2023--2024学年人教版八年级数学上册 14.1.3 积的乘方 教案

第十四章 整式的乘法与因式分解
·14.1整式的乘法·
第三课时 积的乘方
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在进行本节课的学习前已经学习过同底数幂的乘法、幂的乘方，是学习本节内容的基础，对积的乘方的运算性质的推导验证具有基础性作用.
二、教学目标
1.经历探索积的乘方的过程，理解积的乘方的意义；
2.熟练运用积的乘方法则进行计算.
三、重点难点
【教学重点】
积的乘方运算法则及其应用．
【教学难点】
综合运用幂的三个运算法则进行有关计算.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.同底数幂的乘法运算法则:
ɑ m·ɑ n=ɑm+n（m,n都是正整数）.
幂的乘方运算法则:
(ɑ m)n=ɑ mn(m、n都是正整数).
2.若已知一个正方体的棱长为 2×103 cm,你能计算出它的体积是多少吗？
V=(2×103)3（cm3）.
师：它是幂的乘方的形式吗？
生：不是.
师：底数是 2 和 103 的乘积，虽然 103 是幂，但总体来看，它是积的乘方.
师追问：积的乘方如何运算呢？（引出课题）
设计意图：通过对已学的知识进行回顾，巩固学生的基础，减小新学知识的难度.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.剪一剪，想一想
正方形的边长为4a，你可以求出小正方形的面积吗？
2.切一切，议一议
正方体的棱长为4a，你可以求出切割后小正方体的体积吗？
探究活动二
1.填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
（1）(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)
=ɑ( )b( )；
（2）(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)
=ɑ( )b( ).
师：你能得到什么猜想？
生：(ɑb)n =ɑnbn (n为正整数).
2.猜想证明：
总结：积的乘方法则：
(ɑb)n =ɑnbn (n为正整数).
积的乘方，等于把积的每个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 .
推广：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(ɑbc)n=ɑnbncn （n为正整数）.
逆运用：
ɑnbn=(ɑb)n （n为正整数）.
设计意图：促进小组合作学习氛围，提高学生学习积极性，更好地体现“学生为主体”的教学思想.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1:计算:（1）(2ɑ)3；（2）(-5b)3；
（3）(xy2)2； （4）(-2x3)4.
例2：计算：（1）(x2)2+(-2x2)3；
（2）(-3x2)2 x4+x5 x3．
例3:（1）(-0.5)3×83；
（2）(-0.25)2020×42020；
（3）0.22020×0.42019×12.52019.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生进一步掌握积的乘方运算法则，并了解积的乘方的逆运算.
【答案】
例1.解：（1）原式=23ɑ3= 8ɑ3；
（2）原式=(-5)3b3= -125b3；
（3）原式=x2(y2)2=x2y4；
（4）原式=(-2)4(x3)4=16x12.
例2.解：（1）原式=x4+(-2)3x6=x4-8x6；
（2）原式=9x4 x4+x8=9x8+x8=10x8.
例3.解：（1）原式 =(-0.5×8)3= (-4)3= -64;
（2）原式 =(-0.25×4)2020= (-1)2020=1;
（3）原式 =0.2×0.22019×0.42019×12.52019=0.2×(0.2×0.4×12.5)2019=0.2×12019= 0.2.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1．计算(-xy3)2的结果是( )
A．x2y6 B．-x2y6
C．x2y9 D．-x2y9
2．计算(-2x2y)3 的结果是 ( )
A．-8x6y3 B．6x6y3
C．-8x5y3 D．-6x5y3
3.计算(-)99·()100结果正确的是（ ）.
A. B.- C. D.-
4.若(ɑnbm)3=ɑ9b15，则( )
A．m=3，n=6 B．m=5，n=3
C．m=12，n=3 D．m=9，n=3
5．若x2n=2，y3n=3，则(xy)6n=_______．
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.A 2.A 3.D 4.B 5.72
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2020 金州区一模）计算(-3x)3的结果是（　　）
A．-27x3 B．-9x3 C．9x3 D．27x3
2.下列各式中，正确的个数有（ ）
①(2x2)3=6x6; ②(ɑ3y3)2=(ɑy)6;
③(-x2)3=-x6; ④(-3ɑ2b2)4=81ɑ8b8 .
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3.（宁波·中考）下列运算正确的是（ ）
A.x x2=x2 B.(xy)2=xy2
C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
4.（2020春 张家港市校级月考）已知2n=a，3n=b，24n=c，那么a、b、c之间满足的等量关系是（　　）
A．c=ab B．c=ab3
C．c=a3b D．c=a2b
5．计算：
（1）(2x y)2=_______；（2）(-ɑ2b3)3=________；
（3）(-2×102)5=____________．
6.判断:
(1)(ɑb2)3 =ɑb6；
(2)(3xy)3=27x3y3；
(3)(-2ɑ2)2=-4ɑ4；
(4)-(-ɑb2)2=ɑ2b4.
7.-12019+22020×()2021=　　．
8.（2020 顺德区模拟）已知am=22，bm=4，则(a2b)m= ．
9.计算：
（1）（-2x2)2·(xy4)4;
（2）[3(x+y)2]3·[-2(x+y)3]2.
10.如果(ɑnbmb)3=ɑ9b15,求m, n的值.
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
A 2.C 3.C 4.C
5.（1）4x2y2 （2）-ɑ6b9 （3）-3.2×1011
6.×，√，×，×
7.- 8.64
9.解：（1）原式=4x4y6·x4y16= 4x8y22；
（2）原式=33(x+y)6·(-2)2 (x+y)6= 27(x+y)6·4 (x+y)6= 108(x+y)12.
10.解：∵ (ɑnbmb)3=ɑ9b15,
∴ (ɑn)3·(bm)3·b3=ɑ9b15；
∴ ɑ3n·b3m·b3=ɑ9b15,
∴ ɑ3n·b3m+3=ɑ9b15,
∴ 3n=9，3m+3=15,
∴ n=3, m=4.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.若n为正整数，且x2n=2, 试求(-3x3n)2-4(-x2)2n的值.
2.已知x=3-q，y-1=2p，z=4p 27-q，用x，y表示z的代数式．
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.解：(-3x3n )2-4(-x2 )2n =9x6n -4x4n =9(x2n)3 -4(x2n)2 =9×23-4×22 =56.
2.解：由x=3-q，y-1=2p，
z=4p 27-q=(22)p (33)-q= (2p)2 (3-q)3
= x3y2．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：积的乘方法则：
指数相同可以转化为积的乘方.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】