人教版九年级数学上册第二十一一元二次方程单元复习题（含解析）

人教版九年级数学上册第二十一一元二次方程单元复习题
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．2x-3=3(x+7) C． D．
2．关于x的方程x2-3x+2-m2=0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
4．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请 个队参赛，则 满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中一元二次方程的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分，横竖彩条的宽度比为2：1．如果要使阴影所占面积是图案面积的 ，则竖彩条宽度为（　　）
A．1 cm B．2 cm C．19 cm D．1 cm或19 cm
7．摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x＋1）＝182 B．0.5x（x＋1）＝182
C．0.5x（x－1）＝182 D．x（x－1）＝182
8．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0
C．k＞1 D．k＜﹣1
10．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
11．方程x2﹣x﹣ =0的判别式的值等于　 　.
12．若x=1是方程x2+2x﹣3m=0的根，则m=　 　．
13．把y＝（3x-2）（x＋3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为　 　．
14．已知是关于的一元二次方程，则的值为　 　．
三、计算题
15．解方程：
（1）；
（2）；
（3）.
四、解答题
16．先化简，再求值： ，其中x的值是方程x -2x-3=0的解。
17．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．
18．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．
19．一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m．
五、综合题
20．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是5，求k的值.
22．已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为 、 ，且 ，求m的值.
23．为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门]票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．
（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为　 　元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为　 　元．
（2）若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，符合题意；
B、整理后可得x=0，是一元一次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元三次方程，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐项判断即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】
所以方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】 一元二次方程ax2+bx+c = 0（a≠0）的根的判别式=b2-4ac
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，＞0 方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，=0 方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，＜0 方程没有实数根。
3．【答案】A
【解析】【解答】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2，
解得：a=-1，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】每支球队都需要与其他球队赛(x 1)场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x(x 1)=15.
故答案为：B.
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=15，把相关数值代入即可．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；
②x2+ =6是分式方程，不是一元二次方程；
③x2＝0是一元二次方程；
④x＝3x2是一元二次方程；
⑤（x＋1）（x 1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程.
故答案为：A.
【分析】含有一个未知数，含未知数项的最高次数为2，二次项系数不等于0的整式方程就是一元二次方程，据此对各选项逐一判断.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则
（30﹣2x）（ 20﹣4x）=30×20×（1﹣ ），
整理得：x2﹣20x+19=0，
解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．
答：竖彩条的宽度为1cm．
故选：A．
【分析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的 ，可列方程求解．
7．【答案】D
【解析】【分析】共送出照片数=共有人数×每人需送出的照片数．
【解答】根据题意列出的方程是x（x-1)=182．故选D.
【点评】找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意除了不给自己送照片外，其余同学都需送出
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由已知得：
b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4k×（﹣1）=4+4k＜0，
即
解得：k＜﹣1．
故选D．
【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0没有实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根，说明△=b2-4ac＜0，即（-2）2-4×n×（-1）＜0，
解得n＜-1，所以n+1＜0，-n＞0，故一次函数y=（n+1）x-n的图象不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】一次函数y=kx+b的图象，根据k、b的取值确定直角坐标系的位置.
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在无实数根下必须满足△=b2-4ac＜0.
11．【答案】4
【解析】【解答】解：根据方程写出a=1，b=﹣1，c=﹣ ，
再根据根的判别式△=b2﹣4ac代入数△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣ ）=4.
故答案为：4.
【分析】直接利用根的判别式△=b2﹣4ac进行计算即可.
12．【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意，得
12+2×1﹣3m=0，即3﹣3m=0，
解得，m=1；
故答案是：1．
【分析】由一元二次方程解的定义知，将x=1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程，即可求得m的值．
13．【答案】1
【解析】【解答】解：y＝（3x-2）（x＋3）=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴
解之：a=±2且a≠2，
∴a=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用一元二次方程的定义：含未知数项的最高次数为2，二次项的系数不为0，可得到关于a的方程和不等式，然后求出a的值.
15．【答案】（1）解：
∴，
解得：，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
，
，
∴或，
∴，.
【解析】【分析】(1)先两边同除以2，使x2项系数化为1，利用开平方法解一元二次方程即可；
(2)先将方程化为一般式，再利用求根公式法解一元二次方程即可；
(3)先移项，使右式等于0，然后利用因式分解法解一元二次方程即可.
16．【答案】解：
=
=
= ----4分
由x -2x-3=0，得x1=3，x2=-1，----6分
∴当x=3时，原式=-3×(3+1)=-12----8分
【解析】【分析】利用通分先算括号里，接着将除法化为乘法进行约分即化为最简，利用因式分解法求出方程的根，然后选取一个使分式有意义的值代入计算即可.
17．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，
解得m≠0且m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．
（2）∵方程两实根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1 x2=，
∵|x1﹣x2|=1，
∴（x1﹣x2）2=1，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，
∴22﹣4×=1，
解得：m=8；
经检验m=8是原方程的解．
【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为x1，x2，求出x1+x2和x1 x2的值，再根据|x1﹣x2|=1，得出（x1+x2）2﹣4x1x2=1，再把x1+x2和x1 x2的值代入计算即可．
18．【答案】解：设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，
得：6000（1+x）2=6000+2640，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍），
答：从2014年到2016年，这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%
【解析】【分析】设年平均增长率为x，根据：2014年投入资金给×（1+增长率）2=2016年投入资金，列出方程组求解可得．
19．【答案】（1）解：△=，又m≠0，∴m>0
（2）解：由题意，得，
又|x1-x2|＝1，∴
∴代入得，，
∴m=8
【解析】【分析】（1）根据根与系数之间的关系，可得 △ ≥0，又根据一元二次方程二次项系数不能为0可得m≠0，即可得出m的取值范围；
（2）首先利用根与系数之间的关系得出： ，然后再根据已知条件|x1-x2|＝1， 求得 ，从而得出关于m的方程： ， 解方程即可求得m的值。
20．【答案】（1）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，
x2﹣5x+6﹣p2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，
∵x12+x22=3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，
∴52=5（6﹣p2），
∴p=±1
【解析】【分析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把 变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．
21．【答案】（1）证明：∵△=
=
= ，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：∵方程有一个根为5，
∴ ，
，
∴ ，
【解析】【分析】（1）只要能证出根的判别式的值恒大于零即可；
（2）将x=5代入方程中就可求得k的值.
22．【答案】（1）证明：∵ ，
∴无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 .
【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式的值，再判断根的判别式的值一定大于0即可得出结论；
（2）由根与系数的关系式得 ， ， 然后整体代入 得出关于m的方程，求解即可得出答案.
23．【答案】（1）60；50
（2）解：设该单位这次共有x名员工去此景点夜游．
∵1232> 20×60，
∴x>20
根据题意，得x [60-2(x-20)]= 1232，
整理，得x2- 50x+616=0，
解得x1=22，x2=28
当x=22时，人均旅游费用为60-4=56；
当x=28时，人均旅游费用为60- 16-44<50，不符合题意，舍去
∴x= 22．
答：该单位这次共有22名员工去此景点夜游。
【解析】【解答】（1）60- 2(25- 20)= 50(元)．
【分析】（1）根据标准一的收费标准即可得出当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；
根据标准二的收费标准列出算式进行计算，即可得出当夜游人数为25人时，人均门票价格为50元；
（2） 设该单位这次共有x名员工去此景点夜游，先判断出去旅游的人数超过20人，再根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
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