14.1.7同底数幂的除法 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解
·14.1.7 同底数幂的除法·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在小学学段就学习过数的除法，了解除数不能为0；七年级又学习了有理数运算和整式的加减，理解了正整数指数幂的意义；在这一章前面几节课中还学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三种幂的运算，会用法则进行计算，具备了类比有理数的运算进行整式的运算的知识基础.
二、教学目标
1.掌握同底数幂的除法运算法则；
2.熟练运用同底数幂的除法法则进行计算；
3.理解零指数幂的意义．
三、重点难点
【教学重点】
熟练运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
【教学难点】
灵活运用幂的运算性质进行有关计算.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.师生一起复习前面学过的一些运算法则：
（1）同底数幂乘法法则:
am ·an = am+n (m，n都是正整数)；
（2）幂的乘方法则:
(am)n = amn (m，n都是正整数)；
（3）积的乘方法则:
(ab)n = a nbn (n是正整数).
2.人们以分贝为单位来表示声音的强弱.通常说话的声音是 50 分贝，它表示声音的强度是 105；摩托车发出的声音是 110 分贝，它表示声音的强度是1011.请问，摩托车的声音强度是说话声音强度的多少倍呢？
1011÷105= ？（引出课题）
设计意图：通过对已学的知识进行回顾，巩固学生的基础，并通过一个生活中的例子引入新课.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.计算：
（1）1011÷105 =106；
（2）25÷23 =22；
（3）a7÷a3 = a4.(a≠0)
师：你能发现什么规律？
学生猜想：猜想：am÷an = am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）.
师：2.你能证明前面的猜想吗？
引导学生用两种方法证明猜想：
得到：同底数幂除法法则 ：
am÷an = am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）.
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减.
师：3.当三个或三个以上同底数幂相除时，是否也具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
ɑm÷ɑn÷ɑp
= (ɑm÷ɑn)÷ɑp
= ɑm-n÷ɑp
= ɑm-n-p
am÷an÷ap = am-n-p
(a≠0，m，n，p都是正整数,并且m＞n+p).
4.分别根据除法的意义填空，你能得什么结论
（1）32÷32 = ( 1 )；
（2）103÷103 = (1)；
（3）am÷am = (1)(a≠0).
师：再利用am÷an = am-n计算，发现了什么？
32÷32 = 32-2 = 30；
103÷103 = 103-3 = 100；
am÷am = am-m = a0.
计算后得到：a0 = 1 (a≠0).
即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
am÷an = am-n (a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n)
设计意图：通过观察、猜想、验证，利用乘法和除法的关系，结合同底数幂相乘的法则，得出同底数幂的除法法则.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1：计算：
（1）x8÷x2； （2）(ab)5÷(ab)3；
（3）(xy)4÷(xy)； （4）(-b)2m+2÷(-b)2m .
例2：计算：
（1）(-ɑ2)4÷(ɑ3)2×ɑ4；
（2）(x-y)12÷(y-x)11+(-x-y)3÷(x+y)2.
例3.已知：xa = 4，xb = 9，求（1）xa-b；（2）x3a-2b.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生进一步掌握同底数幂的除法法则.
【答案】
例1.解：（1）x8÷x2= x8-2 = x6;
（2）(ab)5÷(ab)3=(ab)5-3 =(ab)2= a2b2;
（3）(xy)4÷(xy) =(xy)4-1=(xy)3= x3y3;
（4）(-b)2m+2÷(-b)2m =(-b)2m+2-2m=(-b)2= b2.
例2.解：（1）(-ɑ2)4÷(ɑ3)2×ɑ4= ɑ8÷ɑ6·ɑ4= ɑ8-6+4= ɑ6；
（2）(x-y)12÷(y-x)11+(-x-y)3÷(x+y)2
= (y-x)12÷(y-x)11+[-(x+y)]3÷(x+y)2
= (y-x)12-11-(x+y)3-2
= (y-x)-(x+y)
= y-x-x-y
= -2x.
例3.解：当xa = 4，xb = 9 时，
（1）xa-b = xa÷xb
= 4÷9 = .
（2）x3a-2b = x3a÷x2b
=(xa)3÷(xb)2
= 43÷92
= .
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1．下列计算错误的是( )
A．a10÷a5 = a5
C．x3÷x = x2
B．108÷108 = 0
D．(-m)4÷(-m)2 = m2
2．下列运算正确的是( )
A．a+2a = 3a2
C．a8÷a2 = a6
B．3a3·2a2 = 6a6
D．(2a)3 = 6a3
3．若a6m÷ax = a2m，则x的值是( )
A．4m B．3m C．3 D．2m
4．下列各式的计算中一定正确的是( )
A．(2x-3)0 = 1 B．π0 = 0
C．(a2-1)0 = 1 D．(m2+2)0 = 1
5．若(-5)3m+9 =1，则m = ___；当x____时，
(x-4)0 = 1.
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.B 2.C 3.A 4.D 5.-3,≠4
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1．下列各式计算的结果为a5 的是（ ）
A．a3+a2 B．a10÷a2 C．a a4 D．(-a3)2
2．计算(2020-π)0 的结果是（ ）
A．0 B．1 C．2020-π D．π-2020
3．若(x-1)0 = 1，则（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≠1 D．x≠0
4．计算a2 a4÷(-a2)2 的结果是（ ）
A．a B．a2 C．-a2 D．a3
5．若2x = m，2y = n，则2x-y等于（　　）
A． B．mn C．2mn D．m+
6．若am = 3，an = 2，则am-2n的值是（　　）
A．1 B． C． D．12
7.若(x-1)0有意义，x的取值范围为 .
8.已知2a÷22b = 16，则代数式a-2b+1 的值是　　．
9.若 32 92a+1÷27a+1 = 81，求a的值．
10. （2019春 漳浦县期中）已知 am = 2，an = 4，ak = 32(a≠0) ．
（1）求a3m+2n-k的值；
（2）求k-3m-n的值．
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C
7.x≠2 8.5
9.解：∵ 32 92a+1÷27a+1 = 81，
∴ 32 34a+2÷33a+3 = 34，
∴ 2+4a+2-3a-3 = 4，
解得：a = 3．
10.解：（1）∵ a3m = 23，a2n = 42 = 24，ak = 32 = 25，
∴ a3m+2n-k = a3m a2n÷ak= 23 24÷25= 23+4-5= 22 = 4；
（2）∵ ak-3m-n = 25÷23÷22= 20 = 1
= a0，
∴ k-3m-n = 0．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.已知常数a、b满足 3a×32b = 27，且(5a)2×(52b)2÷(53a)b = 1，求ab的值．
2.（1）若 33 9m+4÷272m-1的值为 729，试求m的值；
（2）已知 3m = 4，3m-4n = ，求 2020n的值．
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.解：∵ 3a×32b = 27，
∴ 3a+2b = 33，故a+2b = 3，
∵ (5a)2×(52b)2÷(53a)b = 1，
∴ 52a+4b÷53ab = 1，
∴ 2a+4b-3ab = 0，
∵ a+2b = 3，
∴ 6-3ab = 0，
则ab = 2.
2.解：（1）∵ 33 9m+4÷272m-1
= 33 32(m+4)÷33(2m-1)
= 33+2(m+4)-3(2m-1)
= 729
= 36，
∴ 3+2(m+4)-3(2m-1) = 6，
解得：m = 2；
（2）∵ 3m = 4，
∴ 3m-4n = 3m÷34n = 4÷34n = ，
∴ 34n = 81 = 34，
∴ 4n = 4，
解得：n = 1，
∴ 2020n = 2020．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：1.同底数幂的除法法则：
am÷an = am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)，
逆用： am-n = am÷an.
推广： am÷an÷ap = am-n-p，
(a≠0,m，n，p都是正整数,并且m＞n+p).
2.任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.
a0 = 1(a≠0)
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】