13.3.2等腰三角形的判定 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 13.3.2等腰三角形的判定 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 357.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:09:51 | ||
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文档简介
第十三章 轴对称
·13.3.2等腰三角形的判定·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
等腰三角形的判定是在上一节课掌握了等腰三角形的性质的基础上进行的.它既是对等腰三角形的性质的深化和应用，又是探究等边三角形的预备知识.从初中阶段的整体知识结构来看，它在几何学习中占据了重要地位，时常出现在一些四边形、相似、圆、函数等综合性题目中，因此要求学生掌握并灵活应用.
二、教学目标
1.探索并证明等腰三角形的判定定理．
2.灵活运用等腰三角形的性质和判定定理进行证明和计算.
3.进一步体验等腰三角形轴对称的特征．
三、重点难点
【教学重点】
掌握等腰三角形的判定定理．
【教学难点】
等腰三角形性质与判定的综合运用.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
如图，小明和小红分别从A、B两处跑向终点O处，已知∠A =∠B，问跑道的长度相等吗？
师：你能说明理由吗？
设计意图：应用问题情境引入，使学生在将实际问题转化为数学问题的建模过程中，激发学生的学习兴趣.
第二环节 【合作交流 探索新知】
学生回想等腰三角形的性质，在ABC中，如果AB = AC，那么∠B =∠C，依据是等边对等角.
教师引导：反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生大胆猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
教师启发学生画图并写出已知，求证，加以证明.
如图，在△ABC中，已知∠B =∠C，求证：AB = AC.
证明：作△ABC的角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD(AAS).
∴ AB = AC.
归纳等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. (简写成“等角对等边”).
符号语言：
在△ABC中，∵ ∠B =∠C，
∴ AB = AC(等角对等边).
教师提问：“等边对等角”与“等角对等边”有什么区别呢？
学生独立思考后小组进行交流，学生代表进行发言，教师点评.
等边对等角是指两边相等，这两边所对的角相等，这是等腰三角形的性质.
等角对等边是指量角相等，这两角所对的边相等，这是等腰三角形的判定.
设计意图：本课采取探索的方式进行授课，让学生通过观察图形，猜想，证明等过程得到判定定理，有效的调动了课堂的学习气氛，同时培养了学生的时间能力和逻辑思维能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
例2.已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
例3.如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 36°，BD是∠ABC平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形.
设计意图：通过例题的教学，培养学生的逻辑思维，体会运用等腰三角形的判定进行证明的方法.
【答案】
例1.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1 =∠2，AD∥BC.
求证：AB = AC.
证明：∵ AD∥BC，
∴ ∠1 =∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C(两直线平行，内错角相等).
而已知∠1 =∠2，所以∠B =∠C.
∴ AB = AC(等角对等边).
例2.作法：（1）作线段AB = a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
（3）在MN上取一点C，使DC = h.
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
例3.证明：（1）∵ AB = AC，∠BAC = 36°，
∴ ∠ABC = 72°，
又∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = 36°，
∴ ∠BAD =∠ABD，
∴ AD = BD，
又∵ E是AB的中点，
∴ DE⊥AB，即EF⊥AB；
（2）∵ EF⊥AB，AE = BE，
∴ EF垂直平分AB，
∴ AF = BF，
∴ ∠BAF =∠ABF，
又∵ ∠ABD =∠BAD，
∴ ∠FAD =∠FBD = 36°，
又∵ ∠ACB = 72°，
∴ ∠AFC =∠ACB-∠CAF = 36°，
∴ ∠CAF =∠AFC = 36°，
∴ AC = CF，即△ACF为等腰三角形．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.不满足△ABC是等腰三角形的条件是（ ）
A．∠A：∠B：∠C = 2：2：1
B．∠A：∠B：∠C = 1：2：5
C．∠A：∠B：∠C = 1：1：2
D．∠A：∠B：∠C = 1：2：2
2.（2019秋 海港区期末）如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.（2019 哈尔滨一模）在△ABC中，AB = AC，∠BAC＞90°，点E在边BC上，且使△ABE和△ACE都为等腰三角形，则∠EAC = 度．
4.（2019秋 龙湖区期末）如图所示，BE⊥AC于点D，且AB = CB，BD = ED，若∠ABC = 54°，则∠E = ．
5.（2020春 竞秀区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1 =∠BEF，若EF = 3，则FG为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1.5
设计意图：新知巩固，观察学生对知识的掌握情况，是否能运用知识求解简单习题.
【答案】
1.B 2.D 3.36 或 72. 4.27°. 5.B
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 无棣县期中）如图，在△ABC中，∠ABC =∠ACB = 60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O且平行于BC的直线交AB于点M，交AC于N，连接AO，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.（2019秋 博罗县期中）在△ABC中，与∠A相邻的外角是 110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．55°
C．70°或55° D．70°或55°或40°
3.（2019春 厦门期末）在△ABC中，∠A = x°，∠B = y°，∠C≠60°．若y = 180-2x，则下列结论正确的是（ ）
A．AC = AB
B．AB = BC
C．AC = BC
D．AB，BC，AC中任意两边都不相等
3.（2019秋 潜江期末）如图，∠ABC = 50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF = DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．25° B．130°
C．50°或 130° D．25°或 130°
5.（2020春 九江期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB = AC，∠A = 20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是 ．
6.（2019秋 河南期末）如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大 12 cm，O到AB的距离为 3 cm，△OBC的面积 cm2．
7.（2019春 舞钢市期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O与AB、AC分别交于点M、N，并且MN∥BC．则BM、CN、MN之间的数量关系是 ．
8.如图，在△ABC中，BC = 5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PED的周长.
9.（2019秋 江都区期末）如图，在△ABC中，AB = AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．
10.（2019 重庆）如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C = 42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE = FE．
设计意图：通过本环节练习，培养学生正确应用所学的知识的应用能力，发展学生合情推理能力，突出本课重点.
【答案】
1.C 2.D 3.B 4.C
5.40°、70°或100°. 6.18. 7.MN = BM-CN.
8.解：∵ BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴ ∠ABP =∠PBD，∠ACP =∠PCE，
∵ PD∥AB，PE∥AC，
∴ ∠ABP =∠BPD，∠ACP =∠CPE，
∴ ∠PBD =∠BPD，∠PCE =∠CPE，
∴ BD = PD，CE = PE，
∴ △PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC =BC=5cm．
9.（1）证明：∵ AB = AC，点D是BC边上的中点，
∴ AD是等腰三角形底边BC的中线，
∴ AD⊥BC，
∵ EF⊥BC，
∴ AD∥EF；
（2）证明：∵ AB = AC，∴ ∠B =∠C，
∵ EF⊥BC，
∴ ∠B+∠F =∠C+∠EGC，
∴ ∠F =∠EGC，
∵ ∠EGC =∠AGF，∴ ∠AGF =∠F，
∴ AG = AF，∴ △AFG是等腰三角形．
10. 解：（1）∵ AB = AC，AD⊥BC于点D，
∴ ∠BAD =∠CAD，∠ADC = 90°，
又∠C = 42°，
∴ ∠BAD =∠CAD = 90°-42° = 48°；
（2）∵ AB = AC，AD⊥BC于点D，
∴ ∠BAD =∠CAD，
∵ EF∥AC，∴ ∠F =∠CAD，
∴ ∠BAD =∠F，
∴ AE = FE．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC = 25°，∠BAE = 25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
2.（2019秋 甘井子区期中）如图 1，在等腰△ABC中，AB = AC，∠BAC = 45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．
（1）请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明；
（2）若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC，垂足为M，交DB延长线于点N，请在图 2 中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明．
设计意图：本环节在于拓展学生知识面，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1.（1）证明：∵ l2∥l3，
∴ ∠ABD = ∠BAE = 25°，
∵ ∠BAC = 25°，
∴ ∠ABD = ∠BAC，
∴ △ABD是等腰三角形.
（2）解：∵ ∠BAC+∠ACB+∠ABC = 180°，∠BAC = 25°，∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC = 180°-∠BAC-∠ACB = 65°，
∴ ∠CBD = ∠ABC-∠ABD = 40°，
∵ l1∥l2，
∴ ∠BCF = ∠CBD = 40°.
解：（1）结论：PN = 2BM．
理由：如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．
∵ BD⊥AC，PF∥AC，
∴ PF⊥BD，∠BPE =∠A = 45°，
∴ ∠BEP = 90°，∴ ∠BPE =∠PBE = 45°，
∴ BE = PE，
∵ PM⊥BC，∴ ∠PMB = ∠PEN = 90°，
∵ ∠BNM = ∠PNE，∴ ∠NPE = ∠EBF，
∵ ∠PEN = ∠BEF = 90°，∴ △PEN≌△BEF(ASA)，
∴ PN = BF，
∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠C，
∵ ∠PFB = ∠C，∴ PB = PF，
∵ PM⊥BF，∴ BM = MF，∴ PN = 2BM．
（2）结论不变．
理由：如图 2 中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB的延长线于F．
∵ ∠ABD = ∠PBF = ∠BPF = 45°，
∴ BF = PF，
∵ ∠EBF = ∠EPM，∠EFB = ∠EMP，BF = PF，
∴ △BFE≌△PFN（ASA），
∴ PN = BE，
∵ ∠E = ∠C = ∠ABC = ∠PBE，∴ PE = PB，
∵ PM⊥EB，
∴ EM = BM，
∴ PN = 2BM．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.等腰三角形的判定方法：
（1）等腰三角形的定义.
（2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（等角对等边）
2.“等边对等角”与“等角对等边”的区别：
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·13.3.2等腰三角形的判定·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
等腰三角形的判定是在上一节课掌握了等腰三角形的性质的基础上进行的.它既是对等腰三角形的性质的深化和应用，又是探究等边三角形的预备知识.从初中阶段的整体知识结构来看，它在几何学习中占据了重要地位，时常出现在一些四边形、相似、圆、函数等综合性题目中，因此要求学生掌握并灵活应用.
二、教学目标
1.探索并证明等腰三角形的判定定理．
2.灵活运用等腰三角形的性质和判定定理进行证明和计算.
3.进一步体验等腰三角形轴对称的特征．
三、重点难点
【教学重点】
掌握等腰三角形的判定定理．
【教学难点】
等腰三角形性质与判定的综合运用.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
如图，小明和小红分别从A、B两处跑向终点O处，已知∠A =∠B，问跑道的长度相等吗？
师：你能说明理由吗？
设计意图：应用问题情境引入，使学生在将实际问题转化为数学问题的建模过程中，激发学生的学习兴趣.
第二环节 【合作交流 探索新知】
学生回想等腰三角形的性质，在ABC中，如果AB = AC，那么∠B =∠C，依据是等边对等角.
教师引导：反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生大胆猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
教师启发学生画图并写出已知，求证，加以证明.
如图，在△ABC中，已知∠B =∠C，求证：AB = AC.
证明：作△ABC的角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD(AAS).
∴ AB = AC.
归纳等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. (简写成“等角对等边”).
符号语言：
在△ABC中，∵ ∠B =∠C，
∴ AB = AC(等角对等边).
教师提问：“等边对等角”与“等角对等边”有什么区别呢？
学生独立思考后小组进行交流，学生代表进行发言，教师点评.
等边对等角是指两边相等，这两边所对的角相等，这是等腰三角形的性质.
等角对等边是指量角相等，这两角所对的边相等，这是等腰三角形的判定.
设计意图：本课采取探索的方式进行授课，让学生通过观察图形，猜想，证明等过程得到判定定理，有效的调动了课堂的学习气氛，同时培养了学生的时间能力和逻辑思维能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
例2.已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
例3.如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 36°，BD是∠ABC平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形.
设计意图：通过例题的教学，培养学生的逻辑思维，体会运用等腰三角形的判定进行证明的方法.
【答案】
例1.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1 =∠2，AD∥BC.
求证：AB = AC.
证明：∵ AD∥BC，
∴ ∠1 =∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C(两直线平行，内错角相等).
而已知∠1 =∠2，所以∠B =∠C.
∴ AB = AC(等角对等边).
例2.作法：（1）作线段AB = a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
（3）在MN上取一点C，使DC = h.
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
例3.证明：（1）∵ AB = AC，∠BAC = 36°，
∴ ∠ABC = 72°，
又∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = 36°，
∴ ∠BAD =∠ABD，
∴ AD = BD，
又∵ E是AB的中点，
∴ DE⊥AB，即EF⊥AB；
（2）∵ EF⊥AB，AE = BE，
∴ EF垂直平分AB，
∴ AF = BF，
∴ ∠BAF =∠ABF，
又∵ ∠ABD =∠BAD，
∴ ∠FAD =∠FBD = 36°，
又∵ ∠ACB = 72°，
∴ ∠AFC =∠ACB-∠CAF = 36°，
∴ ∠CAF =∠AFC = 36°，
∴ AC = CF，即△ACF为等腰三角形．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.不满足△ABC是等腰三角形的条件是（ ）
A．∠A：∠B：∠C = 2：2：1
B．∠A：∠B：∠C = 1：2：5
C．∠A：∠B：∠C = 1：1：2
D．∠A：∠B：∠C = 1：2：2
2.（2019秋 海港区期末）如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.（2019 哈尔滨一模）在△ABC中，AB = AC，∠BAC＞90°，点E在边BC上，且使△ABE和△ACE都为等腰三角形，则∠EAC = 度．
4.（2019秋 龙湖区期末）如图所示，BE⊥AC于点D，且AB = CB，BD = ED，若∠ABC = 54°，则∠E = ．
5.（2020春 竞秀区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1 =∠BEF，若EF = 3，则FG为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1.5
设计意图：新知巩固，观察学生对知识的掌握情况，是否能运用知识求解简单习题.
【答案】
1.B 2.D 3.36 或 72. 4.27°. 5.B
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 无棣县期中）如图，在△ABC中，∠ABC =∠ACB = 60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O且平行于BC的直线交AB于点M，交AC于N，连接AO，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.（2019秋 博罗县期中）在△ABC中，与∠A相邻的外角是 110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．55°
C．70°或55° D．70°或55°或40°
3.（2019春 厦门期末）在△ABC中，∠A = x°，∠B = y°，∠C≠60°．若y = 180-2x，则下列结论正确的是（ ）
A．AC = AB
B．AB = BC
C．AC = BC
D．AB，BC，AC中任意两边都不相等
3.（2019秋 潜江期末）如图，∠ABC = 50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF = DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．25° B．130°
C．50°或 130° D．25°或 130°
5.（2020春 九江期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB = AC，∠A = 20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是 ．
6.（2019秋 河南期末）如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大 12 cm，O到AB的距离为 3 cm，△OBC的面积 cm2．
7.（2019春 舞钢市期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O与AB、AC分别交于点M、N，并且MN∥BC．则BM、CN、MN之间的数量关系是 ．
8.如图，在△ABC中，BC = 5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PED的周长.
9.（2019秋 江都区期末）如图，在△ABC中，AB = AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．
10.（2019 重庆）如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C = 42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE = FE．
设计意图：通过本环节练习，培养学生正确应用所学的知识的应用能力，发展学生合情推理能力，突出本课重点.
【答案】
1.C 2.D 3.B 4.C
5.40°、70°或100°. 6.18. 7.MN = BM-CN.
8.解：∵ BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴ ∠ABP =∠PBD，∠ACP =∠PCE，
∵ PD∥AB，PE∥AC，
∴ ∠ABP =∠BPD，∠ACP =∠CPE，
∴ ∠PBD =∠BPD，∠PCE =∠CPE，
∴ BD = PD，CE = PE，
∴ △PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC =BC=5cm．
9.（1）证明：∵ AB = AC，点D是BC边上的中点，
∴ AD是等腰三角形底边BC的中线，
∴ AD⊥BC，
∵ EF⊥BC，
∴ AD∥EF；
（2）证明：∵ AB = AC，∴ ∠B =∠C，
∵ EF⊥BC，
∴ ∠B+∠F =∠C+∠EGC，
∴ ∠F =∠EGC，
∵ ∠EGC =∠AGF，∴ ∠AGF =∠F，
∴ AG = AF，∴ △AFG是等腰三角形．
10. 解：（1）∵ AB = AC，AD⊥BC于点D，
∴ ∠BAD =∠CAD，∠ADC = 90°，
又∠C = 42°，
∴ ∠BAD =∠CAD = 90°-42° = 48°；
（2）∵ AB = AC，AD⊥BC于点D，
∴ ∠BAD =∠CAD，
∵ EF∥AC，∴ ∠F =∠CAD，
∴ ∠BAD =∠F，
∴ AE = FE．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC = 25°，∠BAE = 25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
2.（2019秋 甘井子区期中）如图 1，在等腰△ABC中，AB = AC，∠BAC = 45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．
（1）请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明；
（2）若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC，垂足为M，交DB延长线于点N，请在图 2 中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明．
设计意图：本环节在于拓展学生知识面，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1.（1）证明：∵ l2∥l3，
∴ ∠ABD = ∠BAE = 25°，
∵ ∠BAC = 25°，
∴ ∠ABD = ∠BAC，
∴ △ABD是等腰三角形.
（2）解：∵ ∠BAC+∠ACB+∠ABC = 180°，∠BAC = 25°，∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC = 180°-∠BAC-∠ACB = 65°，
∴ ∠CBD = ∠ABC-∠ABD = 40°，
∵ l1∥l2，
∴ ∠BCF = ∠CBD = 40°.
解：（1）结论：PN = 2BM．
理由：如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．
∵ BD⊥AC，PF∥AC，
∴ PF⊥BD，∠BPE =∠A = 45°，
∴ ∠BEP = 90°，∴ ∠BPE =∠PBE = 45°，
∴ BE = PE，
∵ PM⊥BC，∴ ∠PMB = ∠PEN = 90°，
∵ ∠BNM = ∠PNE，∴ ∠NPE = ∠EBF，
∵ ∠PEN = ∠BEF = 90°，∴ △PEN≌△BEF(ASA)，
∴ PN = BF，
∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠C，
∵ ∠PFB = ∠C，∴ PB = PF，
∵ PM⊥BF，∴ BM = MF，∴ PN = 2BM．
（2）结论不变．
理由：如图 2 中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB的延长线于F．
∵ ∠ABD = ∠PBF = ∠BPF = 45°，
∴ BF = PF，
∵ ∠EBF = ∠EPM，∠EFB = ∠EMP，BF = PF，
∴ △BFE≌△PFN（ASA），
∴ PN = BE，
∵ ∠E = ∠C = ∠ABC = ∠PBE，∴ PE = PB，
∵ PM⊥EB，
∴ EM = BM，
∴ PN = 2BM．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.等腰三角形的判定方法：
（1）等腰三角形的定义.
（2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（等角对等边）
2.“等边对等角”与“等角对等边”的区别：
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】