14.2.3 完全平方公式 第二课时 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解
·14.2乘法公式·
完全平方公式 第二课时
教案
班级： 课时： 课型：
一、学情分析
学生在前面学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法，为学习完全平方公式奠定了基础.通过公式简化某些整式的运算，对培养学生的求简意识有较大的好处.
教学目标
1.理解添括号法则；
2.通过添括号灵活应用乘法公式进行计算．
三、重点难点
【教学重点】
通过添括号灵活应用乘法公式进行计算．
【教学难点】
在整式的乘法中适当添括号使其具备乘法公式的特征．
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.老师带领学生回顾平方差公式和完全平方公式吗？并询问它们有什么特征？
完全平方公式：
(a+b)2 = a2+2ab+b2，
(a-b)2 = a2-2ab+b2.
（答案）结构特征：(首±尾)2 = 首2±2×首×尾+尾2
2.老师让学生运用乘法公式计算，巡查学生有没有哪里算错，等下讲解时一同指出.
（1）(3x+2)(3x-2) =
（2）(2ɑ+b)2 =
（3）(y-2)2 =
（答案）（1）(3x+2)(3x-2) = 9x2-4
（2）(2ɑ+b)2 = 4ɑ2+4ɑb+b2
（3）(y-2)2 = y2-4y+4.
3.老师抛出新问题，对于(x+2y-3)(x-2y+3)和 (ɑ+b+c)2是否也可以用乘法公式计算吗？学生通过观察式子发现和所学的平方差公式和完全平方公式有所不同，老师追问哪不同，学生回答符号不一样.老师询问那我们可不可以通过改变符号使它们变成我们熟悉的式子呢？让学生小组讨论，大胆尝试.
设计意图：通过温故而知新的教学内容回顾，避免学生遗忘所学知识.同时用新问题做引子，锻炼学生的合作交流能力.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.老师带领学生回顾括号法则，唤醒学生记忆.
去括号：ɑ+(b+c)= ɑ-(b+c)=
添括号：ɑ+b+c = ɑ-b-c =
(答案）ɑ+(b+c)=ɑ+b+c ɑ-(b+c)=ɑ-b-c
ɑ+b+c = ɑ+(b+c) ɑ-b-c =ɑ-(b+c).
老师让学生观察ɑ+b+c和ɑ-b-c，发现ɑ+b+c添括号后符号都没有发生变化，而ɑ-b-c添括号后符号都均发生变化，从而得出结论.
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.(遇“加”不变，遇“减”都变.)
3.在等号右边的括号内填上适当的项:
（1）ɑ+b+c = ɑ+( )；
（2）ɑ-b-c = ɑ-( )；
（3）ɑ-b+c = ɑ-( )；
（4）ɑ+b+c = ɑ-( ).
(答案）（1）ɑ+b+c = ɑ+( b+c )；
（2） ɑ-b-c = ɑ-( b+c )；
（3）ɑ-b+c = ɑ-( b-c )；
（4） ɑ+b+c = ɑ-( -b-c ).
4.判断下列运算是否正确，不正确的请改正.
（1）2ɑ-b-2c = 2ɑ-(b-2c)
（2）m-3n+2ɑ-b = m+( 3n+2ɑ-b)
（3）2y-3y+2 = -( 2y+3y-2)
ɑ-2b-4c+5 = (ɑ-2b)-(4c+5)
（答案）（1）2ɑ-b-2c = 2ɑ-(b+2c)
（2）m-3n+2ɑ-b = m+( -3n+2ɑ-b)
（3）2y-3y+2 = -( -2y+3y-2)
（4）ɑ-2b-4c+5 = (ɑ-2b)-(4c-5)
5.为下列式子添上括号，使得其可运用平方差公式或完全平方公式进行运算，如（1）.
（1）(ɑ+2b-1)2= [ɑ+(2b-1)]2
（2）(2x+y+z)(2x-y-z)=
（3）(ɑ-b+c)(ɑ+b-c)=
（4）(2ɑ+3b-1)(1-2ɑ-3b)=
(答案）（2）[2x+(y+z)][2x-(y+z)]
（3）[ɑ-(b-c)][ɑ+(b-c)]
（4）(2ɑ+3b-1)[-(2ɑ+3b-1)]
学生独立思考完成这三道大题，老师给予评讲，重点关注学生是否能灵活的运用完全平方公式进行简化.
设计意图：通过观察分析式子，由特殊到一般总结规律.同时通过三道计算题层层递进考察学生对新知识的掌握程度.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.运用乘法公式计算:
（1）(x+2y-3)(x-2y+3)（2）(2x+y+z)(2x-y-z)
例2.运用乘法公式计算:
（1）(ɑ+b+c)2 （2）(ɑ+2b-1)(-ɑ-2b+1)
例3.已知a、b满足(2a+2b+3)(2a+2b-3) = 55，求a+b的值．
设计意图：本环节结合三道例题进行讲解，考察学生对新知识的掌握熟练程度，巩固理论.
【答案】
例1.（1）解：原式 = [x+(2y-3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9
（2）解：原式 = [2x+(y+z)][2x-(y+z)]
= (2x)2-(y+z)2
= 4x2-(y2+2yz+z2)
= 4x2-y2-z2-2yz.
例2.解：（1）原式 = [(ɑ+b)+c]2
= (ɑ+b)2+2(ɑ+b)c+c2
= ɑ2+2ɑb+b2+2ɑc+2bc+c2
= ɑ2+b2+c2+2ɑb+2bc+2ɑc
（2）解：原式 = -[(ɑ+2b)-1]2
= -[(ɑ+2b)2-2(ɑ+2b)×1+1]2
= -(ɑ2+4ɑb+4b2-2ɑ-4b+1)
= -ɑ2-4ɑb-4b2+2ɑ+4b-1
例3.解：∵ (2a+2b+3)(2a+2b-3) = 55，
∴ 4(a+b)2-9 = 55，
∴ (a+b)2 = 16，
∴ a+b = ±4．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1．将多项式 3x3-2x2+4x-5 添括号后正确的是( )
A.3x3-(2x2+4x-5) B.(3x3+4x)-(2x2-5)
C.(3x3-5)-(2x2-4x) D.2x2+(3x3+4x-5)
2.下列添括号正确的是( )
A.ɑ-b+c = ɑ-(b+c) B.ɑ+b-c = a-(b-c)
C.ɑ-b-c = ɑ-(b+c) D.a-b+c-d = (ɑ+c)-(b-d)
3.下列添括号错误的是( )
A.ɑ2-b2-b+ɑ = ɑ2-b2+(ɑ-b)
B.(ɑ+b+c)(ɑ-b-c) = [ɑ+(b+c)][ɑ-(b+c)]
C.ɑ-b+c-d = (ɑ-d)+(c-b)
D.ɑ-b = -(b+ɑ)
4.已知2ɑ-3b2 = 5，则10-2ɑ+3b2的值是 ．
5．应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，则下列变形正确的是( )
A.[x-(2y+1)]2
B.[x+(2y+1)]2
C.[x+(2y-1)][x-(2y-1)]
D.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]
设计意图：本环节在于夯实基础，通过解答简单练习让学生在习题中找到学习的乐趣，增强学生学习的主动性.
【答案】
1.C 2. C 3.D 4.5 5.C
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.将多项式 a-3b+6 添括号后正确的是( )
A. a-(3b+6) B.a+(3b-6)
C. a-(3b-6) D.a+(3b+6)
2.下列添括号正确的是( )
A.-ɑ+b-c = -ɑ-(c-b) B.ɑ-b+c = a-(b+c)
C.ɑ-b-c = ɑ-(b-c) D.-a-b+c = c-(a-b)
3.下列式子中不能用乘法公式计算的是( )
A.(ɑ+b-c)(ɑ-b+c)
B.(ɑ-b-c)2
C.(2ɑ+b+2)(ɑ-2b-2)
D.(2ɑ+3b-1)(1-2ɑ-3b)
4.计算(ɑ+1)2(ɑ-1)2的结果是( )
A.ɑ4-1 B.ɑ4+1
C.ɑ4+2ɑ2+1 D.ɑ4-2ɑ2+1
5.下列式子中可以用完全平方公式计算的是( )
A.(ɑ+b-3)(ɑ-b+3) B.(2ɑ-b-c)(2ɑ-b+c)
C.(ɑ+b+2)(ɑ-b-2) D.(ɑ+b-5)(5-ɑ-b)
6.化简(ɑ+b+c)2-(ɑ-b+c)2的结果为( )
A．4ɑb+4bc B．4ɑc
C．2ɑc D．4ɑb-4bc
7.在用乘法公式计算(2ɑ+b-1)(2ɑ-b+1)时，
应变形成 .
8.(x-2y+z)2 = .
9.计算：(2b-3c+4)(3c-2b+4)-2(b-c)2 = .
10.（1）已知ɑ(ɑ-1)-(ɑ2-b)=4，求-ɑb的值.
（2）计算：(a-b+c)2+(m+b-c)(m-b+c)．
设计意图：通过本环节的练习，深化学生对知识的运用，使得学生对完全平方公式的掌握更加牢固.
【答案】
C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A
7.[2a+(b-1)][2a-(b-1)] 8.x2-4xy+4y2+2xz-4yz+z2
9.-6b2-11c2+16bc+16
10.解：（1）由已知得-ɑ+b = 4，∴ɑ-b = -4，
∴ -ɑb =(ɑ2+b2-2ɑb)= (ɑ-b)2=8.
（2）解：原式 = [a-(b-c)]2+[m+(b-c)][m-(b-c)]
= a2-2a(b-c)+(b-c)2+m2-(b-c)2
= a2-2ab+2ac+m2.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1．已知(a-2019)2+(2020-a)2 = 5，求(a-2019)(a-2020)的值.
2.长方形ABCD的周长为14，在它的每条边上向外以该边为边长作正方形，已知这四个正方形的面积和为50，求这个长方形ABCD的面积．
设计意图：本环节习题深化了知识的深度和广度，对学生的思维启发有较大的帮助，展现了教学有梯度.
【答案】
1.解：∵ [(a-2019)+(2020-a)]2
= (a-2019)2+2(a-2019)(2020-a)+(a-2020)2，
∴(a-2019)(a-2020)=
== 2.
2.解：设长方形的长为ɑ，宽为b，根据题意得 2(ɑ+b) = 14，2ɑ2+2b2 = 50，即ɑ+b = 7，ɑ2+b2 = 25，
∵ (ɑ+b)2 = ɑ2+b2+2ɑb，即49 = 25+2ɑb，
∴ ɑb = 12，则长方形ABCD的面积为 12.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
2.通过添括号灵活应用乘法公式计算．
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】