2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．（5分）已知A＝{x|4﹣5x＞0}，则有（　　）
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．﹣1 A
2．（5分）下列结论中错误的是（　　）
A．终边经过点（m，m）（m＞0）的角的集合是
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．M＝{x|x＝45°+k 90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°+k 45°，k∈Z}，则M N
D．若α是第三象限角，则是第二象限角
3．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数的定义域为（　　）
A．[0，1] B．[﹣1，0] C． D．
4．（5分）若，则x＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知a＝log23，b＝0.23，c＝log34，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．（5分）已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则（　　）
A．πe＜3e B．logπe＞log3e
C．π 3e﹣2＜3 πe﹣2 D．πlog3e＞3logπe
7．（5分）在同一平面直角坐标系中，若0＜a＜1，则与y＝loga（﹣x）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知f（x），若对任意t∈R，关于x的方程无实根，则实数a的范围是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．（5分）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.3]＝﹣3，[15.31]＝15．已知函数，G（x）＝[f（x）]，则下列说法正确的有（　　）
A．G（x）是偶函数 B．G（x）的值域是{﹣1，0}
C．f（x）是奇函数 D．f（x）在R上是增函数
（多选）11．（5分）下列叙述错误的是（　　）
A．若a＞b与同时成立，则ab＜0
B．命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x≤1，有x2≤1”
C．若函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（0，3）
D．“x＜﹣2”是“lg（x+3）＜0”的充要条件
（多选）12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣bx+c，x∈[﹣a，a]，c∈Z，若f（x）的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能分别为（　　）
A．3与1 B．4与﹣3 C．8与2 D．6与1
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）化简　 　．
14．（5分）已知扇形的圆心角和弧长均为2，则扇形的面积为 　 　．
15．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为 　 　．
16．（5分）若函数f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，求，．
18．（12分）已知函数h（x）＝x2+bx+c是偶函数，且h（﹣2）＝0，．
（1）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）设，求函数F（x）的最小值g（a）；
（3）对（2）中的g（a），若不等式g（a）＞﹣2a2+at+4对于任意的a∈（﹣3，0）恒成立，求实数t的取值范围．
19．（12分）已知函数，满足条件．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，并求f（x）在x∈[﹣1，1]上的最值．
20．（12分）已知集合A＝{x|a＜x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，A B，求a的取值范围．
21．（12分）为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组，为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为R的圆形灯笼，如图所示，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“H”型，“H”型由竖、横、竖三个等宽的矩形组成，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形的长边的倍，设O为圆心，A，B两点在圆上，∠AOB＝2α，“H”型的面积记为S．
（1）将S表示成α的函数；
（2）为了使得灯笼的亮度最大，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？
22．（12分）已知函数f（x）＝loga（1）（a＞0，a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：∵A＝{x|4﹣5x＞0}＝{x|x}，
故选：C．
2．【解答】解：终边经过点（m，m）（m＞0），则该终边为第一象限的角平分线，
即角的集合是，故A正确；
将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为60°，即分针转过的角的弧度数是，故B正确；
M＝{x|x＝45°+k 90°，k∈Z}表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，
N＝{y|y＝90°+k 45°，k∈Z}，表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即M N，故C正确；
由于α为第三象限角，所以2kπ+π＜α＜2kπ（k∈Z）．
故kπkπ（k∈Z），所以是第二或第四象限角，故D错误；
故选：D．
3．【解答】解：∵f（x）的定义域为[﹣2，2]，
∴g（x）需满足，解得﹣1≤x≤0，
∴g（x）的定义域为[﹣1，0]．
故选：B．
4．【解答】解：根据题意，若，则x3，变形可得x7＝81，
解可得x，
故选：A．
5．【解答】解：由题知0＜b＜1，
∵，，
∴a，1＜c，
∴a＞c＞b，
故选：D．
6．【解答】解：A．∵π＞3，e＞0，∴πe＞3e，∴A错误；
B.，且lnπ＞ln3＞0，
∴，
∴logπe＜log3e，∴B错误；
C．∵e﹣3＜0，
∴3e﹣3＞πe﹣3，
∴3e﹣2 3﹣1＞πe﹣2 π﹣1，
∴π 3e﹣2＞3 πe﹣2，∴C错误；
D．∵，
∴πlog3e＞3logπe，∴D正确．
故选：D．
7．【解答】解：因为0＜a＜1，所以，所以指数函数是增函数，故排除A、B；
y＝loga（﹣x）定义域为（﹣∞，0），其图像与函数y＝logax的图像关于y轴对称，
函数y＝logax是减函数，所以y＝loga（﹣x）是增函数，排除D．
故选：C．
8．【解答】解：当x≥0时f（x）＝2x+a≥1+a；当x＜0时f（x）＝﹣x2+2x+a＜a．
若对任意t∈R，方程无实根，则，
解得：a．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：由角α的终边与单位圆交于点，α是第一象限角，可得cosα，
∴sinα，可得tanα，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，可得β＝α，
则可得sinβ＝sin（α）＝cosα，cosβ＝cos（α）＝﹣sinα，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为（，），故D正确．
故选：ABD．
10．【解答】解：根据题意，
对于A，G（1）＝[f（1）]＝0，G（﹣1）＝[f（﹣1）]＝﹣1，G（1）≠G（﹣1），则函数G（x）不是偶函数，A错误，
对于B，，由1+2x＞1，则f（x），则有G（x）的值域是{﹣1，0}，B正确，
对于C，，其定义域位R，由f（﹣x），则f（﹣x）+f（x）＝0，即函数f（x）为奇函数，C正确，
对于D，，设t＝1+2x，则y，t＝2x+1在R上是增函数，y，在（1，+∞）也是增函数，
则f（x）在R上是增函数，D正确，
故选：BCD．
11．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若，则0，又由a＞b，即b﹣a＜0，必有ab＜0，A正确；
对于B，命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x＞1，有x2≤1”，B错误；
对于C，函数，为增函数，若其零点在区间（1，2）内，则有，解可得0＜a＜3，即a的取值范围为（0，3），C正确；
对于D，当x＝﹣3时，满足x＜﹣2，但lg（x+3）无意义，故“x＜﹣2”不是“lg（x+3）＜0”的充分条件，D错误．
故选：BD．
12．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣c＝x3﹣bx，易知函数g（x）为奇函数，
所以g（x）max+g（x）min＝0，即M﹣c+m﹣c＝0，
所以M+m＝2c，
又c∈Z，则2c为偶数，
故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：.．
故答案为：a+b．
14．【解答】解：因为扇形的圆心角和弧长均为2，
所以扇形的半径为r1，
所以扇形的面积S2×1＝1．
故答案为：1．
15．【解答】解：已知a＞0，b＞0，a+b＝1，
利用拼凑法：，
则，
当且仅当，b，时等号成立．
故最小值为．
故答案为：．
16．【解答】解：根据题意，函数f（x），
设g（x）＝x2﹣2ax+1﹣a，则y，
若函数f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则g（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减且g（x）≥0恒成立，
则有，解可得1≤a≤2，即a的取值范围为[1，2]；
故答案为：[1，2]．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，
所以 ，U＝{1，2，3，4，5，6}．
18．【解答】解：（1）因为函数h（x）＝x2+bx+c是偶函数，
所以，解得b＝0，c＝﹣4．
故h（x）＝x2﹣4，．
当x∈[1，2]时，函数和y＝x都是单调递增函数，
故函数f（x）在[1，2]上单调递增，f（1）＝1﹣4＝﹣3，f（2）＝2﹣2＝0，
所以当x∈[1，2]时，函数f（x）的值域是[﹣3，0]．
（2），
令，由（1）知m∈[﹣3，0]，则F（x）＝m2﹣2am+8，
因为二次函数y＝m2﹣2am+8开口向上，对称轴为x＝a，
故a≤﹣3时，y＝m2﹣2am+8在[﹣3，0]上单调递增，最小值为6a+17；
﹣3＜a＜0时，y＝m2﹣2am+8在[﹣3，a]上单调递减，在（a，0]上单调递增，最小值为8﹣a2；
a≥0时，y＝m2﹣2am+8在[﹣3，0]上单调递减，最小值为8．
故函数F（x）的最小值．
（3）当a∈（﹣3，0）时，g（a）＝8﹣a2，
则g（a）＞﹣2a2+at+4即8﹣a2＞﹣2a2+at+4，整理得a2+4＞at，
因为a∈（﹣3，0），所以对于任意的a∈（﹣3，0）恒成立，
令，
只需令t大于T（a）在（﹣3，0）上的最大值即可．T（a）在（﹣3，﹣2）上单调递增；在（﹣2，0）上单调递减；
所以函数T（a）在（﹣3，0）上的最大值为，故t＞﹣4．
所以实数t的取值范围是（﹣4，+∞）．
19．【解答】解：（1）根据题意，函数，满足条件．
所以解得
所以；
（2）根据题意，由（1）的结论：，
设﹣1≤x1＜x2≤1，
则
，
因为x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增；
所以．
20．【解答】解：因为集合A＝{x|a＜x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，A B，
所以a≥2，
即a的取值范围是[2，+∞）．
21．【解答】解：（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，
由∠AOB＝2α，可得∠BOM＝α，α∈（0，），
且BM＝Rsinα，OM＝Rcosα，
由题意可得ON，
∴BC＝MN＝OM﹣ON＝R（cosα），
由BC＞0，可得α∈（0，），
则S＝2AB BC，（）．
（2）S
，
由，可得，
∴，
即有2，即时，S取得最大值．
22．【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝loga（1）＝loga（），
有0，解可得x＜﹣2或x＞2，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
f（﹣x）＝loga（）＝loga（）＝﹣loga（）＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数，
（2）根据题意，假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]，
若1+logan＜1+logam，即logan＜logam，
又由m＜n，则0＜a＜1，
对于f（x）＝loga（1），设t＝1，则y＝logat，
t＝1在（2，+∞）为增函数，y＝logat在（0，+∞）上为减函数，
则f（x）＝loga（1）在（2，+∞）上为增函数，
则有f（m）＝1+logam，f（n）＝1+logan，
故m，n是f（x）＝1+logax即loga（1）＝1+logax的两根，
loga（1）＝1+logax变形可得1ax，即ax2+（2a﹣1）x+2＝0，
则方程ax2+（2a﹣1）x+2＝0在（2，+∞）上有两不同解，
设g（x）＝ax2+（2a﹣1）x+2，则有，解可得0＜a，
故存在实数a满足题意，且a的取值范围为（0，）．
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