任意都有成立，所以满足题意；
当，函数的单调增区间为，单调递减区间为，
所以对于，当，即时，函数在区间上单调递增，
所以，
可得对任意都有成立，所以满足题意，
当时，即，此时函数的单调增区间为，单调递减区间为，
所以，
又因为，
根据函数的单调区间可知，
所以存在有，与题干矛盾，所以不满足题意.
综上，a的取值范围为.
【变式7-3】（2022·广东·高三阶段练习）已知.
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）直接求导计算即可．
（2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．
【解答过程】（1）
令，因为得或，列表如下：
x
+ 0 0 +
极大值 极小值
所以的单调增区间为和 单调减区间为
极大值为 ，极小值为
（2）对都有成立可转化化为：
设，则在，
故，在上恒成立
方法一：（含参讨论）
设，
则，，解得.
，，.
①当时，，
故，当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件.
②当时，同①，当时，递增；当时，递减；
∵，，
∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，∴，符合条件.
综上，实数的取值范围是.
方法二：（参变分离）
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
∵，∴在上恒成立
，.
设，，则，.
设，，
则，.
由，，得在，上单调递增；
由，，得在，上单调递减.
故时；
时.
从而，，，
又时，，故，，
，单调递减，
，.
于是，.
综上，实数的取值范围是.
【题型8 导数在实际问题中的应用】
【方法点拨】
解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，
然后利用导数研究，进而解决问题.
【例8】用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
【解题思路】设出长方体的宽为m，表达出长方体的长和高，从而体积，并根据长宽高均大于0，求出，求导后得到的单调性和极值，最值情况，并确定此时的长、宽、高.
【解答过程】设长方体的宽为m，则长方体的长为m，故长方体的高为m，
由，解得：，
设长方体的体积为，
故，
则，
令，解得：，
令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为 ，
此时长为m，宽为1m，高为m.
【变式8-1】（2022·山东泰安·高二期中）如图，一个面积为平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边的长分别为厘米和厘米，其中.
（1）当，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
【解题思路】（1）当时，，求出侧面积，利用导数判断单调性求纸盒侧面积的最大值；
（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.
【解答过程】解：（1）当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为.
所以纸盒的侧面积，其中.
令，得，
所以当时，，可知在区间上单调递增，
当时，，可知在区间上都单调递减，
的最大值为，
所以当时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米．
（2）纸盒的体积，其中，且.
因为，
当且仅当时取等号，
所以．
记，
则，
令，得，列表如下：
＋ －
单调递增 极大值 单调递减
由上表可知，的极大值是，也是最大值．
所以当，且时，纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元／根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，
所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元.
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低
【解题思路】(1)由题意,总造价中包括座位和圆心处的支点间的钢管的费用,相邻座位之间的钢管与座位的费用,故只需算出座位的个数即知钢管的个数,将两项费用表示出来,相加即得y关于x的函数关系式;
(2)将米代入函数关系式,利用导数求出最值，即得最低的总造价.
【解答过程】（Ⅰ）设摩天轮上总共有个座位，则即，
,
定义域；
（Ⅱ）当时，,令
，则
∴，∴
当时，，即在上单调减，
当时，，即在上单调增，
最小值在时取到，此时座位个数为个．
【变式8-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））某超市开展促销活动，经测算该商品的销售量为s件与促销费用x元满足．已知s件该商品的进价成本为元，商品的销售价格定为元/件．
(1)将该商品的利润y元表示为促销费用x元的函数；
(2)促销费用投入多少元时，商家的利润最大？最大利润为多少 （结果取整数）．
参考数据：，，．
【解题思路】（1）由：利润=销售价格×销售量-促销费用-进价成本，列出利润y元表示为促销费用x元的函数.
（2）利用导数，求（1）中函数的最大值.
【解答过程】（1）利润=销售价格×销售量-促销费用-进价成本，
所以 ，
再将代入可得：
；
（2）对函数求导可得
令，解得 ，
故可得当 时，函数单调递增，
当 时，函数单调递减，
所以，当时，
所以当促销费用投入 元时，商家的利润最大，最大利润为1225元.
