14.2.1平方差公式 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 14.2.1平方差公式 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 117.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 19:31:02 | ||
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文档简介
第十四章 整式的乘法与因式分解
·14.2.1 平方差公式·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在前面已经学习了整式乘法内容，经历过用字母表示数量关系的内容，有了一定的符号感.经过一个学期的培养，学生已经具备了自主学习能力和小组合作、交流能力.学生刚学过多项式乘以多项式，已经具备一定及计算能力，对将要学习平方差有了基础铺垫.
二、教学目标
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式；
2.理解探索平方差公式的几何意义；
3.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算．
三、重点难点
【教学重点】
平方差公式的推导和应用．
【教学难点】
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
以前，狡猾的灰太狼，把一块长为 ɑ 米的正方形土地租给懒羊羊种植.今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了.懒羊羊回去羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了.过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了.这是为什么呢？
设计意图：通过有趣的情境激发学生学习的兴趣.
第二环节 【合作交流 探索新知】
师：1.面积变了吗？
引导学生计算出原来和现在的面积：
原来的面积为a2，
现在的面积为(a+5)(a-5).
引导学生用多项式乘以多项式计算：
(ɑ+5)(ɑ-5)
= ɑ2-5ɑ+5ɑ-25
= ɑ2-25.
计算后得到：土地的面积比原来减少了 25 平方米，所以懒洋洋吃亏了.
2.计算下列多项式的积：
（1）(x+1)(x-1) =x2-1；
（2）(m+2)(m-2) = m2-4；
（3）(2x+1)(2x-1) =4x2-1.
师：算式左边和右边分别有什么特征？
生：左边：两个二项式的积，有一项完全相同，另一项互为相反数.
右边：相同项的平方减去相反项的平方.
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2.
验证：(ɑ+b)(ɑ-b)
= ɑ2-ɑb+ɑb-b2
= ɑ2-b2.
验证后得到：
平方差公式：(ɑ+b)(ɑ-b) =ɑ2-b2.
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
3. 你能用图形的面积说明平方差公式吗？
（教师演示动画）
通过图形变化得到：(ɑ+b)(ɑ-b)=a2-b2.
设计意图：在学生已掌握的多项式乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.判断下列式子是否能用平方差公式进行计算：
（1）(2x+1)(2x-1)；（2）(-x+3)(x-3)；
（3）(-x+y)(x+y)；（4）(y+5)(y-2).
例2.运用平方差公式计算：
（1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y)；
（3）(-2y-3x)(2y-3x).
例3.计算：（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；
（2）102×98.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生进一步掌握平方差公式.
【答案】
例1.（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能.
例2.解：（1）(3x+2)(3x-2)
= (3x)2-22
= 9x2-4；
（2）(-x+2y)(-x-2y)
= (-x)2-(2y)2
= x2-4y2；
（3）(-3x+2y)(-3x-2y)
= (-3x)2-(2y)2
= 9x2-4y2.
例3.解：（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
= y2-4-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= -4y+1；
（2）102×98
= (100+2)(100-2)
= 1002-22
= 10000-4
= 9996.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A.(2x-3y)(-2x+3y)
B.(-3x+4y)(-4y-3x)
C.(x-y)(x+2y)
D.(x+y)(-x-y)
2．下列计算正确的是( )
A．(x+3)(x-3) = x2-6
B．(3x+2y)(3x-2y) = 3x2-2y2
C．(m-n)(-m-n) = m2-n2
D．(a+b)(b-a) = b2-a2
3.计算：
（1）(m+3)(m-3) = ；
（2）(y -)(+y) = ；
（3）(-3x+2y)(-3x-2y) = ；
4.填空：
(- x+2y)( ) = x2-4y2；
(-4ɑ-1)( ) = 1-16ɑ2.
5.方程(x+6)(x-6)-x(x-9) = 0的解是_______.
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.B 2.D 3.m2-9； y2 -；9x2-4y2
4.-x-2y；-1+4ɑ 5.x = 4
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1. （2020春 沙坪坝区校级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+1)(x-1)
B．(-x+y)(x-y)
C．(x-y)(-y-x)
D．(x2-y2)(x2+y2)
2．（2019秋 玉环市期末）计算(-x+y)(x+y)的结果是（ ）
A．x2-y2 B．-x2+y2
C．-x2-y2 D．x2+y2
3．（2019秋 定州市期末）若(2a+3b)( ) = 9b2-4a2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．-2a-3b B．2a+3b
C．2a-3b D．3b-2a
4．（2019秋 孟津县期末）已知a+b = -3，a-b = 1，则a2-b2的值是（ ）
A．8 B．3 C．-3 D．10
5．（2019秋 叙州区期末）若m2-n2 = 5，则(m+n)2(m-n)2的值是（ ）
A．25 B．5 C．10 D．15
6．如图①，在边长为ɑ的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(ɑ＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( )
A．ɑ2+b2 = (ɑ+b)(ɑ-b)
B．ɑ2-b2 = (ɑ+b)(ɑ-b)
C．(ɑ+b)2 = ɑ2+2ɑb+b2
D．(ɑ-b)2 = ɑ2-2ɑb+b2
7．（2020春 淮阴区期中）若2a+b = -3，2a-b = 2，则4a2-b2 = ．
8．（2019秋 宁都县期末）计算：
2020×2018-20192 = ．
9.计算：99×101×10001.
10.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B
7.-6 8.-1
9.解：原式 =(100-1)(100+1)×10001
=(1002-1)×10001
=(10000-1)(10000+1)
= 100000000-1
= 99999999.
10.解：原式 = (x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
= (x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
= (x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)
= (x16-y16)(x16+y16)
= x32-y32.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.科学探究
给出下列算式: 32-12 = 8 = 8×1；
52-32 = 16 = 8×2；
72-52 = 24 = 8×3；
92-72 = 32 = 8×4.
(1)观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
.
(2)用含n的式子表示出来 (n为正整数).
(3)计算 20052-20032 = . 此时n = .
2.(1)填空：
(ɑ-b)(ɑ+b)= __________；
(ɑ-b)(ɑ2+ɑb+b2)= __________；
(ɑ-b)(ɑ3+ɑ2b+ɑb2+b3)= ___________．
(2)猜想：
(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)= ______(其中n为正整数，且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：29-28+27-…+23-22+2.
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.（1）连续两个奇数的平方差是 8 的倍数
（2）(2n+1)2-(2n-1)2 = 8n
（3）8016；1002
2.（1）ɑ2-b2；ɑ3-b3；ɑ4-b4
（2）an-bn
（3）∵[（2-（-1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）
= 210﹣110，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1
=（210﹣110）÷3
= 341，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
=341+1
= 342．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
平方差公式：(ɑ+b)(ɑ-b) = ɑ2-b2.
平方差公式的逆用：ɑ2-b2 = (ɑ+b)(ɑ-b).
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·14.2.1 平方差公式·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在前面已经学习了整式乘法内容，经历过用字母表示数量关系的内容，有了一定的符号感.经过一个学期的培养，学生已经具备了自主学习能力和小组合作、交流能力.学生刚学过多项式乘以多项式，已经具备一定及计算能力，对将要学习平方差有了基础铺垫.
二、教学目标
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式；
2.理解探索平方差公式的几何意义；
3.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算．
三、重点难点
【教学重点】
平方差公式的推导和应用．
【教学难点】
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
以前，狡猾的灰太狼，把一块长为 ɑ 米的正方形土地租给懒羊羊种植.今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了.懒羊羊回去羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了.过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了.这是为什么呢？
设计意图：通过有趣的情境激发学生学习的兴趣.
第二环节 【合作交流 探索新知】
师：1.面积变了吗？
引导学生计算出原来和现在的面积：
原来的面积为a2，
现在的面积为(a+5)(a-5).
引导学生用多项式乘以多项式计算：
(ɑ+5)(ɑ-5)
= ɑ2-5ɑ+5ɑ-25
= ɑ2-25.
计算后得到：土地的面积比原来减少了 25 平方米，所以懒洋洋吃亏了.
2.计算下列多项式的积：
（1）(x+1)(x-1) =x2-1；
（2）(m+2)(m-2) = m2-4；
（3）(2x+1)(2x-1) =4x2-1.
师：算式左边和右边分别有什么特征？
生：左边：两个二项式的积，有一项完全相同，另一项互为相反数.
右边：相同项的平方减去相反项的平方.
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2.
验证：(ɑ+b)(ɑ-b)
= ɑ2-ɑb+ɑb-b2
= ɑ2-b2.
验证后得到：
平方差公式：(ɑ+b)(ɑ-b) =ɑ2-b2.
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
3. 你能用图形的面积说明平方差公式吗？
（教师演示动画）
通过图形变化得到：(ɑ+b)(ɑ-b)=a2-b2.
设计意图：在学生已掌握的多项式乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.判断下列式子是否能用平方差公式进行计算：
（1）(2x+1)(2x-1)；（2）(-x+3)(x-3)；
（3）(-x+y)(x+y)；（4）(y+5)(y-2).
例2.运用平方差公式计算：
（1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y)；
（3）(-2y-3x)(2y-3x).
例3.计算：（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；
（2）102×98.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生进一步掌握平方差公式.
【答案】
例1.（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能.
例2.解：（1）(3x+2)(3x-2)
= (3x)2-22
= 9x2-4；
（2）(-x+2y)(-x-2y)
= (-x)2-(2y)2
= x2-4y2；
（3）(-3x+2y)(-3x-2y)
= (-3x)2-(2y)2
= 9x2-4y2.
例3.解：（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
= y2-4-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= -4y+1；
（2）102×98
= (100+2)(100-2)
= 1002-22
= 10000-4
= 9996.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A.(2x-3y)(-2x+3y)
B.(-3x+4y)(-4y-3x)
C.(x-y)(x+2y)
D.(x+y)(-x-y)
2．下列计算正确的是( )
A．(x+3)(x-3) = x2-6
B．(3x+2y)(3x-2y) = 3x2-2y2
C．(m-n)(-m-n) = m2-n2
D．(a+b)(b-a) = b2-a2
3.计算：
（1）(m+3)(m-3) = ；
（2）(y -)(+y) = ；
（3）(-3x+2y)(-3x-2y) = ；
4.填空：
(- x+2y)( ) = x2-4y2；
(-4ɑ-1)( ) = 1-16ɑ2.
5.方程(x+6)(x-6)-x(x-9) = 0的解是_______.
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.B 2.D 3.m2-9； y2 -；9x2-4y2
4.-x-2y；-1+4ɑ 5.x = 4
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1. （2020春 沙坪坝区校级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+1)(x-1)
B．(-x+y)(x-y)
C．(x-y)(-y-x)
D．(x2-y2)(x2+y2)
2．（2019秋 玉环市期末）计算(-x+y)(x+y)的结果是（ ）
A．x2-y2 B．-x2+y2
C．-x2-y2 D．x2+y2
3．（2019秋 定州市期末）若(2a+3b)( ) = 9b2-4a2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．-2a-3b B．2a+3b
C．2a-3b D．3b-2a
4．（2019秋 孟津县期末）已知a+b = -3，a-b = 1，则a2-b2的值是（ ）
A．8 B．3 C．-3 D．10
5．（2019秋 叙州区期末）若m2-n2 = 5，则(m+n)2(m-n)2的值是（ ）
A．25 B．5 C．10 D．15
6．如图①，在边长为ɑ的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(ɑ＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( )
A．ɑ2+b2 = (ɑ+b)(ɑ-b)
B．ɑ2-b2 = (ɑ+b)(ɑ-b)
C．(ɑ+b)2 = ɑ2+2ɑb+b2
D．(ɑ-b)2 = ɑ2-2ɑb+b2
7．（2020春 淮阴区期中）若2a+b = -3，2a-b = 2，则4a2-b2 = ．
8．（2019秋 宁都县期末）计算：
2020×2018-20192 = ．
9.计算：99×101×10001.
10.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B
7.-6 8.-1
9.解：原式 =(100-1)(100+1)×10001
=(1002-1)×10001
=(10000-1)(10000+1)
= 100000000-1
= 99999999.
10.解：原式 = (x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
= (x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
= (x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)
= (x16-y16)(x16+y16)
= x32-y32.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.科学探究
给出下列算式: 32-12 = 8 = 8×1；
52-32 = 16 = 8×2；
72-52 = 24 = 8×3；
92-72 = 32 = 8×4.
(1)观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
.
(2)用含n的式子表示出来 (n为正整数).
(3)计算 20052-20032 = . 此时n = .
2.(1)填空：
(ɑ-b)(ɑ+b)= __________；
(ɑ-b)(ɑ2+ɑb+b2)= __________；
(ɑ-b)(ɑ3+ɑ2b+ɑb2+b3)= ___________．
(2)猜想：
(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)= ______(其中n为正整数，且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：29-28+27-…+23-22+2.
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.（1）连续两个奇数的平方差是 8 的倍数
（2）(2n+1)2-(2n-1)2 = 8n
（3）8016；1002
2.（1）ɑ2-b2；ɑ3-b3；ɑ4-b4
（2）an-bn
（3）∵[（2-（-1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）
= 210﹣110，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1
=（210﹣110）÷3
= 341，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
=341+1
= 342．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
平方差公式：(ɑ+b)(ɑ-b) = ɑ2-b2.
平方差公式的逆用：ɑ2-b2 = (ɑ+b)(ɑ-b).
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】