人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习题（含解析）

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习题
一、单选题
1．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．一个直角三角形两直角边长为6和8，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知等边三角形一边上的高为 ，则它的边长为
A．2 B．3 C．4 D．
4．下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
5．斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是（　　）
A．3， B．2，3 C．3，5 D．2，2
6．在△ABC中，AC=9，BC=12，AB=15，则AB边上的高是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　）
A．45m B．40m C．50m D．56m
8．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点 A′与点 A 重合，点 C′ 落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则 B′C 的长为（　　）
A． B．6 C． D．
9．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B． C．12或 D．12或
二、填空题
10．若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为　 　cm．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是　 　.
12．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2019的值为　 　.
13．纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形，如图所示，我们可以把它剪开拼成一个正方形．则拼成的正方形的边长为　 　．
三、解答题
14．如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，则梯子的底端将滑出多少米？
15．如图所示，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少厘米？
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= ，求BC的长．
四、综合题
17．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km.现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米.
（1）请你在河CD边上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省；
（2）求出铺设水管的总费用.
18．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
（1）现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
（2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥_AB于点D，AC+BC=
，AB=2
．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CD的长．
20．如图
（1）如图1， 是等边 内一点，连接 ，且 ，连接 ．
① 度；（答案直接填写在横线上）
② ﹔（答案直接填写在横线上）
③求 的度数．
（2）如图2所示， 是等腰直角 内一点，连接 ， ，连接 ．当 满足什么条件时， ．请给出证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：、，能构成直角三角形，且都是整数，则它们是勾股数，故本选项符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴ ，
连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是△AOC，△BOC，△AOB的高线，设到三边的距离是x，则三个三角形的面积的和是：
即 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理求出AB，连接OA，OB，OC，设点O到三边的距离为x，则AC·x+AB·x+BC·x=AC·BC，代入求解可得x.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为 ，可得： ，
解得： ， （舍去），
所以等边三角形的一边长为4.
故答案为：C.
【分析】由题意画出图形，根据等边三角形的性质结合勾股定理计算即可求解.
4．【答案】A
【解析】【分析】要组成直角三角形，三条线段满足较小的平方和等于较大的平方即可．
A、22+32≠42，符合题意；
B、72+242=252，不符合题意；
C、62+82=102，不符合题意；
D、32+42=52，不符合题意．
选A
【点评】解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵直角三角形的斜边为4，
则.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理可知，在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和，根据勾股定理分别判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AC2+BC2=92+122=81+144=225，AB2=225，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵S△ABC= AC BC= AB CD，
∴CD= = ．
故答案为：A．
【分析】由三角形ABC的三边长，利用勾股定理的逆定理得到∠ACB为直角，利用三角形的面积法即可求出CD的长．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB=90°，
又∵OA=32m，OB=24m，
∴AB= =40m．
故选B．
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴由勾股定理得：AB=，
由题意△ABC ≌△A′B′C′
∴AB′=AB=，
在Rt△AB′C中，由勾股定理得：B′C=.
【分析】在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的长，由题意知AB=AB′，于是在直角三角形AB′C中，用勾股定理即可求得B′C的长。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x=
，此时这个三角形的周长=3+4+
=7+
，
故答案为：C．
【分析】分两种情况，再利用勾股定理求解即可。
10．【答案】4或
【解析】【解答】解：①当5cm长的边为直角边时，
第三边长为cm，
②当5cm长的边为斜边时，
第三边长为cm，
故答案为：4或．
【分析】分两种情况，再利用勾股定理求出第三边的长即可。
11．【答案】1.5
【解析】【解答】解：连接DF，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴∠CAF =∠DAF，BD=AB-AD=2，
在△ADF和△ACF中，
∴△ADF≌△ACF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4-x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，
即x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.5；
∴CF=1.5；
故答案为：1.5.
【分析】连接DF，由勾股定理求出AB的长，由等腰三角形的性质得出∠CAF =∠DAF，由SAS证明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
12．【答案】
【解析】【解答】在图中标上字母E，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1，
观察，发现规律：S1=22=4，S2=
S1=2，S3=
S2=1，S4=
S3=
，…，
∴Sn=(
)n-3，
当n=2019时，S2019=
，
故答案为：
.
【分析】根据勾股定理可得DE2+CE2=CD2，根据等腰三角形的性质可得S2+S2=S1，然后根据数的变化找出变化规律即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：1个正方形的面积为1×1=1
∴5个正方形的面积为5×1=5，即拼成的正方形的面积为5
∴拼成的正方形的边长为
故答案为： ．
【分析】易得5个小正方形的边长的和，那么就得到了大正方形的面积，求出面积的算术平方根即可为大正方形的边长。
14．【答案】解：如图AB=CD=2.5米，OB=0.7米，AC=0.4，求BD的长．
在Rt△AOB中，
∵AB=2.5，BO=0.7，
∴AO=2.4，
∵AC=0.4，
∴OC=2，
∵CD=2.5，
∴OD=1.5，
∵OB=0.7，
∴BD=0.8．
即梯子底端将滑动了0.8米
【解析】【分析】根据图形得到两个直角三角形，将问题转化为直角三角形问题利用勾股定理解答．
15．【答案】解：将长方体展开，连接，
∵（cm），（cm），
根据两点之间线段最短，（cm）.
∴所用细线最短需要10cm.
【解析】【分析】将长方体展开，连接AB′，则AA′=8cm，A′B′=6cm，然后利用勾股定理求出AB′的值即可.
16．【答案】解：∵∠B+∠DAB=∠ADC，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD= ，
∵∠C=90°，
∴CD= = =1，
∴BC= +1
【解析】【分析】首先根据三角形外角的性质可得∠B=∠BAD，根据等角对等边可得BD=AD= ，然后利用勾股定理计算出CD长，进而可得BC长．
17．【答案】（1）解：①水厂位置O如图所示；
（2）解：如图，作出以A′B为斜边的直角三角形，
∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，
∴A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4km，
由勾股定理得，A′B＝ ＝5km，
20 000×5＝100 000元.
答：铺设水管的总费用100000元.
【解析】【分析】（1）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD的交点即为点O的位置；
（2）作出以A′B为斜边的直角三角形，由已知条件可得A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4km，由勾股定理求出A′B，进而可得总费用.
18．【答案】（1）解：过点A作，交l于点D．
，
在中，，
由勾股定理得
，
新路长度是80米．
（2）解：该车超速
在中，，
由勾股定理得
，
该车经过区间用时
∴该车的速度为
该车超速
【解析】【分析】（1）根据点到线的距离，垂线段最短，作出路线，在根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求解；
（2）在Rt△ADE中，根据勾股定理求出DE的长度，继而求出BE的长度，再根据速度=路程÷时间算出车速并进行比较即可得出结论。
19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，
∴（AC+BC）2-2AC·BC=AB2，
又∵ AC+BC= ，AB=2
∴AC·BC=2 ．
S△ABC= AC·BC=
（2）解：∵S△ABC= AB·CD= ．
∴CD=
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，再结合AC+BC= ，进而求得AC·BC=2 ，最后根据三角形的面积= AC·BC，求出三角形面积；
（2）根据S△ABC= AB·CD，结合（1）中已求出的三角形ABC的面积，代入数据即可求出CD的长.
20．【答案】（1）解：① ；② ；③
为直角三角形
为等边三角形
（2）解：当 时， ．
理由如下：
，
为等腰直角三角形，
，
当 时， 为直角三角形，
，
当 满足 时， ．
【解析】【解答】解：（1）①
即
故答案为： ；
②
，
由①得
是等边三角形，
故答案为：4；
【分析】（1）①先求出，再求出，最后计算求解即可；
②先求出，再求出 是等边三角形，最后求解即可；
③先求出 为直角三角形 ，再求出∠BDO=60°，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的性质和勾股定理求解即可。
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