14.1.6 多项式乘多项式 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 14.1.6 多项式乘多项式 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 144.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:08:23 | ||
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文档简介
第十四章 整式的乘法与因式分解
·14.1.6 多项式乘多项式·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在进行本节课的学习前已经学习过单项式乘单项式、单项式乘多项式，为本节课学习多项式乘多项式做好了铺垫.
二、教学目标
1.理解多项式与多项式相乘的乘法法则的推导过程；
2.掌握多项式与多项式相乘的乘法法则，能熟练地进行多项式乘法的运算．
三、重点难点
【教学重点】
多项式与多项式相乘的法则及应用．
【教学难点】
综合运用整式乘法法则进行有关化简计算.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
师：1.如何进行单项式乘单项式的运算？
生：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单×单= (系数×系数)(同底数幂×同底数幂)(单独的幂)
例子：(-2a2b3c)(3ab)= (-2×3)(a2 a)(b3 b) c= -6a3b4c.
师：2.如何进行单项式乘多项式的运算？
生：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加.
例子：p(a+b+c)= pa+pb+pc.
设计意图：通过对已学的知识进行回顾，巩固学生的基础，减小新学知识的难度.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.探究：
为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a 米、宽 p 米的长方形绿地，加长了 b 米，加宽了 q 米，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
引导学生用三种方法表示面积：
方法一：看成一个大长方形：(a+b)(p+q).
方法二：看成两个长方形的组合：a(p+q)+b(p+q).
方法三：看成四个长方形的组合：ap+aq+bp+bq.
得到：(a+b)(p+q) = a(p+q)+b(p+q) =ap+aq+bp+bq.
把多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题.
师：总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即
得到：多项式与多项式相乘的运算法则：
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
设计意图：通过用三种不同的方法表示长方形的面积得到相应等式，进而得到多项式乘多项式的法则.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1：（1）(3x+1)(x+2)，（2）(x-8y)(x-y)，
（3）(x+y)(x2-xy+y2).
例2.计算：4y(x+2xy-y) (2x+y 1)[(2y)2+4x].
例3：(1+x)(2x2+ax+1)的结果中不含x2的项，求a的值.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生进一步掌握多项式乘多项式的法则.
【答案】
例1.解：（1）(3x+1)(x+2)= 3x2+6x+x+2
= 3x2+7x+2；
（2）(x-8y)(x-y)= x2-xy 8xy+8y2
= x2 9xy+8y2；
（3）(x+y)(x2-xy+y2)
= x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3.
例2.解：原式= 4xy+8xy2-4y2 (2x+y 1)(4y2+4x)
= 4xy+8xy2-4y2 (8xy2+8x2+4y3+4xy-4y2-4x)
= 4xy+8xy2-4y2 8xy2-8x2-4y3-4xy+4y2+4x
= -8x2-4y3+4x.
例3.解：原式 = 2x2+ax+1+2x3+ax2+x
= 2x3+2x2+ax2+x+ax+1
= 2x3+(2+a)x2+(1+a)x+1,
由题意得：2+a = 0，
解得：a = 2.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列计算结果是x2-5x-6的是( )
A.(x+6)(x-1) B.(x-6)(x+1)
C.(x-2)(x+3) D.(x-3)(x+2)
2.下列计算错误的是( )
A.(x+1)(x+4) = x2+5x+4
B.(m 2)(m+3) = m2+m 6
C.(y+4)(y 5) = y2+9y 20
D.(x 3)(x 6) = x2 9x+18
3.若(x+2)(x-1) = x2+mx+n，则m+n = ( )
A.1 B.-2 C.-1 D.2
4. （2020春 滨海县期中）若长方形的长为a+3b，宽为a+b，则这个长方形的面积为 ．
5.计算：
（1）(x+2)(x 3);
（2）(3x 1)(2x+1).
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.B 2.C 3.C 4.a2+4ab+3b2
5.解：（1）(x+2)(x 3)
= x2 3x+2x 6
= x2 x 6；
（2）(3x 1)(2x+1)
= 6x2+3x 2x 1
= 6x2+x 1.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2020春 太原期中）计算(a+1)(a 3)的结果是（ ）
A．a2+2a 3 B．a2+2a+3
C．a2 2a 3 D．a2 4a 3
2.（2020春 奉化区期中）如果x+m与x+8 的乘积中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A． 8 B．8 C．0 D．1
3.（2019秋 白云区期末）化简(x+4)(x 1)+(x 4)(x+1)的结果是（ ）
A．2x2 8 B．2x2 x 4
C．2x2+8 D．2x2+6x
4.（2020春 遵化市期中）如果关于x的多项式(2x m)与(x+5)的乘积中，常数项为 15，则m的值为（ ）
A．3 B． 3 C．10 D． l0
5.（2019秋 太仆寺旗期末）若多项式(x+1)(x 3) = x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a = 2，b = 3 B．a = 2，b = 3
C．a = 2，b = 3 D．a = 2，b = 3
6.（2019秋 武昌区校级月考）已知(x2+px+8)(x2 3x+q)展开后不含x2与x3的项，则qp = ．
7.如图，长方形的长为a，宽为b，横、纵向阴影部分均为长方形，它们的宽都为c，则空白部分的面积是 .
8.（2020春 青羊区期末）已知x2+x =3，则代数式(x+4)(x﹣3)的值为 ．
9.（2019秋 大荔县期末）已知a+b = 4，ab = 3，求代数式 (a+2)(b+2)的值．
10.（2019春 沙坪坝区校级月考）若(2x2 mx+6)(x2 3x+3n)的展开式中x2项的系数为 9，x3项的系数为 1，求m-n的值．
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
C 2.A 3.A 4.B 5.B
6.1 7.ab-bc-ac+c2 8.-9
解：原式 = ab+2a+2b+4
= ab+2(a+b) +4 ，
当a+b = 4，ab = 3时，
∴ 原式 = 3+8+4= 15．
10.解：(2x2 mx+6)(x2 3x+3n)
= 2x4 (m+6)x3+(6n+3m+6)x2 3(6+mn)x+18n，
∵ 展开式中x2项的系数为9，x3项的系数为1，
∴ 6n+3m+6 = 9，m+6 = 1．
解得m = 7，n = 4．
∴ m n = 7 4= 11．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.甲、乙二人共同计算整式乘法(2x+a)(3x+b).由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为 6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为 2x2-9x+10.
（1）你能知道式子中a，b的值各是多少吗？
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.
2.计算： ①(x+2)(x+3); ②(x-4)(x+1);
③(y+4)(y-2) ; ④(y-5)(y-3).
（1）由前面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x+p)(x+q)=( )2+( )x+( )
（2）根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？
（3）根据上述结论计算：
①(x+1)(x+2) = ；
②(x+1)(x-2) = ；
③(x-1)(x+2) = ；
④(x-1)(x-2) = .
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.解：（1）由题意知，甲做的整式乘法的式子为(2x-a)(3x+b)，
乙做的整式乘法的式子为(2x+a)(x+b).
(2x-a)(3x+b) = 6x2-(3a-2b)x-ab = 6x2+11x-10.
(2x+a)(x+b) = 2x2+(a+2b)x+ab = 2x2-9x+10.
∴-(3a-2b)= 11， a+2b=-9，
解得：a=-5，b=-2.
（2）(2x+a)(3x+b)
= (2x-5)(3x-2)
= 6x2-19x+10.
2.①(x+2)(x+3) = x2+5x+6;
②(x-4)(x+1) = x2-3x-4;
③(y+4)(y-2) = y2+2y-8;
④(y-5)(y-3)= y2-8y+15.
（1）x，p+q，pq.
（2）(x+p)(x+q) = x2+(p+q)x+pq.
（3）①(x+1)(x+2) = x2+3x+2；
②(x+1)(x-2) = x2-x-2；
③(x-1)(x+2) = x2+x-2；
④(x-1)(x-2) =x2-3x+2.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
注意：运算结果一定要合并同类项.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·14.1.6 多项式乘多项式·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在进行本节课的学习前已经学习过单项式乘单项式、单项式乘多项式，为本节课学习多项式乘多项式做好了铺垫.
二、教学目标
1.理解多项式与多项式相乘的乘法法则的推导过程；
2.掌握多项式与多项式相乘的乘法法则，能熟练地进行多项式乘法的运算．
三、重点难点
【教学重点】
多项式与多项式相乘的法则及应用．
【教学难点】
综合运用整式乘法法则进行有关化简计算.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
师：1.如何进行单项式乘单项式的运算？
生：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单×单= (系数×系数)(同底数幂×同底数幂)(单独的幂)
例子：(-2a2b3c)(3ab)= (-2×3)(a2 a)(b3 b) c= -6a3b4c.
师：2.如何进行单项式乘多项式的运算？
生：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加.
例子：p(a+b+c)= pa+pb+pc.
设计意图：通过对已学的知识进行回顾，巩固学生的基础，减小新学知识的难度.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.探究：
为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a 米、宽 p 米的长方形绿地，加长了 b 米，加宽了 q 米，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
引导学生用三种方法表示面积：
方法一：看成一个大长方形：(a+b)(p+q).
方法二：看成两个长方形的组合：a(p+q)+b(p+q).
方法三：看成四个长方形的组合：ap+aq+bp+bq.
得到：(a+b)(p+q) = a(p+q)+b(p+q) =ap+aq+bp+bq.
把多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题.
师：总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即
得到：多项式与多项式相乘的运算法则：
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
设计意图：通过用三种不同的方法表示长方形的面积得到相应等式，进而得到多项式乘多项式的法则.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1：（1）(3x+1)(x+2)，（2）(x-8y)(x-y)，
（3）(x+y)(x2-xy+y2).
例2.计算：4y(x+2xy-y) (2x+y 1)[(2y)2+4x].
例3：(1+x)(2x2+ax+1)的结果中不含x2的项，求a的值.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生进一步掌握多项式乘多项式的法则.
【答案】
例1.解：（1）(3x+1)(x+2)= 3x2+6x+x+2
= 3x2+7x+2；
（2）(x-8y)(x-y)= x2-xy 8xy+8y2
= x2 9xy+8y2；
（3）(x+y)(x2-xy+y2)
= x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3.
例2.解：原式= 4xy+8xy2-4y2 (2x+y 1)(4y2+4x)
= 4xy+8xy2-4y2 (8xy2+8x2+4y3+4xy-4y2-4x)
= 4xy+8xy2-4y2 8xy2-8x2-4y3-4xy+4y2+4x
= -8x2-4y3+4x.
例3.解：原式 = 2x2+ax+1+2x3+ax2+x
= 2x3+2x2+ax2+x+ax+1
= 2x3+(2+a)x2+(1+a)x+1,
由题意得：2+a = 0，
解得：a = 2.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列计算结果是x2-5x-6的是( )
A.(x+6)(x-1) B.(x-6)(x+1)
C.(x-2)(x+3) D.(x-3)(x+2)
2.下列计算错误的是( )
A.(x+1)(x+4) = x2+5x+4
B.(m 2)(m+3) = m2+m 6
C.(y+4)(y 5) = y2+9y 20
D.(x 3)(x 6) = x2 9x+18
3.若(x+2)(x-1) = x2+mx+n，则m+n = ( )
A.1 B.-2 C.-1 D.2
4. （2020春 滨海县期中）若长方形的长为a+3b，宽为a+b，则这个长方形的面积为 ．
5.计算：
（1）(x+2)(x 3);
（2）(3x 1)(2x+1).
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.B 2.C 3.C 4.a2+4ab+3b2
5.解：（1）(x+2)(x 3)
= x2 3x+2x 6
= x2 x 6；
（2）(3x 1)(2x+1)
= 6x2+3x 2x 1
= 6x2+x 1.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2020春 太原期中）计算(a+1)(a 3)的结果是（ ）
A．a2+2a 3 B．a2+2a+3
C．a2 2a 3 D．a2 4a 3
2.（2020春 奉化区期中）如果x+m与x+8 的乘积中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A． 8 B．8 C．0 D．1
3.（2019秋 白云区期末）化简(x+4)(x 1)+(x 4)(x+1)的结果是（ ）
A．2x2 8 B．2x2 x 4
C．2x2+8 D．2x2+6x
4.（2020春 遵化市期中）如果关于x的多项式(2x m)与(x+5)的乘积中，常数项为 15，则m的值为（ ）
A．3 B． 3 C．10 D． l0
5.（2019秋 太仆寺旗期末）若多项式(x+1)(x 3) = x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a = 2，b = 3 B．a = 2，b = 3
C．a = 2，b = 3 D．a = 2，b = 3
6.（2019秋 武昌区校级月考）已知(x2+px+8)(x2 3x+q)展开后不含x2与x3的项，则qp = ．
7.如图，长方形的长为a，宽为b，横、纵向阴影部分均为长方形，它们的宽都为c，则空白部分的面积是 .
8.（2020春 青羊区期末）已知x2+x =3，则代数式(x+4)(x﹣3)的值为 ．
9.（2019秋 大荔县期末）已知a+b = 4，ab = 3，求代数式 (a+2)(b+2)的值．
10.（2019春 沙坪坝区校级月考）若(2x2 mx+6)(x2 3x+3n)的展开式中x2项的系数为 9，x3项的系数为 1，求m-n的值．
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
C 2.A 3.A 4.B 5.B
6.1 7.ab-bc-ac+c2 8.-9
解：原式 = ab+2a+2b+4
= ab+2(a+b) +4 ，
当a+b = 4，ab = 3时，
∴ 原式 = 3+8+4= 15．
10.解：(2x2 mx+6)(x2 3x+3n)
= 2x4 (m+6)x3+(6n+3m+6)x2 3(6+mn)x+18n，
∵ 展开式中x2项的系数为9，x3项的系数为1，
∴ 6n+3m+6 = 9，m+6 = 1．
解得m = 7，n = 4．
∴ m n = 7 4= 11．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.甲、乙二人共同计算整式乘法(2x+a)(3x+b).由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为 6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为 2x2-9x+10.
（1）你能知道式子中a，b的值各是多少吗？
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.
2.计算： ①(x+2)(x+3); ②(x-4)(x+1);
③(y+4)(y-2) ; ④(y-5)(y-3).
（1）由前面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x+p)(x+q)=( )2+( )x+( )
（2）根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？
（3）根据上述结论计算：
①(x+1)(x+2) = ；
②(x+1)(x-2) = ；
③(x-1)(x+2) = ；
④(x-1)(x-2) = .
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.解：（1）由题意知，甲做的整式乘法的式子为(2x-a)(3x+b)，
乙做的整式乘法的式子为(2x+a)(x+b).
(2x-a)(3x+b) = 6x2-(3a-2b)x-ab = 6x2+11x-10.
(2x+a)(x+b) = 2x2+(a+2b)x+ab = 2x2-9x+10.
∴-(3a-2b)= 11， a+2b=-9，
解得：a=-5，b=-2.
（2）(2x+a)(3x+b)
= (2x-5)(3x-2)
= 6x2-19x+10.
2.①(x+2)(x+3) = x2+5x+6;
②(x-4)(x+1) = x2-3x-4;
③(y+4)(y-2) = y2+2y-8;
④(y-5)(y-3)= y2-8y+15.
（1）x，p+q，pq.
（2）(x+p)(x+q) = x2+(p+q)x+pq.
（3）①(x+1)(x+2) = x2+3x+2；
②(x+1)(x-2) = x2-x-2；
③(x-1)(x+2) = x2+x-2；
④(x-1)(x-2) =x2-3x+2.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
注意：运算结果一定要合并同类项.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】