人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习题（含解析）

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习题
一、单选题
1．将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）的方法是（　　）
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
2．二次函数y＝（x－2）2＋3的最小值是（　　）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
3．将抛物线y＝2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+4）2+5 B．y＝2（x﹣4）2+5
C．y＝2（x+4）2﹣5 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
4．下列二次函数所对应的抛物线中，开口程度与其它不一样的是（　　）
A．y＝x2+2x﹣7 B．
C． D．
5．一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝ax2＋ax＋1的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（　　）
A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3
C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3
7．二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（　　）
A．0 B． C． D．
8．已知二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（　　）
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
9．表中所列x，y的6对值是二次函数（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中，n＜m．
x … -3 x1 x2 x3 x4 1 …
y … m 0 c 0 n m …
根据表中信息，下列4个结论：①b-2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x3＝，c＝-，那么当-3＜x＜0时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点，则-≤k＜；其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
10．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是　 　 ．
11．二次函数y=（x﹣2m）2+m2，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
12．抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，那么的取值范围是　 　．
13．如图，抛物线 （ ）与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点，其中点 的坐标为 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ， ，并与抛物线的对称轴交于点 ．现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题
14．如图，边长为2cm的等边△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1cm的平行直线a和b垂直于直线l，直线a、b同时向右移动(直线a的起始位置在B点)，运动速度为1cm/s，直到直线a到达C点时停止.在a、b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为S，求S与t的函数关系式.
15．人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．
（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；
（2）11月“感恩节”商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n的值．
16．如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.
17．如图，已知一次函数-x+m与二次函数-3图象交于
A（-1，0）、B（2，-3）两点．
（1）求m的值和二次函数图象的对称轴
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围．
四、综合题
18．在平面直角坐标系中，设二次函数（）．
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；
（3）抛物线上两点，若对于，都有在，求的取值范围．
19．如图1，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为抛物线对称轴上的一点，使取得最小值，求点的坐标；
（3）如图2，若是线段上方抛物线上一动点，过点作垂直于轴，交线段于点，是否存在点使线段的长度最大，如存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图一，抛物线 过 三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2） 两点均在该抛物线上，若 ，求 点横坐标 的取值范围；
（3）如图二，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，该抛物线的对称轴与 轴交于点 ，连结 ，点 为线段 的中点，点 分别为直线 和 上的动点，求 周长的最小值．
21．燃放烟花是一种常见的喜庆活动.如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如下表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 ……
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 ……
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m.小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
22．如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中（即长不小于宽），设矩形的宽的长为x米，矩形面积为y平方米．
（1）若矩形的面积150平方米，求宽的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）矩形地块的宽为多少时，矩形面积最大，并求出最大面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 向左平移1个单位后，得到y=(x+1)2，当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）；
B. 向右平移3个单位，得到y=(x-3)2，当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）；
C. 向上平移3个单位，得到y=x2+3，当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）；
D. 向下平移1个单位，得到y=x2-1，当x=1时，y=0，则平移后的图象不经过A（1,4）；
故选.
【分析】遵循“对于水平平移时，x要左加右减”“对于上下平移时，y要上加下减”的原则分别写出平移后的函数解析式，将x=1代入解析式，检验y是否等于4.
2．【答案】A
【解析】【解答】二次函数y=（x-2）2+3，
当x=2时，最小值是3，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的顶点式直接求解即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线y＝2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝2（x﹣4）2+5；
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的平移规律：“函数值上加下减，自变量左加右减”解答即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口程度取决于|a|的值，
∵A中|a|＝1，B、C、D中|a|＝
∴A选项与B、C、D不同，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质，找到二次项系数的绝对值与其他不相等的选项即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线 y＝ax2＋ax＋1 的对称轴是直线，因此A和B是错误的；
当a>0时，抛物线的开口向上，直线从左到右上升，因此C是正确的；
当a<0时，抛物线的开口向下，直线从左到右下降，因此D是错误的；
故答案为：C。
【分析】计算抛物线的对称轴可判定A和B，令a>0可判定C，令a<0可判定D。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2+3．
故选B．
【分析】直接利用顶点式写出抛物线解析式．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数y=-（x-1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2，m=2(舍去)．
当x=n时，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5，
解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2．
当x=1时，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5，
解得：n=2.5，
或x=n时，y取最小值，x=1时，y取最大值，
2m=-（n-1）2+5，n=2.5，
∴m= ，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=-2+2.5=0.5．
故答案为：B．
【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵ ，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，①符合题意；
∵对称轴为直线 ，∴ ，即2a﹣b=0，②不符合题意；
∴ 时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，③不符合题意；
∴x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，④符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据开口向上即可判断a的符号，再根据对称轴为x=-=-1即可判断出b的符号，根据抛物线与y轴交于负半轴即可判断c的符号，则不难对①②进行判断，再结合x=-1和2时的值对③④进行判断.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：①由表格可知，当和时，函数值相等，
对称轴为直线，
，即，故①正确；
②由表格可知，，且，
在对称轴右侧，随的增大而增大，
，
，
由表格可知，当和，函数值相等，
又，，
，
，故②正确；
③由上分析可知，当时，，
又，
，故③正确；
④当，时，可知函数过点，，
对称轴为直线，
抛物线跟轴的另一个交点，，
函数的解析式可设为，
，
，解得，
函数解析式为：，画出函数图象如下图所示：
当时，，当时，，
又抛物线的顶点坐标为，
当时，直线与该二次函数图象有一个公共点；
若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或；故④错误．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象、性质与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
10．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
故答案为：.
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
11．【答案】m≥1
【解析】【解答】解：∵y=（x﹣2m）2+m2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=2m，
∴当x＜2m时，y随x的增大而减小，
∵当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，
∴m+1≤2m，解得m≥1，
故答案为：m≥1．
【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴，再结合二次函数的增减性可求得关于m的不等式，可求得答案．
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴这个二次函数图象开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞-3，
故答案为m＞-3．
【分析】先求出这个二次函数图象开口向上，再求出m+3＞0，最后求解即可。
13．【答案】②④
【解析】【解答】①观察图象开口向下，a＜0，
所以①不符合题意；
②对称轴在y轴右侧，b＞0，
所以②符合题意；
③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4，0），
对称轴在y轴右侧，
所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，
所以＞③不符合题意；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，
∴AD=BD，
∵CE∥AB，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
所以④符合题意．
综上：②④符合题意．
故答案为：②④.
【分析】①根据抛物线开口方向即可判断；②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE∥AB，即可得结论．
14．【答案】解：如图①，
当0≤t＜1时，BE＝t， ∵∠ABC=60°，∴DE＝
∴s＝S△BDE＝ ×t× t＝
如图②，
当1≤t＜2时，CE＝2 t，BG＝t 1，
∴DE＝ （2 t），FG＝ （t 1），
∴s＝S五边形AFGED＝S△ABC S△BGF S△CDE＝ ×2× ×（t 1）× （t 1） ×（2 t）× （2 t）＝
综上， 或 .
【解析】【分析】依据a和b同时向右移动，分两种情况作图，再根据三角形的面积公式进行求解.
15．【答案】解：（1）设9月份的销售单价为x元，销售的保温瓶y件，
解得，
即该保温水瓶9月份的销售单价是200元；
（2）设销售的利润为w，由题意可得，
w=（200×﹣80）（﹣50x+600）=﹣1000x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，
∴x=8时，w取得最大值，此时w=16000，
即商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；
（3）由（1）和（2）及题意可得，
（200﹣80）×100=（200×﹣80）（﹣50n+600）
解得，n=6或n=10
即n的值是6或10．
【解析】【分析】（1）根据人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价和销售数量，从而可以列出相应的二元一次方程组，即可解答本题；
（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；
（3）由（1）和（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得n的值．
16．【答案】解：如图所示，以CD所在直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∵CD＝200，
∴抛物线与 轴的交点为 ， ，
∴设这条抛物线的解析式为 ，
∵AB＝100，AB与CD的距离为150，
∴点B的坐标为（50，150），
抛物线经过点 ，
，
解得： ，
，
当 时， 取得最大值，此时 ，
即拱门的最大高度是200米.
【解析】【分析】以CD所在直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，易得C（-100，0），D（100，0），B（50，150），设抛物线的解析式为y=a(x-100)(x+100)，然后将点B坐标代入求出a的值，得到抛物线的解析式，进而可得拱门的最大高度.
17．【答案】（1）解：将点代入直线得：解得：将点和点代入抛物线得:
解得：则抛物线的解析式为：则抛物线的对称轴直线方程为：
m=-1；对称轴 x=1
（2）解：-1 【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次不等式的关系.
（1）将A点代入一次函数解析式即可求出m，再把A、B两点同时代入二次函数解析式可求出二次函数解析式，进而求得对称轴；
（2）根据函数图像知道 、当时 一次函数图像必在二次函数图像上方，即可写出答案.
18．【答案】（1）解：
对称轴是：．
（2）解：∵，
根据二次函数图象的性质可得，
当时，取最大值4，
把代入二次函数可得，
，
解得：，（舍去），
∴顶点坐标为．
（3）解：∵，，对于，都有在，
∴，不关于对称，
∴，
∴
即，，
∴或．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得对称轴为；
（2）利用二次函数的性质可得当时，取最大值4，再将x=3代入解析式可得，求出a的值，即可得到顶点坐标；
（3）根据题意可得，即，，再求出t的取值范围即可。
19．【答案】（1）解：对称轴为直线的抛物线经过，与轴的另一交点为A
点A的坐标为(-1，0)
设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)
把代入，得
解得
故抛物线的解析式为；
（2）解：设BC所在的直线的解析式为
把B、C的坐标分别代入得：
解得
的解析式为，
当时，
此时取得最小值；
（3）解：存在，
设，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为．
【解析】【分析】（1）设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将点C代入求出a的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，将x=1代入直线解析式求出点P的坐标即可；
（3）设，，根据两点之间的距离公式可得，再利用二次函数的性质求解即可。
20．【答案】（1）解：∵抛物线 过 三点
∴ 解得： ；
∴抛物线的解析式为：
（2）解：抛物线的对称轴为 ，抛物线上与 相对称的点
在该抛物线上， ，根据抛物线的增减性得：
∴ 或
答： 点横坐标 的取值范围： 或 ．
（3）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴
当点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ，直线 与 、 交点为 ，此时 的周长最小，周长为 的长，由对称可得到： ， 即点 ，
，
即： 的周长最小值为3，
【解析】【分析】（1）根据抛物线经过点A，点B以及点C，即可利用待定系数法得到抛物线的解析式。
（2）根据抛物线的对称性以及增减性进行判断即可得到答案。
（3）根据直线的对称点，即可得到三角形FMN周长最小的值。
21．【答案】（1）解：设，代入三个点
，解得
第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为
（2）解：由（1）可知h与飞行时间t的函数解析式为
当时，
烟花每隔2 s发射一枚花弹
第二枚花弹发射了2 s
当时，
答：当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹到达26m.
（3）解：第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度
当相等时即可，
即
解得，则
答：花弹的爆炸高度符合安全要求.
【解析】【分析】（1）设h=at2+bt+c，由题意将表格中的三组值代入解析式可得关于a、b、c的方程组，解方程组可求解；
（2）将（1）中的解析式配成顶点式，根据二次函数的性质可得第一枚花弹到达最高点时的时间；由题意把t=2代入解析式计算可得第二枚花弹到达的高度；
（3）根据高度h相同可得关于t的方程：-2t2+16t+2=-2(t+2)2+16(t+2)+2，解方程求得t的值，把求得的t值代入（1）中的解析式计算可得h的值，若h大于30，则花弹的爆炸高度符合安全要求，反之不符合要求.
22．【答案】（1）解：设矩形的宽的长为x米，则有，
∴，
解得：，
当时，则，不满足，
∴宽的长为5米；
（2）解：设矩形的宽的长为x米，矩形面积为y平方米，由题意得：
，
∵，
∴，
解得：，
∴函数的自变量取值范围为；
（3）解：由（2）可知，
∴，即开口向下，对称轴为直线，
∵自变量x取值范围为，
∴当时，矩形面积最大，最大面积为；
答：当矩形地块的宽为10米时，矩形面积最大，最大面积为200平方米．
【解析】【分析】（1）设矩形的宽的长为x米，则有，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设矩形的宽的长为x米，矩形面积为y平方米，利用矩形的面积公式可得，再求出x的取值范围即可；
（3）利用二次函数的性质求解即可。
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