数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法 课件（共29张ppt）

(共29张PPT)
人教A版高中数学（2019）选择性必修第二册第四章第四节
《 4.4 数学归纳法 》
P44页:
猜想数列的通项公式为：
解:
归纳推理
逐一验证，不可能！！！
问题一

直线和平面垂直的定义：
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.

l
平面α的垂线
平面α内任意一条直线
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
m
n
P
符号表示：
文字语言：
直线和平面垂直的判定定理：
P44页:
猜想数列的通项公式为：
解:
归纳推理
逐一验证，不可能！！！
问题一
我们来欣赏一段多米诺游戏，以及感受到它给游戏者带来的意志力和创造力的培养。
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
多米诺起源于中国，有着上千年的历史。
观看多米诺骨牌视屏
情境二（多米诺骨牌游戏）
通过下面实验，探索游戏原理。
？
两个条件
类比多米诺骨牌游戏，迁移证明数列猜想
⑴第1块骨牌倒下。
⑴ 当n=1时，验证猜想正确。
⑵如果第k块 倒下时，一定能导致第k+1块也倒下。
⑵如果 n=k 时猜想成立，一定能推出
根据⑴和⑵，可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。
根据 ⑴ 和 ⑵ ，可知对所有的正整数n，猜想都成立。
当n=k+1时猜想也成立。
这样就找到有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立的方法。
多米诺骨牌游戏原理
猜想数列的通项公式为：
分析:
证明：
(1)当n=1时，a1=1，显然猜想成立。
(2)假设当n=k时，猜想成立，即
ak =
那么当n=k+1时，
ak+1=
2-ak
1
=
1
1
2-
=
1
即n=k+1时，猜想成立。
根据⑴⑵可知,对n∈N＊,通项恒成立.
1
类比数学问题, 激起思维浪花
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立．
证明一个与正整数有关的命题步骤如下：
(2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时命题成立,
证明当n＝k＋1时命题也成立．
(1) 证明当n取第一个值n = n0 时命题成立.
———这种证明方法叫做
数学归纳法
概括提炼，得出概念
例1 . 用数学归纳法证明：
分析：第一步：验证n=1时命题成立,
即证明命题
第二步：要证明命题
“假设 时成立，
那么
第三步：下结论：对任意的正整数n都成立.
两个步骤
一个结论
缺一不可
概念应用 巩固提升
).
证明: (1)当=1时, 等式左边= =1，
右边= = ，等式成立.
(2)假设当= ()时,等式成立,即=
由(1)和(2)可知，等式对任何都成立.
那么
即当= +1时，等式也成立.
目 标
).
例1 . 用数学归纳法证明：
注意点：用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
（1）弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
（2）弄清从n=k到n=k+1等式两端的变化情况，增加了哪些项，减少了哪些项；
（3）在证明n=k+1时命题成立的过程中，要设法利用假设n=k时命题成立的式子，并朝着n=k+1证明目标的表达式进行变形.
小结
对点练习1
B
对点练习2
用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
从n=k到n=k+1有什么变化
凑假设
凑结论
证明:
2)假设n=k时命题成立，即
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
则当n=k+1时，
+
＝
=
∴ n=k+1时命题成立。 由(1)和(2)知，当 ，原命题成立。
=
1)当n=1时，左边=1×2=2，右边= =2， 命题成立.
课堂变式练习3
课堂小结
小结：通过本节课，我们学到了什么，请同学回想一下，各抒己见：
问题1. 我们为什么要学习数学归纳法？
问题2. 我们是借助什么来揭示数学归纳法原理的？
问题3. 数学归纳法的解题步骤是什么，要注意哪些事项？
问题4. 本节课用到的的数学思想与方法有哪些？
验证n = n0时命题成立.
命题对所有的正整数n ( n ≥ n0 )都成立.
归纳奠基
归纳递推
数学归纳法：
若n = k ( k ≥ n0 )时命题成立, 证明n = k+1时命题也成立.
1.两个步骤
一个结论
缺一不可
这种证明方法叫做数学归纳法．
2.利用假设
结合递推
加以证明
课堂小结
布置作业
教科书P47练习：1 、2
教科书P51复习巩固 1 、2（2）
谢谢指导
验证n = n0时命题成立.
命题对所有的正整数n ( n ≥ n0 )都成立.
归纳奠基
归纳递推
数学归纳法用框图表示：
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立, 证明n = k+1时命题也成立.
两个步骤
一个结论
缺一不可
方法归纳
求证：
证明：①当n =1时，左边＝
,右边＝
，等式成立.
那么，当n=k+1时，有
即n=k+1时，命题成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
②假设n =k 时，有
数学归纳法
吗？
变式练习
？
思维误区警示
求证：
证明：①当n=1时，左边＝
,右边＝
，等式成立.
那么，当n=k+1时，有
即n=k+1时，命题成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
②假设n =k时，有
没有用到假设
数学归纳法
吗？
变式练习
？
思维误区警示
求证：
证明：①当n=1时，左边＝
,右边＝
，等式成立.
那么，当n=k+1时，有
即n=k+1时，命题成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
②假设n =k时，有
数学归纳法
吗？
变式练习
？
思维误区警示
求证：
证明：①当n=1时，左边＝
,右边＝
，等式成立.
那么，当n=k+1时，有
即n=k+1时，命题成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
②假设n =k时，有
数学归纳法
吗？
变式练习
？
思维误区警示
求证：
证明：①当n=1时，左边＝
,右边＝
，等式成立.
那么，当n=k+1时，有
即n=k+1时，命题成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
②假设n =k时，有
数学归纳法
变式练习
！
吗？
当n＝k+1时，此时左边比n=k时多了几项？
_______________________.
用数学归纳法证明：
1+2+3++(2n+1)=(n+1)(2n+1) (n N*)
1.当n＝1时，左边= ；
1+2+3
1+2+3+4+5
3.当n＝k时，左边= .
2.当n＝2时，左边= .
1+2+…+(2k+1)
4.当n＝k+1时, 左边=
.
1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)
(2k+2)，(2k+3)
当n＝k+1时，右边
= .
(k+2)(2k+3)
基础练习2