13.3.4含有30°角的直角三角形的性质教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称
·13.3.4含30°角的直角三角形的性质·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
本课是在学生学习了轴对称图形和等边三角形有关知识的基础上探究含30°角的直角的性质定理和应用，是前面所学知识的应用与延伸.它在教材中处于非常重要的地位，是今后证明边倍数关系的重要工具，起着承前启后的作用.
二、教学目标
1．探究并证明含30°角的直角三角形的性质.
2．会应用含30°角的直角三角形的性质进行有关的计算和证明．
三、重点难点
【教学重点】
含 30°角的直角三角形的性质及应用．
【教学难点】
含 30°角的直角三角形性质的探究.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
旧知准备：
1.在等边△ABC中，AB = AC = BC ，∠A = ∠ B = ∠ C = 60 °.
2.已知△ABC，（1）∠A = ∠ B = ∠ C ，
∴ △ ABC是等边三角形.
（2） AB = AC，∠A = 60°(答案不唯一) ，
∴ △ ABC是等边三角形.
活动探究：
如图，将两个含 30°角的三角尺摆出在一起.问：△ABD是什么三角形？
学生独立思考，认为ABD是一个等边三角形，并做出如下证明：
∵ △ADC是△ABC的轴对称图形，
∴ AB = AD，∠BAD = 2×30°= 60°，
∴ △ABD是一个等边三角形.
教师提问：借助这个图形，你能找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
学生发现：BC = AB.
师生尝试用文字表述：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
师：你能证明这个结论吗？
设计意图：通过问题形式回顾旧知，促使学生温故知新，同时为新课应用判定作铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索过程中发现解决问题的关键，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，学生独立思考，尝试用不同的方法证明，感受不同的辅助线的作法及用处.
证明一：
已知：如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°.
求证：BC =AB．
证明：在△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠BAC = 30°，
∴ ∠B = 60°．
延长BC到D，使BD = AB，连接AD，
则△ABD是等边三角形．
由等边三角形的性质可知，
AC是BD边上的中线，
∴ BC =BD =AB.
证明2：
证明：在BA上截取BD = BC，连接CD.
∵ ∠B = 60°，BD = BC，
∴ △BCD是等边三角形，
∴ ∠BDC = 60°，BD = DC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠DCA = ∠BDC-∠A = 60°-30° = 30°= ∠A，
∴ AD = DC，
∴ AD = BD = BC，
∴ AB = AD+BD = 2BC.
∴ BC =AB.
证明3：
证明：作△ABC的角平分线BD，过点D作DE⊥AB于E.
∵ BD平分∠ABC，且DE⊥AB，
∴ DE = DC，∠ABD =×60° = 30°.
∴ ∠ABD = ∠A，∴ AD = BD，
∴ Rt△BDC≌Rt△BDE（HL），
同理Rt△ADE≌Rt△BDE（HL），
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE+BE = 2BC.
∴ BC =AB.
师生归纳含 30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言：
在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠B = 30°，
∴ AC =AB.
设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳得出含30°角的直角三角形的性质，知道怎样学习数学，发展学生推理证明能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30°.立柱BC、DE要多长？
例2.（2019秋 大同期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD = 3，求BD的长．
例3.某市打算在一块如下图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A = 150°，这种草皮每平方米售价a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
设计意图：通过例题的教学，培养学生的逻辑思维，提高对新学知识活学活用的能力.
【答案】
例1.解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴ BC =AB，DE =AD，　
∴ BC = 3.7(m)，　
又 AD =AB，
∴ DE =AD = 1.85(m)．　　
答：立柱BC的长是 3.7 m，DE的长是 1.85 m．　　
例2.解：∵ DE是线段AB的垂直平分线，∴ AD = BD，
∵ ∠B = 30°，∴ ∠BAD = ∠B = 30°，
又∵ ∠C = 90°
∴ ∠CAB = 90°-∠B = 90°-30° = 60°，
∴ ∠DAC = ∠CAB-∠BAD = 60°-30° = 30°，
∴ 在Rt△ACD中，CD =AD ，
∴ AD = 2CD = 2×3 = 6，
∴ BD = AD = 6．
例3.解：如图所示，作BA边上的高CD，设与BA的延长线交于点D.
∵ ∠BAC = 150°，
∵ CD⊥BD，
在Rt△ACD中，AC = 30 m，
∴ CD =AC =×30 = 15(m).
∴ S△ABC =AB×CD =×20×15 = 150(m2).
因此购买这种草皮的费用为 150a 元.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2020春 来宾期末）在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，斜边AB的长 5 cm，则BC的长为（　　）
A．2.5 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
2.（2019秋 兴安盟期末）如图，在Rt△ABC中， ∠C = 90°，∠B = 30°，CD是斜边AB上的高，AD = 3 cm，则AB的长度是（　　）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
3.（2019 连云港模拟）如图，∠AOB = 60°，点P在边OA上，OP = 8，点M、N在边OB上，PM = PN，若MN = 2，则OM的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.（2020 夹江县二模）如图，在△ABC中，AB = AC = 4，∠B =∠C = 15°．则△ABC的面积为　 　．
5.（2020 海淀区二模）如图，在△ABC中，AB = BC，∠ABC = 120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD = 1，则CD的长度为　 　．
设计意图：新知巩固，发展学生的识图能力，能在复杂图形中抓住本质，真正理解性质，掌握性质，应用性质.
【答案】
1.A 2.D 3.A 4.4. 5.2.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 常熟市期中）如图，△ABC中，∠B = 60°，AB = 8，点D在BC边上，且AD = AC.若BD =，则CD的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
2.（2019秋 岳阳期中）某商场大厅一楼到二楼的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC = 150°，大厅两层楼之间高度h = 6 m，则顾客乘电梯从B点到C点的距离是（　　）m．
A．3 B．6 C．6 D．12
3.（2019秋 江岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90°，∠A = 30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为（　　）
A．2：1 B．3：1
C．4：1 D．5：1
4.（2019秋 大洼区期末）如图，在等边三角形ABC中，BC = 2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　）
A．1 B． C． D．
5.（2020春 兰州期末）如图，在△ABC中，AB = AC = 10，∠BAC = 120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．
6.（2019 丹东）如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE = 1，则BC的长是　 　．
7.（2019秋 香洲区期末）如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF =，连接AD，则AB = 　 　．
8.（2019秋 临泉县期末）如图，Rt△ABC中，∠B = 90°，∠C = 30°，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点．试写出线段BD和DC的数量关系，并给出证明．
9.（2019秋 丹江口市期中）如图，轮船从A港出发，以 28 海里/小时的速度向正北方向航行，此时测的灯塔M在北偏东 30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东 60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？
10.（2019 沙坪坝区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD = AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB = 4MH．
设计意图：通过本环节练习，培养学生正确应用所学的知识的应用能力，发展学生合情推理能力，突出本课重点.
【答案】
1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.3. 7. .
8.解：DC = 2BD，理由是：
∵ DE是AC的垂直平分线，∴ AD = DC，
∴ ∠DAC =∠C = 30°，
∵ ∠B = 90°，
∴ ∠BAC = 60°，∴ ∠BAD = 30°，
∴ AD = 2BD，∴ DC = 2BD．
9.解：（1）据题意得，∠CBM = 60°，∠BAM = 30°，
因为∠CBM =∠BAM+∠BMA，
所以∠BMA = 30°，
所以∠BMA = ∠BAM，
所以 AB = BM，
因为AB = 28×0.5 = 14，
所以BM = 14，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为 14 海里；
（2）因为BC = 14，BM = BC 且∠CBM = 60°，
所以△BMC是等边三角形，
所以CM = BC，∠BCM = 60°，
所以CM = 14，
答：轮船与灯塔M的距离是 14 海里，灯塔M在轮船的南偏东 60°方向．
10.解：（1）∵ ∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ ∠ABC = 60°，
∵ BE是∠ABC的角平分线，
∴ ∠ABE = ∠CBE = 30°，
∵ ∠A = 30°，AC = AD，
∴ ∠ACD = ∠ADC = 75°，
∴ ∠DMB = ∠ADC-∠ABE = 45°；
证明：（2）∵ ∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ AB = 2BC，
∵ CH⊥BE，∠CBE = 30°，
∴ BC = 2CH，∴ AB = 4CH，
在Rt△CHM中，∠CMH = 45°，
∴ CH = MH，∴ AB = 4MH．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 龙岩期末）如图，AB = AC，AE = EC = CD，∠A = 60°，若EF = 2，则DF =（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（2019秋 开福区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE = CD，DM⊥BC，垂足为M，
（1）求证：M是BE的中点．
（2）若CD = 1，DE =，求△ABD的周长．
设计意图：本环节在于拓展学生知识面，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1.D
2.解：（1）连接BD，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°，AB = BC = AC，
∵ D为AC的中点，∴ ∠DBC =∠ABC = 30°，
∵ CD = CE，∴ ∠E = ∠CDE，
∵ ∠E+∠CDE = ∠ACB = 60°，
∴ ∠E = 30°，∴ ∠DBC = ∠E，∴ BD = ED，
∴ DM⊥BE，∴ M是BE的中点；
（2）由题意可知，BD = DE =，
∵ D为AC的中点，
∴ AD = CD = 1，AB = AC = 2CD = 2，
则△ABD的周长AB+AD+BD = 3+．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.含 30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.含 30°角的直角三角形性质的作用：
此性质常与直角三角形两锐角互余一起运用，是求线段长或证明线段倍分关系的重要依据.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】