14.3.2 因式分解 —平方差公式 教案 （含答案）2023--2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解
·14.3因式分解·
第二课时 平方差公式
教案
班级： 课时： 课型：
一、学情分析
平方差公式是最基本、用途最广泛的公式之一，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起十分重要的作用.但是这一阶段的学生抽象思维能力还不够完整，需要在教师的引导下进行探索.
教学目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；
2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
三、重点难点
【教学重点】
运用平方差公式分解因式．
【教学难点】
综合运用提公因式法与平方差公式来分解因式．
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.师：因式分解的定义？
生：把一个多项式分解成几个整式的积的形式.
2.师：提公因式法的定义？
生：在一个多项式中，若各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
3.5ab3+20ab2的公因式是什么？
（答案）5ab2(b+4).
4.x2-1和4m2-n2可以用提公因式法分解吗？
设计意图：通过师生互动共同回顾上节课所学知识，避免学生遗忘知识，同时为这节课所学知识做铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.观察多项式x2-1和4m2-n2，试着用已经学过的知识找出他们之间有什么特点？学生通过因式分解发现x2-1可以变成（x-1）（x+1），4m2-n2可以变成（2m-n）（2m-n），老师引出平方差概念.
（答案）都可以写成a2-b2 (两个数的平方差) 的形式.x2-1=x2-12和4m2-n2=(2m)2-n2.
2.师：你能将a2-b2分解因式吗？学生思考后将其变成（a-b）（a+b），老师给出互逆过程，给出相关概念.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
这种分解因式的方法称为公式法.
下列多项式能用平方差公式法进行因式分解吗？
x2-1= 4m2-n2=
-4m2-9= x2-(x+y)2=
（答案）x2-1=(x+1)(x-1)
4m2-n2=(2m)2-n2=(2m+n)(2m-n)
-4m2-9不能转变为平方差形式
x2-(x+y)2=[x+(x+y)][x-(x+y)]=-y(2x+y)
4.老师带领学生进行知识归纳，让学生印象更加深刻.
因式分解的平方差公式：
公式中的ɑ，b可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式.
5.师：多项式 2x2-8y2怎么分解？
老师强调：如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，且必须分解到不能分解为止.
设计意图：通过观察两个多项式运用因式分解引出平方差的概念，再由特殊到一般总结规律.通过几道习题让学生能够熟悉的运用公式法进行因式分解，让学生更清楚哪些式子是不能用平方差公式法.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1：(1) 4x2-9； (2)(x+p)2-(x+q)2 .
把下列各式分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2； (2)2x3-8x.
例3.分解因式：
(1)x4-y4； (2) ɑ3b-ɑb.
设计意图：本环节通过三道例题的练习，考察学生对平方差公式法运用的熟练程度，巩固基础.
【答案】
例1.解：（1）原式 = (2x)2-32
= (2x+3)(2x-3).
（2）原式 = [(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
= (2x+p+q)(p-q).
例2.（1）解：原式 = [3(m+n)]2-(m-n)2
= (4m+2n)(2m+4n)
= 4(2m+n)(m+2n)；
（2）原式 = 2x(x2-4)
= 2x(x+2)(x-2).
例3.（1）解：原式 =(x2)2-(y2)2
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)；
（2）原式 = ɑb(ɑ2-1)
= ɑb(ɑ+1)(ɑ-1).
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是( )
A.-ɑ2+b2 B.16m2-25m4
C.2x2-y2 D.-4x2-9
2.下列各式能用平方差公式分解因式的是( )
A．2x2+y2 B．-x2+y2
C．-x2-y2 D．x3+(-y)2
3.将(ɑ-1)2-1 分解因式，结果正确的是( )
A.ɑ(ɑ-1) B.ɑ(ɑ-2)
C.(ɑ-2)(ɑ-1) D.(ɑ-2)(ɑ+1)
4.分解因式：x2y2-49 = ；
5.分解因式：-25ɑ2+9b2 = .
设计意图：本环节在于夯实基础，通过解答简单练习让学生在习题中找到学习的乐趣，增强学生学习的主动性.
【答案】
1.D 2. B 3.B 4.(xy+7)(xy-7) 5.(3b+5ɑ)(3b-5ɑ)
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 乳山市期末）下列多项式，不能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2b2-1 B．4-0.25a2
C．-x2+1 D．-a2-b2
2.（2019 贺州）把多项式 4a2-1 分解因式，结果正确的是( )
A．(4a+1)(4a-1) B．(2a+1)(2a-1)
C．(2a-1)2 D．(2a+1)2
3.把ɑ3-4ɑ分解因式，结果正确的是( )
A.ɑ(ɑ2-4) B.(ɑ+2)(ɑ-2)
C.ɑ(ɑ+2)(ɑ-2) D.ɑ(ɑ+4)(ɑ-4)
4.（2019春 金坛区期中）已知x-y = 3，y-z = 2，x+z = 4，则代数式x2-z2的值是（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
5.下列分解因式正确的是( )
A.ɑ2-2b2 = (ɑ+2b)(ɑ-2b)
B.-x2+y2 = (-x+y)(x-y)
C.-ɑ2+9b2 = -(ɑ+9b)(ɑ-9b)
D.4x2-0.01y2 = (2x+0.1y)(2x-0.1y)
6.(珠海·中考)因式分解:ɑx2-ɑy2 = .
7.（2020 哈尔滨模拟）分解因式：-(a+2)2+16(a-1)2 = ．
8.（2020秋 广西期中）运用公式“a2-b2 = (a+b)(a-b)”计算：9992-1 = ，99982 = ．
9.把下列各式分解因式：
(1)(a-1)+a2(1-a)； (2)x5-16x.
10.已知 4m+n = 40，2m-3n = 5．
求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
设计意图：通过本环节的练习，深化学生对平方差公式的运用，同时让学生体会到公式法的优越性.
【答案】
D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.ɑ(x+y)(x-y)
7.3(5a-2)(a-2) 8.998000；99960004
9.解：（1）原式 = (a-1)-a2(a-1)
= (a-1)(1-a2)
= (a-1)(1+a)(1-a)
= -(a-1)2(1+a)；
（2）原式 = x(x4-16)
= x[(x2)2-42]
= x(x2+4)(x2-4)
= x(x2+4)(x+2)(x-2).
10.解：(m+2n)2-(3m-n)2
= (m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
= (4m+n)(3n-2m)
= -(4m+n)(2m-3n)，
当 4m+n = 40，2m-3n = 5 时，
原式 = -40×5 = -200．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1．利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+…+22-12.
2.已知乘法公式a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)；a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4).利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1.
设计意图：本环节习题在于考察学生能够灵活的运用公式法求解，对式子的转化能力要求较高.
【答案】
1.解：原式 = (100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)
= 100+99+98+97+…+2+1
= 5050.
2.解：x10-1=(x5)2-1=(x2)5-1=(x2-1)(x8+x6+x4+x2+1)，
则有x8+x6+x4+x2+1==
= (x4+x3+x2+x+1)(x4-x3+x2-x+1).
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.利用平方差公式分解因式: ɑ2-b2 = (ɑ+b)(ɑ-b).
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式，然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
4.将因式分解应用到计算中，简化计算.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】