14.3.3 因式分解——完全平方公式 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解
·14.3因式分解·
第三课时 完全平方公式
教案
班级： 课时： 课型：
一、学情分析
学生在学习用完全平方公式分解之前，已经学习了用平方差公式因式分解.这两种方法都是整式乘法的逆运用,培养学生的逆向思维和推理能力，并渗透转化思想和矛盾的对立统一观点.
教学目标
1.掌握完全平方式的特点，熟练运用完全平方公式进行因式分解；
2.会综合运用提公因式法，平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．
三、重点难点
【教学重点】
运用完全平方公式分解因式．
【教学难点】
综合运用提公因式法、平方差公式与完全平方公式分解因式．
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.师：因式分解的步骤是什么？
生：首先提取公因式，然后考虑用公式法.
2.观察式子x2+2x+1和a2-4a+4，这两个式子有什么特点？你能将它们分解因式吗？老师引导学生思考，学生联想到完全平方公式.
设计意图：通过知识回顾避免学生遗忘所学知识，同时通过观察式子分析，导出本节课所学知识.
第二环节 【合作交流 探索新知】
师：平方差公式可以逆运用，那么完全平方公式可不可以逆运用来因式分解呢？
老师抛出问题后，让学生小组探讨，完全平方公式应该怎样逆运用.
2.完全平方公式：互换位置
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.填空：
(1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2；
(2) a2-2ab+ b2 =(a-b)2；
(3) m2+2m+ 1 =( m+1 )2；
(4) n2-2n+ 1 =( n-1 )2；
(5) x2-x+0.25=( x-0.5 )2；
(6) 4x2+4xy+( y )2=( 2x+y )2 .
通过例题考察学生对完全平方公式的逆运用能力，老师巡视学生做题情况.
4.我们把a2+2ab+b2、a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
5.完全平方式的特点：
（1）必须是三项式(或可以看成三项的)；
（2）有两个同号的平方项；
（3）有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍).
（4）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
老师强调划线部分，加深学生对完全平方公式的理解，对于接受能力较弱的学生应多加引导和启发.
6.下列各式是不是完全平方式？
(1) a2-4a+4；
(2) 4a2+4ab+b2；
(3) x2-6x-9；
(4) x2+4x+4y2；
(5) a2-ab+b2；
(6) a2+a+0.25.
（答案）（1）、（2）和（6）是完全平方式.
设计意图：通过平方差公式的逆运算来引出完全平方公式也可以逆运算，用习题来加深平方公式的逆运算的应用.通过特殊到一般总结出完全平方公式的特点，再利用习题加固理解.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1：分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)-x2+4xy-4y2.
例2.分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
例3.分解因式：x4-(2x-1)2．
设计意图：本环节通过三道例题的练习，考察学生对完全平方公式运用的熟练程度，巩固基础.
【答案】
例1.解：（1）原式 =(4x)2+2·4x·3+32
= (4x+3)2；
（2）原式 = -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2·x·2y+(2y)2]
= -(x-2y)2.
例2.解：（1）原式= 3a(x2+2xy+y2)
= 3a(x+y)2；
（2）原式= (a+b)2-2 (a+b) 6+62
= (a+b-6)2.
例3.解：原式 = (x2)2-(2x-1)2
= (x2+2x-1)(x2-2x+1)
= (x2+2x-1)(x-1)2.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 崇川区校级期末）下列各式能用公式法因式分解的是（ ）
A．-x2-y2+2xy B．-x2-y2
C．4x2+4xy-y2 D．x2+xy+y2
2.（2019秋 平潭县期末）分解因式x2-2x+1 的最终结果是（ ）
A．x(x-2)+1 B．(x+1)(x-2)
C．(x-1)2 D．(x+1)2
3．下列二次三项式是完全平方式的是( )
A. x2-8x-16 B. x2+3x+9
C. x2-4x-16 D. x2+6x+9
4.（2019春 乐亭县期末）已知x2+kx+16 可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为( )
A．-8 B．±4 C．8 D．±8
5．分解因式：
（1）9+12m+4m2 = ；
（2）4x2+y2-4xy = ；
（3）(a+b)2-6(a+b)+9 = .
设计意图：本环节在于夯实基础，通过简单的习题帮助学生加固基础，同时增强学生学习的自信心.
【答案】
A 2. C 3.D 4.D
5.(1)(3+2m)2；（2）(2x-y)2；（3）(a+b-3)2
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019春 龙岗区期中）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．a2+2ax+4x2 B．-a2-4ax+4x2
C．x2+4+4x D．-1+4x2
2. （2019春 西湖区校级月考）因式分解 4x2+4x+1（ ）
A．4x(x+1)+1 B．(4x+1)2
C．(2x+1)2 D．(2x-1)2
3．（2019春 金华期中）将下列多项式分解因式，结果中不含因式(x+1)的是（ ）
A．x2-1 B．x(x-3)-(3-x)
C．x2-2x+1 D．x2+2x+1
4.（2020 东莞市一模）因式分解x2y-2xy+y的结果为（ ）
A．(xy-1)2 B．y(x-1)2
C．y(x2-2x+1) D．y(x-1)
5．已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于( )
A. 64 B. 48 C. 32 D. 16
6.下列分解因式正确的是( )
A.x2+4x+4 = (x+4)2
B.4x2-2x+1 = (2x-1)2
C.9-6(m-n)+(m-n)2 = (3-m-n)2
D.-a2-b2+2ab = -(a-b)2
7．多项式x2+(k-3)x+9是完全平方式，则k的值为 .
8.因式分解：9x2-y2-4y-4 = ．
9.已知 2x-y = 1，xy = 2，求 4x3y-4x2y2+xy3的值.
10.先化简再求值：9x2+12xy+4y2，其中x = ，y = .
设计意图：通过本环节的练习，深化学生对完全平方公式的运用，同时让学生体会到公式法的优越性.
【答案】
C 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D
7.9或-3 8.(3x+y+2)(3x-y-2)
9.解：原式 = xy(4x2-4xy+y2)
= xy(2x-y)2，
∵ 2x-y = 1，xy = 2，
∴ 原式 = 2×12 = 2．
10.解：9x2+12xy+4y2
= (3x)2+2 3x 2y+(2y)2
= (3x+2y)2
当x = ，y = 时，
原式 = (3×+2×)2 = 25.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.某同学碰到这么一道题“分解因式：a4+4”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上4a2，再减去4a2，这样原式化为(a4+4a2+4)-4a2，……”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．你会吗？请完成此题．
2.已知x2+4x+y2-2y+5 = 0,求xy的值.
设计意图：本环节习题在于扩展学生的数学思维，考察学生能否灵活的运用完全平方公式进行习题求解.
【答案】
解：a4+4
= (a4+4a2+4)-4a2
= (a2+2)2-(2a)2
= (a2+2+2a)(a2+2-2a)
= (a2+2a+2)(a2-2a+2)
2.解：由x2+4x+y2-2y+5 = (x2+4x+4)+(y2-2y+1)
= (x+2)2+(y-1)2 = 0，
得x+2 = 0，y-1 = 0，
∴ x = -2，y = 1，
∴ xy = (-2)1 = -2
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
利用完全平方公式分解因式：
a2±2ab+b2 = (a±b)2
两个数的平方和加上(或减去)这个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】